1、第二章 时域离散信号和系统的频域分析第一章 时域离散信号和系统的频域分析2.1 填空题（1） 双边序列 变换的收敛域形状为 。 z解：圆环或空集（2）对 的 Z 变换为 ，其收敛域为 。 4()xnR解： 1,0z（3）抽样序列的 Z 变换与离散傅里叶变换 DFT 的关系为 。解：kNje2（4）序列 x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移 2 位得到的序列为 。解：0，3，1，-2; n=0,1,2,3（5）设 LTI 系统输入为 x(n) ，系统单位序列响应为 h(n)，则系统零状态输出 y(n)= 。解： )()(nhxy（6）因果序列 x(n)，在 Z时，X(Z
2、)= 。解：x(0)（7）FTx(n) 存在的充分必要条件是 。解：序列 x(n)绝对可和（或 ） ()nx（8）共轭对称序列的实部是 函数，虚部是 函数。解：偶；奇（9）设 ，那么 = 。)()(xFTeXj )(0nxT解： 0jn（10）设 ， ，那么 = 。11n)22FeXj )()(21nbxaFT解： 2()()jjab（11）Z 变换存在的条件是 。解： ()nnxz（12）单位圆上的 Z 变换就是序列的 。解：傅里叶变换（13）若系统函数 H( z)的所有极点均在单位圆内，则该系统为 系统。解：因果稳定（14）若 ，则该滤波器为 。20,1)(jeH解：全通滤波器（15）已知
3、 x(n)=IDFTX(K),x(n)的隐含周期为 。第二章 时域离散信号和系统的频域分析解：N（16）设 x(n)是长度为 M( )的有限长序列，y(n)为 x(n)的循环移位，即NM，X(k)=DFTx(n) ， ，则 Y(k)=DFTy(n)= 。()()nRmxnyNk0解： kXWM（17）如果 ， ； ，则 y(n)= 。NxDFT)1k )()()KRlXYN解： ()nlNx2.2 选择题1(n)的 Z 变换是 （ ）A.1 B.() C.2() D.2解：A2 序列 x1（n）的长度为 4，序列 x2（n）的长度为 3，则它们线性卷积的长度是 （ ）A. 3 B. 4 C.
4、6 D. 7解：C3下面描述中最适合离散傅立叶变换 DFT 的是 （ ）A.时域为离散序列，频域为连续信号B.时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列 C.时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号D.时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列解：D4一离散序列 x(n)，若其 Z 变换 X(z)存在，而且 X(z)的收敛域为： ，则 x(n)为 。RzxA因果序列 B. 右边序列 C左边序列 D. 双边序列解：A 5一个稳定的线性时不变因果系统的系统函数 H（z）的收敛域为 。A. B. 1 ,rzr 1 r,0C. D. 解：A 6.下列关于因果稳定系统说法错误的是 ( )A. 极点可以在
5、单位圆外B. 系统函数的 z 变换收敛区间包括单位圆C. 因果稳定系统的单位抽样响应为因果序列D. 系统函数的 z 变换收敛区间包括 z=解：A7一个线性移不变系统稳定的充分必要条件是其系统函数的收敛域包含( )。第二章 时域离散信号和系统的频域分析A单位圆 B原点 C实轴 D虚轴解 A8以下是一些系统函数的收敛域，则其中稳定的是（ ）A|z| 2 B|z| |z|0，则该序列为( )A.有限长序列 B.右边序列C.左边序列 D.双边序列解：A11线性移不变系统的系统函数的收敛域为|z|0，Z 变换的收敛域为( )。A. 00 C. |z|0C|z| D|z|解：C17已知 x(n)的 Z 变
6、换为 X(z)，则 x(n+n0)的 Z 变换为： 。A B. C. D. )(0zXn(0zn)(0nzX)(0zXn第二章 时域离散信号和系统的频域分析解：B18. 已知某序列 x(n)的 z 变换为 z+z2，则 x(n-2)的 z 变换为 ( )A. B. 45z 2zC. D. 2 1解：D19实序列的傅里叶变换必是（ ）A共轭对称函数 B共轭反对称函数C线性函数 D双线性函数解：A20序列共轭对称分量的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的( )A.共轭对称分量 B.共轭反对称分量C.实部 D.虚部解：C21下面说法中正确的是( )A.连续非周期信号的频谱为非周期连续函数B.连续周期信号的
7、频谱为非周期连续函数C.离散非周期信号的频谱为非周期连续函数D.离散周期信号的频谱为非周期连续函数解：A22.下面说法中正确的是（ ）A.连续非周期信号的频谱为非周期离散函数B.连续周期信号的频谱为非周期离散函数C.离散非周期信号的频谱为非周期离散函数D.离散周期信号的频谱为非周期离散函数解：B23下面描述中最适合离散傅立叶变换 DFT 的是（ ）A时域为离散序列，频域也为离散序列B时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列C时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号D时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列解：D24对于序列的傅立叶变换而言,其信号的特点是（ ）A时域连续非周期，频域连续非周
8、期 B时域离散周期，频域连续非周期C时域离散非周期，频域连续非周期 D时域离散非周期，频域连续周期解：D第二章 时域离散信号和系统的频域分析25以下说法中（ ）是不正确的。A. 时域采样，频谱周期延拓B. 频域采样，时域周期延拓C. 序列有限长，则频谱有限宽D. 序列的频谱有限宽，则序列无限长解：C26全通网络是指 。A. 对任意时间信号都能通过的系统B. 对任意相位的信号都能通过的系统C. 对信号的任意频率分量具有相同的幅度衰减的系统D. 任意信号通过后都不失真的系统解：C27系统的单位抽样响应为 ，其频率响应为（ ）()1)()hnnA B ()2cosjHe ()2sinjHeC D解：
9、A28.已知因果序列 x(n)的 z 变换 X(z)= ，则 x(0)=( )12A.0.5 B.0.75C.0.5 D.0.75解：A 29. 对于 x(n)= u(n)的 Z 变换，( )。n21A. 零点为 z= ，极点为 z=0 B. 零点为 z=0，极点为 z= 21C. 零点为 z= ，极点为 z=1 D. 零点为 z= ，极点为 z=221解：B30. 设序列 x(n)=2(n+1)+(n)-(n-1)，则 的值为( )。0)jeXA. 1 B. 2 C. 4 D. 1/2解：B31若 x(n)为实序列， 是其傅立叶变换，则（ ）)(jeXA 的幅度和幅角都是 的偶函数)(jeB
10、 的幅度是 的奇函数，幅角是 的偶函数C 的幅度是 的偶函数，幅角是 的奇函数jD 的幅度和幅角都是 的奇函数)(eX第二章 时域离散信号和系统的频域分析解：C2.3 问答题1.何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数 有何特点？)(minZH解：一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则称之为最小相位系统。其特点如下：（1） 任何一个非最小相位系统的系统函数 H(z)均可由一个最小相位系统和一个全通系统级联而成。（2） 在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集中，最小相位系统的相位延迟（负的相位值）最小。（3）最小相位系统保证其逆系统存在。2.何谓全通系统？全通系统的系统函数 有何
11、特点？)(ZHap解： 一个稳定的因果全通系统，其系统函数 对应的傅里叶变换幅值 ，该单位幅值的)(ap 1)(jweH约束条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即。NkkNkMrrap ZZabQPZ1110)( 因而，如果在 处有一个极点，则在其共轭倒数点 处必须有一个零点。kk2.4 计算题1. 线性时不变系统的频率响应(传输函数) 如果单位脉冲响应 为实序列，试证明()(),jwjjwHee()hn输入 的稳态响应为0cos()xnAw。00cos()jynAn解：假设输入信号 ，系统单位脉冲相应为 h(n)，系统输出为0je 000 0()()*()()()jw
12、njwnmjwnjwmjmynhxheeheHe 上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。 000000000000() ()1()cos()21 ()2 ( jwnjwnjjwnjjjjjjwjwnjjwxnAAeeyeHeeHe上式中 是 w 的偶函数，相位函数是 w 的奇函数，()jHe第二章 时域离散信号和系统的频域分析 000000() ()()(),1 2 ()cos(jwjwjjnwjwnjjwHeynAee2. 设 将 以 4 为周期进行周期延拓，形成周期序列 ，画出 和 的波形，1,0()xn其
13、 它 x ()x()xn求出 的离散傅里叶级数 和傅里叶变换。)(kX解：图形略。根据离散傅里叶级数的定义可得 23142200444()()() cos)jknjknjknjkjjkjkDFSxeee以 4 为周期，或者()Xk,1111 222 40244sin()2() jkjjkjkjkn jkjjjjeee 以 4 为周期，所以()Xk 4()()() 22 cos()()jwkkjkkXeFTxnXwke3. 求 的傅里叶变换。)(5nRx解：根据傅里叶变换的概念可得：2121101 )( jjNjjjNjjnj eeeDTFeXjkNj , ,sini为 整 数第二章 时域离散信
14、号和系统的频域分析 2sini )(2NeXkj，时当sinarg1argj 1N ,2当 N=5 时，即可得到所需的 。和 )(ar)( jjeXe4.试确定下列信号的最低采样频率 及奈奎斯特抽样间隔 T（最大采样间隔 ） 。smax（1） (2) (3) )0(sintc)10(in2tc )50(sin)1(sitctc(4) (5) (6) 6ti 1解：根据抽样定理，只需求出信号的最高角频率，其两倍就是最低抽样频率，其倒数为最大抽样间隔。为求出信号的最高频率成分，先求其傅里叶变换。 因 ，所以)2(sin)(ctG)(1)2(sintGc令 ，则,20 0020 即 )()()()s
15、in(02000 ut其频谱如图 2-4（a ）所示。令 ，)(si)(11tctx)(sin(22tctx，1GX)()(121GX因为 ，则有)(2)(21tx )()(sin)(si 21211tct 其卷积结果如图 2-4（c ）所示。两个不同宽度的矩形信号的卷积结果为梯形信号，下底宽度为两个矩形信号宽度之和，上底为两个矩形信号宽度之差，高为两个矩形高度和最小宽度三者的乘积。图中梯形的高度为 )2,min(2112 当 时，)sin()(021ttx )( 02002Gc 其频谱图如图 2-4（b）所示。两个宽度相同的信号的卷积结果为三角形，卷积后的频宽为两者频宽之和。时间信号与其频谱
16、的对应关系如图 2-4（a ） （b） （c）所示：第二章 时域离散信号和系统的频域分析图 2-4由此可知：（1） 信号的最高频率 为 100 rad/s，则最低抽样频率 为 200 rad/s，最大抽样间隔ms)(102maxsfT（2） 信号的最高频率 为 200 rad/s，则 ，rads/40)(20maxsT（3） 信号的最高频率 为 100 rad/s，则 ，mss21a（4） 信号的最高频率 为 120 rad/s，则 ，rds/40)(20maxs（5） 信号的最高频率 为 150 rad/s，则 ，mss315aT（6） 信号的最高频率 为 rad/s，则 ，10srds/2
17、3)(03maxs5. 设 为带限信号，其频谱 如图 2-5(a)所示)(tx)(X（1） 分别求出 、 的奈奎斯特抽样频率 、 及奈奎斯特间隔 T；)2(txsf（2）用周期冲激串 对信号 、 、 分别进行抽样；画出抽样信号 、)8(kTt)(tx2t)(x)(txs、 的频谱。)(txsts解：（1） ，其频谱图如图 2-5（b）所示。)2(1)()2(Xtx频带宽度为 ，奈奎斯特频率 rad/ssradm/6832ms第二章 时域离散信号和系统的频域分析，奈奎斯特间隔Hzfms1624sfTs16，其频谱图如图 2-5（c ）所示。)()()(Xtx频带宽度为 ， ， ，sradm/42
18、sradm/82Hzfs28sfT41（2） ，s16Ts其频谱为 ，其频谱图如图 2-5（d）所示。)16()()( kks kXX的抽样信号 的频谱为)2(tx2txs )16(81 kkss kXT的抽样信号 的频谱为)(s )()( 222 kkss其频谱图如图 2-5（e ） （f）所示。图 2-56. 图 2-6（a）示出了一个系统，在该系统中抽样信号是一个正负号交替的冲激串，如图 2-6（c ）所示，输入信号的傅里叶变换如图 2-6（b）所示。（1） 对 ，画出 和 的傅里叶变换；m2)(txpy（2） 对 ，确定能够从 恢复 的系统；)(tx（3） 对 ，确定能够从 恢复 的系
19、统。m2)(ty第二章 时域离散信号和系统的频域分析（4） 为了使 既能从 又能从 恢复出来，对 来说， 的最大)(tx)(tp)(tym值应为多少？图 2-6解：（1） )2()2()( ktkttpk由 及时移性质，有)(2 kkFTk n kkjkkeP)12( )1)( 第二章 时域离散信号和系统的频域分析nnpFTp XPtxt )12(1)()2(1)()()( 频谱如图 2-6 所示，由于 ，即 ，满足抽样定理，频谱无重叠。m2m，如图 2-6（g）所示。)()(HXY（2）要从 中恢复 ， 需诚意调制信号， 进行左右搬移 ，恢复到 频谱txpt)(txp )(pX)(tx的样子
20、；周期性可经过带宽为 的低通滤波器即可恢复 ，该系统如图 2-6(h)所示。)( mtx)()()( )(21cosmmppFTpuHtt（3）从 y(t)中恢复 ，经过与（ 2）相同的系统即可完成，如图 2-6(i)所示。)(tx（4）要保证 或 都能恢复 ，必须保证 和 不发生混叠，由频谱图可看出，当pytxpXY时，不会发生混叠，则 。mm/a7.已知 x(n)，确定其离散时间傅里叶级数系数。（1） ，周期为 4；30),4sin(1)(x（2） )72i3con（3） nx)(（4） 8s解：（1）第二章 时域离散信号和系统的频域分析 3,21),cos21()4432cos21411
21、881141 30)(2)sin()(0 )21()()21()(21 30)21(30)(3024 kckeejejeejejec njxkkkjj kjjkjjkjj nkjnknkjknj （2） 21,21)( 72733 Nejenx njnjnjnj 12121717 njnjjje 若取 ，则有0k， ， ， ，其余 ， 以 21 为周期。27c147cj23183cjc0kkc（3） x(n)是一个周期为 2，频率 的周期信号，用欧拉公式0 njejnx2)1(与计算频谱系数 的公式相对照，有kc， ， 是一个周期等于 2 的周期信号。1c0（4） 由信号 的表达式可知，该信号
22、的频率 ，周期 N=16。由)(nx80欧拉公式可得 8821)()(8cos)( njejnjejjn第二章 时域离散信号和系统的频域分析将此展开式和计算频谱系数 的公式相对照，并设定 k 值的取值范围从 k=-7 到 k=8，从而可求得在一个周期内的kc频谱系数为 187,0,21kecjjk且具有周期性，周期为 16。kc8.关于某一序列 给出如下条件，试求 。)(nx)(nx（1） 是周期的，周期为 6； （2） ；)( 250（3） ； （4） 具有每个周期内最小的功率。172nx)(x解：将 的傅里叶级数系数记作 。由条件（2）可知， ；)(kc310c因 ，由条件（3）可知， ；
23、njnjne)6(1 63c由帕斯瓦尔定理， 的平均功率)(x250kcP因为每一个非零系数都在 P 中提供一个正的量，又因为 和 的值都已经确定，要使 P 最小，就只有选03c，则 05421cc nnjenx )1(6613)( 9.求下列序列的离散时间傅里叶变换：（1）0)(41)(knkx（2） 5(3cosu（3） nnx)4i)i()(（4） )5()u解：（1） 330 0301 414 )()1( jkjk njknkk njnj ee eeeX 第二章 时域离散信号和系统的频域分析（2） )(213cos3njjen方法一：有定义可得 )1(2)1(21)( 6543 3()
24、(5)3(4)3()(5)3(44)3(4)3(2 jjjj jjjjjj nnjnjj eeeeeX 方法二：令 )(nuny )2sin(91(54jjj eeY，由频移性质)(3cos)(2nynx)3(21sin9)3(21sin9)(211)( 26543 )3(5)(4)3(54jjjj jjjjjjj eeeeX（3） ,0)()i(1jDTFeY 4,)()4sin(2jTFe由频域卷积定理得2)(21212 deYeYeX jjjjj如图 2-9 所示第二章 时域离散信号和系统的频域分析（4）方法一： )4()3()2()1()5()( nnnunx 254324 )si(1
25、 jjjjjjj eeeeeX方法二： jDTFenu1)(j55 24 )sin(11 jjjjj eeeeX方法三：令 ，则)3()2()nuny )2sin(5)(jeY因为 ，所以)()yx 2)sin(5)()( jjjj eeeX10.在图 2-10 所示的信号中，对下列条件中的每一个条件，有哪些信号能够满足？（1） ；（2） ；（3）0)(RejX0)(Imje0)(deXj（4） ； （5） 1RX图 2-10第二章 时域离散信号和系统的频域分析解：（1） ，说明该序列的偶分量为 0，故 x(n)是一个奇函数，由图可知 满足此条0)(RejX )(2nx件。（2） 说明该序列的
26、奇分量为 0。故 x(n)是一个偶函数，由图可知 满足此条件。Imj 3（3） 说明 x(0)=0，)(de因为 ，因此 和 均满足此条件。deXnxXjnj )()(200 )(2nx3（4） 说明该序列 的求和结果或平均值为 0，因为)(0jemnjjexe)()(故 ，因此 满足此条件。mjnxeX)()(02（5） 说明该序列 的偶分量只是一个单位冲击序列 ，故 满足此条件。1Rj )(nx)(n)(1x11. 若 的离散时间傅里叶变换为 ，试确定满足以下 4 个条件的序列 ：)( jeX（a） ；0,nx（b） 在 n=0 点的值大于 0，即 ；)( )(x（c） ；2siiImje
27、X（d） 1)(0nx解：由条件（a）知， 为因果序列。n由条件（c）可得， 212)(Imjjjj jjjjj eeeXj )()1()()()(0nnnx 即1,)(2,)(0nxn其,021,)(x)()()(nx由条件（d） ， )0(xn可得 2(1)(nx12. 已知如图 2-12 所示离散时间函数 x(n)（1） 求 x(n)的离散时间傅里叶变换 ；)(jeX第二章 时域离散信号和系统的频域分析（2） 以周期 N=10，把 x(2n)拓展为一个周期性信号 ：)2(nx 画出周期信号 的波形图；)(nx 把 展开为离散傅里叶级数，并画出频谱图。)2(图 2-12解：（1）由图可得
28、)4()3(2)()1(2)( nnnx 4cos23cs42coss41)( 434 jjjjjjjjjnj eeeeeX（2）由离散信号尺度变换抽取的特点，得 ，其波形如图 2-12（b）所示，以 N=10 为)()()1()()( nnnx 周期拓展为周期序列 ，如图 2-12（c）所示。令 ，其中)2(1其,02)(x为矩形脉冲序列，宽度为 5，其傅里叶变换为)(nx )2sin(5)(X1je由 得NkjkeXcN2)( )10sin(2)102sin(5)(10)(1021 kkeXckjk第二章 时域离散信号和系统的频域分析当 k=2,4,6,8 时， =0kcX10)(k=0，
29、 ；k=1， ； k=3， ；5)01 24.310)(cX24.10)3(1cXk=5， ；k=7， ；k=9， ；739是以 10 为周期的周期函数，其其中一个周期的图形如图 2-12(d)所示。kc(13 求以下序列的 Z 变换及收敛域：（1） )2nu（2） ；(（2） 1（3） )0)n（4） (32(nu解：（1） 10)2()2,2nnZTzzz（2） 21,)()()()( 00 zzunuZT nnnn（3） 1112(1)2()22 ,n nnnuzzz（4）由 Z 变换对， 可得 zuzTn1)(，441 zZ 32)(32 znuZ所以， )(1253)(zzzX901
30、0)2 ,n nZTuz14 若 x(n)为因果序列，其 Z 变换为 X(z)，试求下列序列的 Z 变换：（1） ； （2）niuixa0)(niuxa0)(解：（1）x(n)为因果序列，由卷积的性质 可得)(0numx)(0anuixani 第二章 时域离散信号和系统的频域分析由 Z 变换的卷积性质和 Z 域尺度变换得 1)()()( zaXnuxanuxan（2）由卷积性质的 )0i因 1)( zXnux所以 )(1)()()(0 azXazxaiaZn 15 已知 X(z)，求 x(n)。（1） 1,5.0.12)(3zzzX（2） 2,)3(2)(94)( zzz（3） 1,)(15)
31、(3zX（4） azIn（5） 2,)()z解：因为 ，所以 x(n)为右边序列。1)5.0(15.0.2)( 33zzzX设 )5.0(12.)(32 zDCBA6)(zXd2)5.0(12)(302zz 8.)( 12zC3)(5.0) 5.03. zzzXD则 1.1826)( z所以 )(3)(nununx第二章 时域离散信号和系统的频域分析（2）设 ，则有3212)( zDCzBAzX 1)3(2)1(94)( 22 zzzzX同理有 B=2，C=-1，D=1 。所以 1)(z上式的前两项收敛于满足 ，故属于因果序列的象函数 ，第三第四项收敛域满足 ，故)(1zX2z属于反因果序列的
32、象函数 ，即)(2X，11)(1zz 232)(2zzX则有 )1()(,)(2)( nunxunxn所以 3211（3）因 ，所以 X(n)是假分式，故先长除得 52)(35)(3zzzX2令 ，则3)(21zzX 2123)()21 zzzX故 3)(1n则 212)(zzX由于收敛域 ，则对应序列为反因果序列，由此可得1z )1()21()3)1(2 ) nunnx（4）利用 Z 域微分性质可得，)()azIzX12)(azdXnx ,1第二章 时域离散信号和系统的频域分析由 ，aznua ,1)( azanu ,1)()则 1()(nx（5）利用 Z 域微分性质可得，)2()zIzX2
33、1)(zdX)()( znx又 ，则原序列为左边序列，即21z )1()21nuz所以 )()2(nunx则 116 某系统的差分方程为 ，根据该系统的零极点图确)()2()(25) nxyny定三种可能的单位抽样响应形式，并说明其分别对应的系统特性。图 2-16解：对差分方程两边取 Z 变换，并令初始状态为零，有 )()()(25121zXzYzzY由系统函数定义得 )()(XH其零极点图如图 2-16 所示。如图可知，系统有三种可能的收敛域，分别对应三种不同的单位抽样响应，由于 2312)(1)( zzz第二章 时域离散信号和系统的频域分析当 ，收敛域在两极点外侧，且包含 ，则系统是因果的
34、，但其不包含单位圆，所以系统是非稳定的。2z h(n)为因果序列 )(231)(1nunhn当 ，收敛域为环形，不包含 ，则系统是因果的，但其包含单位圆，所以21z系统是稳定的。h(n)为双边序列。 )1(23)(213)(2 nunnh当 ，系统为非因果不稳定系统，h(n)为左边序列。2z )()(3n17 已知一离散 LTI 系统，用下列差分方程描述 )1()2()1(25) xyny（1）若系统稳定，求系统对 的响应；(ux（2）若系统的系统函数 H(z)的收敛域包含 ，系统的输入信号如图 2-17 所示，求 n=2 时的输出响应 y(n)。解：对差分方程取 Z 变换，并设起始状态为零。
35、 112)(3)(zXzzY得系统函数 254)2(123)()( zzzzXH系统函数的两个极点为： ,1p（1）因为系统稳定，所以 H(z)的收敛域一定包含 z 平面的单位圆，可知收敛域为 ，说明此时系统是非2z因果系统。 1)(zX响应信号的 Z 变换为 21254123 )1()()()()( 2 zzz zzHzYY(z)的收敛域为 X(z)，H(z)收敛域的公共部分为 。第二章 时域离散信号和系统的频域分析 )(215)()2154)(32nununuy（2）由于 H(z)的收敛域已含 ，故系统为因果系统，而非稳定的，其收敛域为 ，单位脉冲响应为z)(2)()(211zzHnh n
36、用卷积和公式得 kk khxhxnhxy 0)()()()( 210321202)(02 kny18已知某离散系统由下面的差分方程描述 )()(4)() nxnyny若给定 及 y(0)=1、y(1)=2 ，试求 y(n)。)(unx解：差分方程又可写为 )1()2()1()2( 两边取 Z 变换，得 )0(04)041)0()(2 zxXzxzXYzyYzyzY 由于 ，故 ，x(0)=x(1)=1，将它们和 y(0)=1、y(1)=2，代入上nux1)(X式，经过整理可得 2)(46)(2zzzY()1nunuy19一线性时不变因果离散时间系统的差分方程描述为 0)2(1(4) kxyn已
37、知 ，y(-1)=2、y(-2)=-3，由 Z 域求解：)(nux（1）零输入响应 ，零状态响应 ，完全响应 y(n)。(yi )s（2）系统函数 H(z)，单位脉冲响应 h(k)。（3）若 x(n)=u(n)-u(n-5)，重求（1） 、 （2） 。解：（1）对差分方程两边进行 Z 变换，得 )(2()1)()1(3)( 2 zXyzYyzYz 整理后得 33zFzy则零输入响应的 Z 域表达式为 112121 244)()()(3)( zzzzyyzYi所以零输入响应为 (4nunni第二章 时域离散信号和系统的频域分析零状态响应的 Z 域表达式为 1112121 234633)()( z
38、zzzFYs所以系统的零状态响应为 )(4)(6)( nunyns系统的完全响应为 )(238)1(7)()( nnsi （2）根据系统函数的定义，可得 11213)( zzzXYHs进行逆变换可得 )()(nunhn（3）若 x(n)=u(n)-u(n-5)，则系统的零输入响应 、单位脉冲响应 h(k)和系统函数 H(z)均不变，根据yi时不变特性，可得系统零状态响应为 )5()2(34)1(26)(234)1(265)5() 5 nunukynuT nnss完全响应为 )5()(34)1(26)(38)1(2765)()( 5 nunuunyn nnx20描述某离散系统的差分方程为 。已知
39、xyy， ，2)(0zizi )()(n试用 Z 变换分析法求响应 y(n)，并求出零输入响应 和零状态响应 yzs解：差分方程又可写为 )2()1()( xny两边取 Z 变换，得 )(0201)2 zXYyzzY由于 ，故 ，将 ，代入上式，经过整理可得()(nux(X)(ii 1212)zXzz所以 222 )(324)(1)( zzzzXzYzs得第二章 时域离散信号和系统的频域分析 )(324)(3)(24)( nununuy nzs 由于 得，12)(Yzi i则全响应为 )(124)()( nunynynzszi 21已知某离散时间系统的差分方程为 )(213x系统初始状态为 ，
40、 ，系统激励为 ，1)(y)2( 3)(xn试求：（1）系统函数 ，系统频率响应 。zH(jeH（2）系统的零输入响应 、零状态响应 和全响应 。)(nyi )yzs)(y解：（1）系统函数为 23231)(21zzz系统频率响应为 )(2jjezj eHej解法一：（2）对差分方程两端同时作 z 变换得 )(2)()()1(2)1(3)( 11 zXzyYyzYz 即 23)(2Xzy上式中，第一项为零输入响应的 z 域表示式，第二项为零状态响应的 z 域表示式，将初始状态及激励的 z 变换 代入，得零输入响应、零状态响应的 z 域表示式分别为3)(X2231)(1zzYzi 33 zzs将
41、 展开成部分分式之和，得)(,i 2412)( zzzYi 35833)(2 zzs即 413)(zYzi 212)(zzYzs对上两式分别取 z 反变换，得零输入响应、零状态响应分别为 )(2)(kkyi )(3583zs故系统全响应为第二章 时域离散信号和系统的频域分析)()(kykyzszi )(3215)(9kk解法二、 （2）系统特征方程为 ，特征根为： ， ；03212故系统零输入响应形式为 kzic)()(21将初始条件 ， 带入上式得1)(yy2)4()2(1czizi解之得 ， ，31c故系统零输入响应为： kziky)(3)(0系统零状态响应为 32321)()( 21 zzzXHYzs 15832zzs即 5813)(Yzs对上式取 z 反变换，得零状态响应为 )(3215)(3)( kkykzs 故系统全响应为 )()(zszi )()(9kk
