1、第六章 离散时间信号与 系统的时域分析,本章内容,离散时间信号及其描述、运算； 离散时间系统的数学模型和算子表示； 离散时间系统的时域模拟； 离散时间系统的时域响应； 单位序列响应和单位阶跃响应； 离散卷积。,6.1 离散时间信号基础,离散信号的数学描述 常见的离散时间信号 离散时间信号的基本运算,一离散信号的数学描述,函数解析式表示,集合表示,图形表示,序列的三种形式,1单位序列,注意：,二常见的离散时间信号,利用单位序列表示任意离散信号,加权性,单位序列的性质,筛选性,2. 单位阶跃序列,3单边指数序列,4正弦序列,思考：正弦序列一定是周期序列吗？,N为序列的最小正周期，为任意正整数。,N
2、为正整数,正弦序列周期性的判别,三离散时间信号的基本运算,1相加,2相乘,3折叠与位移,4抽取与插值,例6-1-5,例6-1-6,5差分：,6累加：,求下列各序列的差分。,例6-1-7,例6-1-8,6.2 离散时间系统,线性时不变离散系统 离散时间系统的数学模型 系统方程的算子表示 离散时间系统的时域模拟,一线性时不变离散系统,线性：,时不变性：,当初始条件不为零时，若系统的零输入响应和零状态响应同时满足线性，则为线性系统。,试判断下来离散时间系统是否为线性时不变系统。,例6-2-1,由于,(1) 设,所以为非线性系统。,所以为时不变系统。,因为,所以,由于,所以为线性系统。,(2) 设,所
3、以为时变系统。,二离散时间系统的数学模型差分方程,例如： y(k)表示一个国家在第k年的人口数 a(常数): 出生率 b(常数): 死亡率 设x(k)是国外移民的净增数 则该国在第k+1年的人口总数为：,y(k+1)=y(k)+ay(k)-by(k)+x(k),=(a-b+1)y(k)+x(k),n阶离散时间系统的差分方程,前向差分：,后向差分：,三.系统方程的算子表示,移序算子,离散因果系统方程的算子表示,则算子表示为,差分算子分子分母中的算子公因子允许消去。差分算子方程两边的公因子也允许消去。,即,例6-2-2,某LTI离散时间系统的差分方程为,试求其传输算子。,系统的算子方程为,即,传输
4、算子为,四离散时间系统的时域模拟,基本运算单元,延时器,加法器,数乘器,已知某二阶离散系统的差分方程为,作出该系统的时域模拟框图。,移项后得,例6-2-3,例6-2-4,某二阶离散系统差分方程为,作出该系统的时域模拟框图。,6.3 离散时间系统的 时域响应,求解方法,1.迭代法,3.零输入响应+零状态响应利用卷积求系统的零状态响应,2.时域经典法：齐次解+特解,离散时间系统的数学模型是常系数线性差分方程。以 后向差分方程为例。即,一迭代法,解差分方程的基础方法差分方程本身是一种递推关系，若已知初始条件和激励，则可以利用迭代法求得差分方程的数值解。,例6-3-1,响应序列的函数表达式为,二时域经
5、典法：齐次解+特解,1.齐次解：齐次方程的解,对于任意阶的差分方程,根据特征根，解的三种情况,2.特解,求解二阶差分方程,特征方程,所以,由,得,例6-3-2,特征根,三零输入响应+零状态响应,1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次,齐次解：,2.零状态响应：初始状态为零，非齐次方程,齐次解+特解：,代入系统差分方程，可递推得到零状态响应的初始值,特征方程,给定边界条件即可求出常数,例6-3-3,例6-3-4,代入原方程求特解,特解,例6-3-5,若某离散时间系统的差分方程为,代入原方程求特解,全解形式,全响应,求系统的零输入响应。,例6-3-6,零输入响应,待定系数怎样求解？ 由什么时刻的
6、初始条件求解？,求初始状态（0状态）,题目中 ,是激励加上以后的,不能说明状态 为0,需迭代求出 。,解得,零输入响应与输入无关,由初始状态（0状态）定C1，C2,例6-3-7,(1)求零输入响应,由,得,(2)求零状态响应,零状态响应满足,所以,所以,(3)求全响应,6.4 单位序列响应和 单位阶跃响应,单位序列响应 单位阶跃响应 因果性、稳定性,求解单位序列响应常见的方法： 迭代法 等效初值法：看成k0时的特殊的零输入响应。单位序列在k=0时对系统的瞬时作用转化为系统的等效初始条件。 传输算子法,一单位序列响应,若描述某离散时间系统的差分方程为,根据单位序列响应的定义，它应满足方程,例6-
7、4-1,齐次解的形式,例6-4-2,系统的差分方程为,系统的单位序列响应为,传输算子法,当传输算子的极点为高阶时,对应的单位序列响应为,传输算子法求单位序列响应的步骤：,例6-4-3,某LTI离散时间系统的差分方程为,传输算子,冲激响应为,二单位阶跃响应,所以,三因果性、稳定性,LTI系统是因果系统的充要条件：,稳定性的充要条件：,单位样值响应绝对和为有限值（绝对可和）收敛。,因果系统：输出变化不领先于输入变化的系统。,例6-4-6,(1)讨论因果性：,(2)讨论稳定性：,因为是单边有起因，,所以系统是因果的。,6.5 卷积和,卷积和的定义 卷积和的求解 卷积和的性质,一卷积和定义,时不变,齐次性,叠加性,卷积和,二卷积和的求解,1.解析法：直接根据卷积和的定义求解。,2.图解法,3.不进位乘法,求解步骤：,换元,折叠并移位,取重叠部分相乘,重叠部分乘积的叠加,图解法,例：,依次类推：,卷积结果：,卷积结果区间确定,三卷积和的性质,1交换律,2结合律,3分配律,4延时特性,不存在微分、积分性质。,例6-5-1,例6-5-2,已知离散时间系统差分方程为,特征方程,特征根,零输入响应,传输算子,零状态响应,解得：,例6-5-4,卷积结果,f(k)的元素个数?,若：,例如：,
