1、第5章离散信号与系统的时域分析 深刻理解离散时间信号的定义与时域特性 能用不同的方法表示离散信号 掌握卷积和运算 并会应用 初步学会建立离散系统的数学模型 差分方程 会画离散系统的时域模拟图 理解离散时间系统状态与初始状态的意义与内涵 了解时域法求解离散系统的响应 全响应 零输入响应 零状态响应 以及单位冲激响应与阶跃响应 本章重点 5 1离散时间基本信号 5 1 1离散时间信号 连续时间信号 连续时间变量t的函数 特点 在时间定义域内 除有限个不连续点外 对任一给定时刻都对应有确定的信号值 离散时间信号 它是离散时间变量tk k 0 1 2 的函数 特点 信号仅在规定的离散时间点上有意义 而
2、在其它时间则没有定义 5 1 2离散时间基本信号 1 单位脉冲序列 5 1离散时间基本信号 定义 位移单位脉冲序列 或 例 筛选性质 5 1 2离散时间基本信号 2 单位阶跃序列 5 1离散时间基本信号 定义 例 3 正弦序列 一般形式为 是周期信号的条件 5 1离散时间基本信号 不一定是周期的 N为正整数 m为整数 对连续时间正弦信号 周期为T0 抽样 取样间隔为Ts 得到的样本为一个正弦序列 5 1离散时间基本信号 称为周期比 例 对于连续时间正弦信号 按3种不同间隔Ts抽样得到的正弦序列 是否周期 1 2 3 指数序列的一般形式为 4 指数序列 5 1离散时间基本信号 1 则 2 若A
3、1 j 0 5 1离散时间基本信号 是虚指数序列 思考 是否是周期的 3 若A和 均为复数 且 5 1离散时间基本信号 f k Ae k一般形式的复指数序列 设复数A j 0 并记e r 5 Z序列 复序列 序列值为复值的序列 根据欧拉公式 5 1离散时间基本信号 一般形式为 z为复数 将z表示为极坐标形式 5 1离散时间基本信号 离散信号 实 最基本的特点 任何离散信号总可以表示为单位脉冲信号的求和 推广到一般的情形 5 1离散时间基本信号 5 1 3离散信号的基本运算 离散信号的基本运算 加 减 乘 移位 反转 尺度变换 差分和累加 一阶前向差分 一阶后向差分 二阶前向差分 二阶后向差分
4、序列的差分 累加 求和 5 2卷积和 5 2 1卷积和的定义 两个连续时间信号f1 t 和f2 t 的卷积运算为 定义 为序列f1 k 和f2 k 的卷积和运算 简称卷积和 ConvolutionSum 1 如果f1 k 为因果序列 k 0时 f1 k 0 2 如果f2 k 为因果序列 当 k i 0 即i k时 f2 k i 0 3 如果f1 k 和f2 k 均为因果序列 卷积和仍为因果序列 考虑到f1 k f2 k 均为因果序列 可将上式表示为 例 设f1 k e k k f2 k k 求f1 k f2 k 解 5 2卷积和 由卷积和定义式 k 0 例 已知离散信号 求卷积和f1 k f2
5、 k 5 2卷积和 法一 图解法 与卷积运算一样 用图解法求两序列的卷积和运算包括信号的翻转 平移 相乘 求和等四个基本步骤 解 5 2卷积和 记卷积和运算结果为f k 令k由 至 变化 f2 k i 图形将从 处开始沿i轴自左向右移动 并由卷积和表达式计算求得卷积和序列f k 5 2卷积和 同理 5 2卷积和 法二 定义法 由定义 把两个序列排成两行 按普通乘法运算进行相乘 但中间结果不进位 最后将位于同一列的中间结果相加得到卷积和序列 5 2卷积和 法三 不进位相乘法 两个有限长序列的卷积和计算 注意 卷积和序列值的序号 原序列序号之和 4321 132 8642 12963 4321 4
6、15191372 K 3 K 2 K 5 K 5 5 2 2卷积和的性质 性质1离散信号的卷积和运算服从交换律 结合律和分配律 5 2卷积和 性质2任一序列f k 与单位脉冲序列 k 的卷积和等于序列f k 本身 性质3若f1 k f2 k f k k1 k2均为整数 5 2卷积和 则 例 已知序列f1 k 2 k 1 k 1 和f2 k k 2 试计算卷积和f1 k f2 k 5 2卷积和 解 用两种方法计算 方法一 图解法 方法二 运用卷积和性质求解 5 2卷积和 当k 1时 乘积项f1 i f2 k i 为零 故f1 k f2 k 0 当k 1时 按卷积和定义 得 故 方法二 应用卷积和
7、性质3 k 0 再应用卷积和性质3 求得 5 2卷积和 例 已知序列f1 k 2 k 1 k 1 和f2 k k 2 试计算卷积和f1 k f2 k 先计算 5 2 3常用序列的卷积和公式 表5 1常用序列的卷积和公式 5 3离散时间系统 5 3 1LTI离散时间系统 时不变特性 若对于任意整数k0 恒有 线性特性 则 af1 k bf2 k ay1 k by2 k a和b为任意常数 系统响应的可分解性 简记为 仅由当前输入信号引起的响应 仅由k0时刻 设k0为初始观察时刻 的初始状态引起的响应 5 3离散时间系统 一个n阶线性时不变离散时间系统 若其输入为f k 全响应为y k 那么 描述该
8、系统输入输出关系的数学模型是n阶线性常系数差分方程 式中 ai i 0 1 n 1 bj j 0 1 m 均为常数 描述离散系统输入输出关系的数学模型 差分方程 或 5 3离散时间系统 例 如图所示的电阻梯形网络 各支路的电阻都是R 每个节点对地的电压为U n n 0 1 2 N 已知两节点的电压U 0 E U N 0 试写出第n个节点的电压U n 的关系式 解 对于任一节点n 1 运用节点电流定律 整理上式 节点n 1 与连续系统的模拟相类似 离散系统也可以用基本的运算单元模拟 延迟器 或称移位器 常数乘法器和加法器 5 3离散时间系统 5 3 3离散系统的时域模拟 5 3离散时间系统 例
9、某离散系统的输入输出差分方程为 试画出系统的模拟框图 解 选择中间变量 5 3离散时间系统 5 3 3系统的响应 系统的响应 其数学模型差分方程的解 一般有如下几种求解方法 1 迭代法 与微分方程的时域经典解法类似 先分别求齐次解与特解 然后代入边界条件求待定系数 3 分别求零输入响应与零状态响应 4 变换域方法 代入初始值逐次求解的方法 2 时域经典法 与连续时间系统的情况相类似 先利用求齐次解的方法得到零输入响应 再利用卷积和的方法求零状态响应 利用Z变换求解差分方程 有许多优点 它是在实际应用中最简便而有效的方法 5 3离散时间系统 5 3 4离散系统的零状态响应 单位脉冲响应 单位阶跃响应 5 3离散时间系统 例 设描述因果离散时间系统的差分方程为 求系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应 解 根据系统的因果性 以此为初始条件 对上式进行递推运算 因此有
