1、行程问题思维刘有珍行程问题归纳总结解题思路 1 个核心公式：路程速度 时间2 个基本题型：相遇即合作，路程和速度和时间；追及即干扰，路程差速度差时间；6 种常见方法：图示法、公式法、比例法、赋值法、方程法、代入法8 个行程模型：火车过桥、火车运动、队伍行进、往返相遇、等距离运动、等间隔发车、 无动力漂流、流水行船精细备考 考点 1：基本公式法 方：题干中等量关系明显，一般结合方程法，依据核心公式直接解题，方程往往围绕路程或时间展开。 【例题 1】（广州 201284 ）甲公司的马经理从本公司坐车去乙公司洽谈，以 30 千米/时的速度出发 20 分钟后，马经理发现文件忘带了，便让司机以原来 1.
2、5 倍的速度回甲公司拿，而他自己则以 5 千米/时的速度步行去乙公司。结果司机和马经理同时到达乙公司。甲乙两公司的距离是（ ）千米。A. 12.5 B. 13 C. 13.5 D. 14答案A解析20 分钟的路程为 301/3=10 千米，设马经理步行的总距离为 x，则，解得 x=2.5（千米），因此两地的距离为 12.5 千米，答案选择A。【例题 2】（深圳 20126）小强从学校出发赶往首都机场乘坐飞机回老家，若坐平均速度 40 千米/小时的机场大巴，则飞机起飞时他距机场还有 12 公里；如果坐出租车，车速 50 千米/小时，他能够先于起飞时间 24分钟到达，则学校距离机场（ ）公里。A.
3、 100 B. 132 C. 140 D. 160答案C解一24 分钟0.4 小时，假设学校距离机场的距离为 s，则，解之可得 s=140。答案选择 C。解二12 公里所需的时间为 1240=0.3 小时，24 分钟=0.4 小时。两次速度比为 4:5，路程一定，因此时间比为 5:4，两次的时间差为 0.7 小时，进而得到第一次所需时间为 50.7=3.5 小时，从而可以得到学校距离机场的距离为 403.5=140 公里。【例题 3】（贵州 201241 ）某部队从驻地乘车赶往训练基地，如果车速为 54 公里/小时，正好准点到达；如果将车速提高 1/9，就可比预定的时间提前 20 分钟赶到；如
4、果将车速提高 1/3，可比预定的时间提前多少分钟赶到？（ ）A. 30 B. 40 C. 50 D. 60答案C解析54 公里/小时=0.9 公里/ 分钟，设准点达到的时间为 t，则有：0.9t=1（t20）,解得 t=200（分钟），所以总路程为0.9200=180（公里）。如果将车速提高 1/3，则车速为0.9+0.91/3=1.2（公里/分钟），需要时间为 1801.2=150（分钟），比预定的时间提前 200150=50（分钟）。【例题 5】（北京 2013-77）甲和乙在长 400 米的环形跑道上匀速跑步，如两人同时从同一点出发相向而行，则第一次相遇的位置距离出发点有 150 米的路
5、程；如两人同时从同一点出发同向而行，问跑得快的人第一次追上另一人时跑了多少米？（ ）A. 600 B. 800 C. 1000 D. 1200答案 C解析 第一次相遇距离出发点 150 米，跑的快的人跑了 250 米，跑的慢的人跑了 150 米，设速度分别为 250 米/分、150 米/分，同时同地同向出发，快的追上慢的是追及问题，路程差为 400 米，则追及时间为400（250150）4 分钟，进而得到速度快的路程为 25041000 米，答案选择 C。考点 2：相遇追及问题 相遇：主要指迎面相遇，相遇问题研究路程和与速度和之间的关系 追及： 主要指追及相遇，追及问题研究路程差和速度差之间的
6、关系 【例题 6】（浙江 2011-53）甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务，甲车单独清扫需要 6 小时，乙车单独清扫需要 9 小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫 15 千米，问东、西两城相距多少千米？A.60 千米 B.75 千米 C.90 千米 D.135 千米答案 B解析 已知甲车和乙车的时间，可以设两地的路程为 18，则甲速3，乙速2，则相遇时间 18（32 ）3.6 小时，相遇时甲乙的路程差（32）3.63.6，3.6 15 千米，所以两地相距 183.61575 千米。答案选择 B。【例题 7】(江苏 2013C-31)甲、乙两人分别从 A、B 两地
7、同时出发，相向而行，匀速前进。如果每人以一定的速度前进，4 小时相遇；如果各自每小时比原计划少走 1 千米，5 小时相遇。则甲乙两地的距离是？（ ）A.40 千米 B.20 千米 C.30 千米 D.10 千米答案 A解析 设甲乙原定速度和为 x，则两次相遇所走路程和不变，即4x=5（x-2），解得 x=10，进而可得两地的距离为 41040，答案选择A。【例题 8】（陕西 2013-76）甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲的速度是乙的 4 倍，甲用时 15 分钟到达 B 地后立即返回，甲乙第二次相遇后，乙再走（ ）分钟才能到达 A 地。A.40 B.30 C.45 D.33
8、.3答案 A解析 设乙的速度是 1，甲的速度为 4，则 A、B 两地相距 60，乙到达A 地需要 60 分钟，结合题干可知，甲、乙第二次相遇是甲追上乙的追及相遇，即路程差为 60，所以追及时间为 60（ 41）20 分钟，乙还需要40 分钟，答案选择。思维小节速度单位换算：小乘大除1 千米/小时米/ 秒，1 米/秒3.6 千米/小时，即“小变大乘以 3.6，大变小除以 3.6”【例题 9】（河北 2013-43）一只猎豹锁定了距离自己 200 米远的一只羚羊，以 108 千米小时的速度发起进攻，2 秒钟后，羚羊意识到危险，以 72 千米小时的速度快速逃命。问猎豹捕捉到羚羊时，羚羊跑了多少路程？
9、（ ）A. 520 米 B. 360 米 C. 280 米 D. 240 米答案 C解析 猎豹速度为 30 米/秒，羚羊速度为 20 米/秒，2 秒钟后，猎豹的路程为 60 米，距离羚羊 140 米，进而可以得到追及时间为140（3020）14 秒，所以羚羊跑了 1420=280 米。答案选择 C。【例题 10】（山东 2013-55）甲乙两地相距 20 公里，小李、小张两人分别步行和骑车，同时从甲地出发沿同一路线前往乙地，小李速度为 4.5公里/ 小时，小张速度为 27 公里/小时。出发半小时后，小张返回甲地取东西，并在甲地停留半小时后再次出发前往乙地。问小张追上小李时，两人距离乙地多少公里
10、？A.8.1 B.9 C.11 D.11.9答案 D解析 小张从第一次从甲地出发到第二次从甲地出发共 1.5 小时，这1.5 小时期间，小李一直在行走，所以可以转化成小李出发 1.5 小时后，小张才开始出发的追及问题。设小张追上小李需要 x 小时， （274.5 ）x=4.51.5，解得 x=0.3，距离乙地 20270.3=11.9（公里）。答案选择 D。考点 3：重点模型 模型 1：队伍行进模型 队尾队首：追及问题，S 队伍速度差 时间（v1 v2）t队首队尾：相遇问题，S 队伍速度和 时间（v1 v2）t【例题 11】（安徽 201264 ）一支 600 米长的队伍行军，队尾的通讯员要与
11、最前面的连长联系，他用 3 分钟跑步追上了连长，又在队伍休息的时间以同样的速度跑回了队尾，用了 2 分 24 秒，如队伍和通讯员均匀速前进，则通讯员在行军时从最前面跑步回到队尾需要多长时间? （ ）A. 48 秒 B. 1 分钟 C. 1 分 48 秒 D. 2 分钟答案D解析设通讯员的速度为，队伍的速度为，2 分 24 秒=2.4 秒，由题意列方程有： ，解得=250（米/分钟），=50（米/ 分钟），则返回队尾所需时间为=2（分钟），答案选择 D。模型 2：火车过桥火车过桥：路程桥长车长，即火车过桥路程包含两部分【例题 12】（联考 2012 秋47 ）某公路铁路两用桥，一列动车和一辆轿车
12、均保持匀速行驶，动车过桥只需 35 秒，而轿车过桥的时间是动车的3 倍，已知该动车的速度是每秒 70 米，轿车的速度是每秒 21 米，这列动车的车身长是（轿车车身长忽略不计）？（ ）A. 120 米 B. 122.5 米 C. 240 米 D. 245 米答案D解析假设动车长是 x，桥长为 y，则，解之可得 x=357=245（米），答案选择 D。模型 3：火车头尾错离型 反向错离型：路程和快车车长慢车车长【例题 13】（浙江 2011-51）一列客车长 250 米，一列货车长 350 米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车尾相离经过 15 秒，已知客车与火车的速度比是 53 ，问两车
13、的速度相差多少？A.10 米/ 秒 B.15 米/秒 C.25 米/秒 D.30 米 /秒答案A解析反向错离题型，则两车的速度和（250350）1540 米/秒，设客车的速度是 5，火车的速度是 3，速度和为 840 米/秒，则速度差 210 米/ 秒，答案选择 A。模型 4：往返相遇型 往返相遇：1）迎面相遇 n 次，则路程和为（2n1 ）个全程；2）往返相遇问题中，每个人的路程与路程和按照同样的比例变化。如第 1 次相遇路程和为 1 个全程，第 2 次相遇路程和为 3 个全程，则其中的每个人路程变为第 1 次相遇时路程的 3 倍。【例题 14】（联考 2013 春-45）小张、小王二人同时
14、从甲地出发，驾车匀速在甲乙两地之间往返行驶。小张的车速比小王快，两人出发后第一次和第二次相遇都在同一地点，问小张的车速是小王的几倍？（ ）A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3答案 B解一 由题意，两人从同地出发，则第一次相遇时两人的路程和为 2 个全程，设其中小张走了 x，小王走了 y；第二次相遇时两人走了 4 个全长，小张走了 2y，小王走了 x-y；由比例法，解得 x=2y，故两人的速度比为21。答案选择 B。【例题 15】（深圳 201217 ）甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，乙的速度是甲的 2/3，两人相遇后继续前进，甲到达 B 地，乙到达 A 地立即返回，
15、已知两人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点是3000 米，求 A、B 两地的距离是（ ）米。A. 6000 B. 6500 C. 7000 D. 7500答案D解析设两地的距离为 s 米，第二次相遇共走了 3s 米，甲速：乙速=3:2，第一次相遇时甲的路程为 3/5s 米，第二次相遇时甲的总路程为9/5s 米，因而两次相遇的地点相距 2/5s 米，所以两地相距30002/5=7500 米，答案选择 D。模型 5：等距离运动 等距离运动：平均速度；特征：“等距离”、“上下坡运动”、“往返”等字眼【例题 17】（北京 2014-76）某人开车从 A 镇前往 B 镇，在前一半路程中，以每小时 60
16、 公里的速度前进；而在后一半的路程中，以每小时 120公里的速度前进。则此人从 A 镇到达 B 镇的平均速度是每小时多少公里？A.60 B.80 C.90 D.100答案 B解析 “前一半，后一半”等距离运动，答案选择 B。模型 6：无动力漂流 无动力漂流：漂流时间，其中 t1 为逆流时间， t2 为顺流时间；【例题 18】（四川 201214 ）一艘轮船从上游甲地开往下游乙地需要 5 个小时，以同样的功率从乙地开往甲地需要 6 个小时。如在甲地放下一无动力竹排，它到达乙地需要多长时间？（ ）A. 5 小时 B. 15 小时 C. 30 小时 D. 60 小时答案D简析根据公式，答案选择 D。
17、模型 7：等间隔发车1）发车时间，其中 t1 为迎面相遇时间，t2 为反向追及时间；2）等间隔发车问题本质上是等距离的相遇问题和追及问题，其中路程和路程差等间隔距离【例题 19】（重庆秋季 2013-93）为了保持赛道清洁，每隔 10 分钟会有一辆清扫车从起点出发，匀速清扫赛道。甲、乙两名车手分别驾驶电动车和自行车考察赛道，甲每隔 5 分钟追上一辆清扫车，每隔 20 分钟有一辆清扫车追上乙，问甲的速度是乙的多少倍？（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6答案 D解析 设甲的速度是 x，乙的速度是 y，清扫车的速度为 1，清扫车之间的距离是不变的，即追及的路程差不变，进而可得：，解得x3 ，
18、 y0.5，即甲速是乙速的 6 倍。答案选择 D。模型 8：流水行船模型 顺速船速水速，逆速船速水速 【例题 20】（四川 2013 秋季-54）一艘货船，第一次顺流航行 420 千米，逆流航行 80 千米，共用 11 小时;第二次用同样的时间顺流航行了 240千米，逆流航行了 140 千米。问水流速度是多少千米/小时?A.12 B.16 C.20 D.24答案 C解析 分析题干可知，顺流减少了 180 千米，逆流增加了 60 千米，时间不变，即顺流 3 千米时间逆流 1 千米时间，进而可以得到， 11 小时660 千米顺流220 千米逆流，也就是说，顺速60 千米/小时，逆速20 千米/ 小时，水速（60 20）2 20 千米/小时。答案选择 C。华图刘有珍
