1、知识框架数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是行程问题。相遇问题是行程问题中的一种。 在公务员考试中，相遇问题虽然是考核心公式的应用，但基本不是直接代入核心公式就可以解题，但总的来说其只有以下两种情况，每种情况有 2 种变化。同学只要牢牢把握这两种情况，就能轻松搞定初等行程问题。 核心点拨1、题型简介 相遇问题是行程问题的典型应用题，研究“相向运动”的问题，反映的是两个量或者多个物体所走的路程、速度和时间的关系。其核心就是速度和。通常是已知速度、路程等变量，求相遇时间或者已知时间，速度，求路程等这类题型。 2、核心知识 速度和相遇时间=相遇路程； 相遇路程相遇时间=速度和； 相遇路程速度和
2、=相遇时间。 （1）直线相遇问题 当相遇问题发生在直线路程上时，甲的路程+乙的路程=总路程； （2）环线相遇问题 当相遇问题发生在环形路程上时，甲的路程+乙的路程=环形周长。 3.核心知识使用详解 解答相遇问题时，一般需要借助于列方程法进行求解。 对于复杂的相遇问题，正确画出行程图、找准突破口往往是解题的关键。 一般而言，单个量的往返问题，一般以时间关系为突破口； 两个量的往返问题，一般以路程为突破口。 夯实基础1.直线相遇问题 例 1：(2008江苏 C 类) 两列对开的列车相遇，第一列车的速度为 12 米/秒，第二列车的速度为 14 米/秒，第二列车上的一旅客发现第一列车从旁边开过的时间为
3、 5 秒，则第一列车的车长为多少米？ A. 60B. 75C. 80D. 130【答案】 D【解析】 题钥 “第二列车上的一旅客发现第一列车从旁边开过的时间为 5 秒，”可得到：旅客与第一列车的相对速度=第一列车和第二列车的相对速度=两车速度和。 解析 第二列车通过第一列车的路程： 假设第一列车静止，为一段静止的路程， 由题可知：第二列车通过第一列车的路程=第一列车的长； 第二列车通过第一列车的时间： 由题可知，第二列车通过第一列车的时间为 5 秒； 两车速度和： 两车相向而行，相对速度=两车速度和=12+14=28 米秒； 第一列车的车长： 第一列车的长=第二列车通过第一列车的路程 =速度和
4、相遇时间 =(12+14)5=130 米。 因此，选 D。例 2：(2010江西) 甲从 A 地，乙从 B 地同时以均匀的速度相向而行，第一次相遇离 A 地 6 千米，继续前进，到达对方起点后立即返回，在离 B 地 3 千米处第二次相遇，则 A、B 两地相距多少千米？ A. 10B. 12C. 18D. 15【答案】 D【解析】 题钥 “甲从 A 地，乙从 B 地同时以均匀的速度相向而行，”由速度时间=路程可知，当时间相同时，甲乙的速度比（是一定值）等于甲乙所走的路程比。 解析 根据题意，设 A、B 两地相距为 x 千米， 第一次相遇甲所走的路程：6 千米； 第一次相遇乙所走的路程：（x-6）
5、千米； 第二次相遇甲所走的路程：（2x-3）千米； 第二次相遇乙所走的路程：（x+3）千米； 两地相距的距离： 两次相遇过程中甲乙同时以匀速行走，故 即 解得 x=15。 因此，选 D。2.环线相遇问题 例 3： 如图，外圆圆周长 80 厘米，阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从 A、B 点同时爬行。甲蚂蚁从A 点出发，沿“逗号”四周逆时针爬行，每秒爬 3 厘米；乙蚂蚁从 B 出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行 5 厘米。两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了多少厘米？ A. 25B. 50C. 75D. 100【答案】 C【解析】 题钥 “甲蚂蚁从 A 点出发，沿逗号四周逆时针爬行,”“乙蚂
6、蚁从 B 出发，沿外圆圆周顺时针爬行，”甲蚂蚁先要走过 A、B 点之间“逗号”曲线才有可能与乙蚂蚁相遇。 A、B 点之间“逗号”曲线距离=两个半圆的半周长，设大圆半径为 R，小圆半径为 r。 两个半圆的半周长=大圆的半周长+小圆的半周长=R +r=（R +r）=AB=外圆半周长 解析 甲蚂蚁走过的 A、B 点之间“逗号”曲线距离： 据图形可知，外圆的直径等于两个内圆直径之和，所以，A、B 点之间“逗号”曲线的距离等于外国半圆的距离，为 802=40 厘米； 两只蚂蚁走过的相遇路程： 两只蚂蚁相向而行，分析可得，相遇时路程应该在圆的右侧外圆上面，所以相遇时，两只蚂蚁走过的总路程为 40+80=1
7、20 厘米； 两只蚂蚁走过的速度和： 速度和=甲蚂蚁速度+乙蚂蚁速度=3+5=8 厘米/秒； 两只蚂蚁走过的相遇时间： 相遇时间=相遇路程速度和=1208=15 秒； 相遇时，甲蚂蚁走过的路程： 路程=速度时间=315=45 厘米； 相遇时，乙蚂蚁走过的路程： 路程=速度时间=515=75 厘米； 因此，选 C。进阶训练1.直线相遇问题 例 4：(2009黑龙江) 甲、乙、丙三辆车的时速分别为 60 公里、50 公里和 40 公里，甲从 A 地、乙和丙从 B 地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后 15 分钟又遇到丙，问 A、B 两地相距多少公里？ A. 150 公里B. 250 公里C. 275
8、 公里D. 325 公里【答案】 C【解析】 题钥 根据“途中甲遇到乙后 15 分钟又遇到丙”可知，甲乙走完全程所用的时间比甲丙要少 15 分钟，即1/4 小时。 解析 根据题意，设 AB 两地的距离为 S。 甲乙相遇时速度和： 60+50=110 公里/时； 甲丙相遇时速度和： 60+40=100 公里/时； 甲乙相遇时间： 相遇时间=相遇路程速度和= ； 甲丙相遇时间： 相遇时间=相遇路程速度和= ； AB 两地的距离： 由于甲丙相遇比甲乙相遇多用 15 分钟，则有 - = ， 解得 S=275。 因此，选 C。例 5：(2007国考) A、B 两站之间有一条铁路，甲、乙两列火车分别停在
9、A 站和 B 站，甲火车 4 分钟走的路程等于乙火车 5 分钟走的路程。乙火车上午 8 时整从 B 站开往 A 站，开出一段时间后，甲火车从 A 站出发开往 B 站，上午 9 时整两列火车相遇。相遇地点离 A、B 两站的距离比是 15:16。那么，甲火车在( )从 A 站出发开往 B 站。 A. 8 时 12 分B. 8 时 15 分C. 8 时 24 分D. 8 时 30 分【答案】 B【解析】 题钥 “甲火车 4 分钟走的路程等于乙火车 5 分钟走的路程。”路程相同时，两车的时间比为 4:5，两车的速度比为 5:4； “乙火车上午 8 时整从 B 站开往 A 站，开出一段时间后，甲火车从
10、A 站出发开往 B 站，上午 9 时整两列火车相遇。”相遇时，乙用时 1 小时； “相遇地点离 A、B 两站的距离比是 15:16”，即相遇时，甲走过的路程:乙走过的路程=15:16。 解析 甲的速度： 根据题意，设甲的速为 5v； 乙的速度： 根据题意，设乙的速为 4v； 相遇时，甲的时间： 根据题意，设相遇时甲走了 t 小时； 相遇时，乙的时间： 根据题意，可知相遇时，乙走了 1 小时； 相遇时，甲走过的路程： 路程=速度时间= 5vt； 相遇时，乙走过的路程： 路程=速度时间= 4v； 相遇时，甲的时间： 由相遇时，甲走过的路程:乙走过的路程=15:16 可知， 5v:4v=15:16，
11、 解得，甲走的时间为 t=3/4 小时=45 分钟； 甲出发的时间： 由于相遇时间为 9 点， 所以甲火车在 8 点 15 分从 A 站出发。 因此，选 B。例 6：(2006浙江) 从甲、乙两车站同时相对开出第一辆公共汽车，此后两站每隔 8 分钟再开出一辆，以此类推。已知每辆车的车速相同且都是匀速的，每辆车到达对方站都需要 45 分钟。现有一乘客坐甲站开出的第一辆车去乙站，问他在路上会遇到几辆从乙站开出的公共汽车。 A. 4 辆B. 5 辆C. 6 辆D. 7 辆【答案】 C【解析】 题钥 “问他在路上会遇到几辆从乙站开出的公共汽车。”即该乘客到达乙站时，有几辆车从乙站开出。 解析 两站第一
12、辆车的相遇时间： 根据题意可知，由于该乘客坐甲站开出的第一辆车去乙站，故出发后直到甲乙两车站的公交车相遇时，才会看到第一辆从乙站开出的汽车，此时时间为 452=22.5 分钟； 之后甲看到乙站发出来的车的时间间隔： 此后每隔 82=4 分钟（因为两车相向而行，速度为两车的速度和，又因为速度相同，故时间减半），他都会看到一辆乙站开出的公共汽车； 在剩余的 22.5 分钟内，会遇到的车辆有： 22.54 的整数部分是 5，即 5 辆； 因为先前的第 22.5 分时已遇到一辆，所以此人在路上一共会遇到车辆数为： 1+5=6 辆。 因此，选 C。3.环线相遇问题 例 7： 甲和乙两人分别从一圆形场地的
13、直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形运动，当乙走了100 米以后，它们第一次相遇，在甲走完一周前 60 米处又第二次相遇。求此圆形场地的周长？ A. 420 米B. 460 米C. 480 米D. 500 米【答案】 C【解析】 题钥 这题是环形相遇问题，与直线相遇问题不同的是，环形多次相遇问题每次相遇时所走的路程之和是一圈。如果最初的两个人是从同一点出发，那么第 n 次相遇时，每个人走的路程等于他第一次相遇时所走路程的 n 倍。 解析 当甲、乙第一次相遇时，甲乙走完的路程为： 圈 当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完路程为： 圈。 从开始到第一、二次相遇所需的时间比为：1:3, 因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走路程的 3 倍， 即 。 所以半圈为：300-60=240 米。 故此圆形场地的周长为：
