数学运算之行程问题专题.doc

1、数学运算之行程问题专题行程问题的“三要素”路程、速度、时间。（一） 往返平均速度问题（其中 v1 和 v2 分别代表往、返的速度）数学上的平均数有两种：一种是算术平均数 M=(X1+X2+.+Xn)/n 即 （v 1+v2）/2一种是调和平均数（调 和 平 均 数 是 各 个 变 量 值 （ 标 志 值 ）倒 数 的 算 术 平 均 数 的 倒 数 ） 恒 小 于 算 术 平 均 数 。通过往返平均数速度公式的验算，当 v1=10,v2=15,v 平均=12；当 v1=12,v2=15,v 平均 =20，当 v1=15,v2=30,v 平均=20，熟记这个数字：10，12，15，20，30，6

2、0（对应前文溶液蒸发水的那部分）应用：v 1=20（10*2）,v 2=30（15*2）,v 平均=12*2=24，v 1=40,v2=60,v 平均 =48发现一个特点：v 平均数都是更靠近那个小的数，且可以分成两个 1：2 的部分。（二）分类1、相遇问题（描述上是相向而行）：v =v 1+v2相遇问题的核心就是速度和。即 A、B 两者所走的路程和等于速度和*相遇时间；一般的相遇问题: 甲从 a 地到 b 地，乙从 b 地到 a 地，然后两人在途中相遇，实质上是甲乙一起走了 ab 之间这段路程，如果两人同时出发，那么：ab 之间的路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度*相遇时间+乙的速度*相

3、遇时间=甲乙速度和*相遇时间相遇问题的核心是速度和时间的问题【例 1】甲、乙两人同进从 A 点背向出发，沿 400 米环形跑道行走，甲每分种走 80 米，乙每分钟走 50 米，两人至少经过多少分钟才能在 A 点相遇？A10 分钟 B12 分钟 C13 分钟 D40 分钟（年北京市真题）【答案】。解析：甲、乙要在 A 点相遇，则甲、乙行走的路程必是 400 的整数倍数，这样就能排除 A、B、C 三项，选择 D。【例 2】甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。如果两人都按原定速度行进，那么 4 小时相遇；现在两人都比原计划每小时少走 1 千米，那么 5 小时相遇。A、B 两地相距多少千

4、米？【分析】可以想象，如果甲、乙两人以现在的速度（比原计划每小时少走 1 千米）仍然走 4 小时，那么他们不能相遇，而是相隔一段路。这段路的长度是多少呢？就是两人4 小时一共比原来少行的路。由于以现在的速度行走，他们5 小时相遇，换句话说，再行 1 小时，他们恰好共同行完这段相隔的路。这样，就能求出他们现在的速度和了。【解】142（5-4）5=40（千米）对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题，在分析其中某两个的运动情况的同时，还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置，他与前两者有什么关系。分析复杂的行程问题时，最好画线段图帮助思考理解并熟记下面的结论，对分析、解答复杂的行程问题是有好处的

5、。【例 3】上午 9 时,小宇和弟弟同时从家出发去学校参加活动,小宇骑自行车,每分钟行 300 米;弟弟步行、每分钟行 70米.小宇到达学校后,呆了 30 分钟后立即返回家中、途中遇到正前往学校的弟弟时是 10 时 10 分.你知道从家到学校有多远吗?虽然小宇和弟弟同时从家中出发,似乎不符合相遇问题的条件,但在整个的行走过程中隐含著一个相遇问题,即小宇从学校返回,而弟弟正在途中向学校走去,直到两人相遇.我们可以用图示法将二人的行走路线表示出来,以便於理解.从图中可以看出两人共同走的路程是从家到学校路程的 2 倍.那只需求出两人共走了多少路程,则从家到学校这段路程可求.两人共走的路程,即小宇骑自

6、行车的速度所走的时间加上弟弟的步行速度所走的时间解 2 从 9 点到 10 点 10分,共有 70 分钟,因为小宇呆了 30 分钟所以小宇走了分钟,弟弟一直没停,则弟弟走了 70 分钟.答:从家到学校距离 8450 米.【例 4】有甲,乙两列火车,甲车长 96 米,每秒钟行驶 26 米,乙车长 104 米,每秒钟行驶 24 米,两车相向而行、从甲列车与乙列车车头相遇到车尾分开、需要多少秒钟?假设乙列车停止不动,那易知甲行走的路程为两个列车的车身长 200 米.而实际上乙列车没有停,它的速度是 24 米秒,也就相当於乙列车把它的速度给了甲列车,使自己的速度为0.相当於甲车速度为 50 米秒,那从

7、相遇到离开的时间=列车长度和/速度和.【例 5】 （用比例关系）学校田径场的环形跑道周长为 400米，甲、乙两人同时从跑道上的 A 点出发背向跑步，两人第一次相遇后，继续往前跑，甲在跑 26 又 2/3 秒第一次回到 A 点，乙再跑 1 分钟也第一次回到 A 点，求甲乙两人的速度。设甲乙二人相遇的时间是 X由题意得知，乙开始 X 秒所行的距离甲行了：26 又 2/3 秒那么甲乙的速度比是：X：80/3=3X：80甲开始 X 秒所行的距离乙行了 60 秒，即甲乙的速度比也是：60：X所以有：3X：80=60：XX=40 秒那么甲乙的速度比是：60：40=3：2又甲乙的速度和是：400/40=10

8、 米/秒所以甲的速度是：10*3/3+2=6 米/秒，乙的速度是：10*2/5=4 米/秒。2: 相背而行(描述上是相反而行)：v= v 1+v23：追及问题（描述上是追上了）：v= v 1(追的那个速度快)-v2 (被追的速度慢)追及路程=甲走的路程乙走的路程=甲乙速度差*追及时间两个速度不同的人或车，慢的先行（领先）一段，然后快的去追，经过一段时间快的追上慢的。这样的问题一般称为追及问题。有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题，因为这两种情况都满足速度差时间=追及（或领先的）路程。追及问题的核心就是速度差。【例 1】甲、乙二人练习

9、跑步，若甲让乙先跑 10 米，则甲跑 5 秒可追上乙，若乙比甲先跑 2 秒，则甲跑 4 秒能追上乙，则甲每秒跑多少米？（年北京市真题）A2 B4 C6 D7【答案】 C。解析：根据题意，可得下列等式 （4+2）乙速=4甲速 ，10+5乙速=5甲速，将所给选项代入即可求得答案为 C。【例 2】甲、乙两人联系跑步，若让乙先跑 12 米，则甲经6 秒追上乙，若乙比甲先跑 2 秒，则甲要 5 秒追上乙，如果乙先跑 9 秒，甲再追乙，那么 10 秒后，两人相距多少米？A.15 B.20 C.25 D.30【答案】C。解析：甲乙的速度差为 126=2 米/秒，则乙的速度为 252=5 米/秒，如果乙先跑

10、9 秒，甲再追乙，那么 10 秒后，两人相距 59210=25 米。【例 3】小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2 千米，假定小船的速度是每小时 4 千米，水流速度是每小时 2 千米，那么他们追上水壶需要多少时间?分析 此题是水中追及问题，已知路程差是 2 千米，船在 顺水中的速度是船速+水速水壶飘流的速度只等于水速。解：路程差船速=追及时间24=05（小时） 答：他们二人追回水壶需用 05 小时。4：队伍行进问题 1（从队尾到队头）实质上是追及问题：v= v1 (追的那个速度快)- v 2 (被追的速度慢)队伍行进问题 2（从队头到

11、队尾）实质上是相遇问题：v= v1+v2但是，顺着人和队伍走=赶上某人或队伍=追及问题v= v1- v2【例 1】姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走 40 米，走 80 米后姐姐去追他。姐姐每分钟走 60 米，姐姐带的小狗每分钟跑 150 米。小狗追上弟弟又转去找姐姐，碰上姐姐又转去追弟弟，这样跑来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。问小狗共跑了多少米?A.600 B.800 C.1200 D.1600解：姐姐和弟弟的速度差 20，80 除以 20=4 分钟（姐姐要追上弟弟，需要的时间）因此，小狗的路程=4 分钟乘以速度 150=600（关键在于抓住不变的值）【例 2】青蛙跳井（陷阱）一只青蛙往上

12、跳，一个井高 10 米，它每天跳 4 米，又掉下来 3 米，问跳几天就到井口？一定要思考：当只剩下 4 米的时候，一跳就跳出去了，因此是第 6 天跳到 6 米，第 7 天就跳到井口了【例 3】红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行 60 米，队尾的王老师以每分钟 步行 150 米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用 10 分钟。求队伍的长度？A.630 米 B.750 米 C.900 米 D.1500 米设长度为 SS/90+S/210=10不用算，S 肯定被 90 和 210 整除，答案是 A6305、流水问题。船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情

13、况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。流水行船问题（分三类）：水，风，电梯（顺，取和，逆，取差）因此，顺加逆减有原则：水，风，电梯都是带着人走。流水行船问题还有以下两个基本公式：顺水速度=船速+水速， （1）逆水速度=船速-水速.（2）这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2） ，相加和相减就可以得到：（核心）船速=（顺水速度+逆水速度）2，水速=（顺水速度-逆水速度）2。【例 1】甲、乙

14、两港间的水路长 208 千米，一只船从甲港开往乙港，顺水 8 小时到达，从乙港返回甲港，逆水 13 小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。分析 根据题意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本数量关系先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速度和逆水速度可按行程问题的一般数量关系，用路程分别除以顺水、逆水所行时间求出。解：顺水速度：2088=26（千米/小时）逆水速度：20813=16（千米/小时）船速：（26+16）2=21（千米/小时）水速：（2616）2=5（千米/小时）答：船在静水中的速度为每小时 21 千米，水流速度每小时5 千米。【例 2】 某船在静水中的速度是每小时 15 千米，它从上游

15、甲地开往下游乙地共花去了 8 小时，水速每小时 3 千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？分析 要想求从乙地返回甲地需要多少时间，只要分别求出甲、乙两地之间的路程和逆水速度。解：从甲地到乙地，顺水速度：15+3=18（千米/小时） ，甲乙两地路程：188=144（千米） ，从乙地到甲地的逆水速度：153=12（千米/小时） ，返回时逆行用的时间：1441212（小时） 。答：从乙地返回甲地需要 12 小时。【例 3】 甲、乙两港相距 360 千米，一轮船往返两港需 35小时，逆流航行比顺流航行多花了 5 小时.现在有一机帆船，静水中速度是每小时 12 千米，这机帆船往返两港要多少小时？分析 要求

16、帆船往返两港的时间，就要先求出水速.由题意可以知道，轮船逆流航行与顺流航行的时间和与时间差分别是 35 小时与 5 小时，用和差问题解法可以求出逆流航行和顺流航行的时间.并能进一步求出轮船的逆流速度和顺流速度.在此基础上再用和差问题解法求出水速。解：轮船逆流航行的时间：（35+5）2=20（小时） ，顺流航行的时间：（355）2=15（小时） ，轮船逆流速度：36020=18（千米/小时） ，顺流速度：36015=24（千米/小时） ，水速：（2418）2=3（千米/小时） ，帆船的顺流速度：12315（千米/小时） ，帆船的逆水速度：123=9（千米/小时） ，帆船往返两港所用时间：3601

17、5360924+40=64（小时） 。【例 4】某船第一次顺流航行 21 千米又逆流航行 4 千米，第二天在同一河道中顺流航行 12 千米，逆流航行 7 千米，结果两次所用的时间相等，假设船本身速度及水流速度保持不变，则顺水船速与逆水船速之比是：A2.5：1 B3：1 C3.5：1 D4：1 （2005年中央真题）解析 1：典型流水问题。如果设逆水速度为 V，设顺水速度是逆水速度的 K 倍，则可列如下方程：21/KV+4 =12/KV+7将 V 约掉，解得 K=3解析 2，推荐。注意一个关系量，两次时间相等，也就是说，第二天虽然顺流少行了 9km 而节约的时间与逆流多行的 3km所花的时间抵消

18、了。两者时间相等。时间一定，速度比等于路程比，故顺逆比为 21-12/7-4=3:1【例 5】AB 两城由一条河流相连，轮船匀速前进，从 A 城到 B 城需行 3 天时间，从 B 城到 A 城需行 4 天时间，从 A城放一个无动力的木筏，它漂到 B 城需几天？A3 天 B21 天 C24 天 D木筏无法漂流到 B 城（年北京市真题）【答案】C。解析：为流水行船问题，设船在静水中的速度为 x，水的速度为 y，则 4（x-y）=3（x+y） ，那么 x=7y，则答案为 24。6、漂流瓶问题漂流所需时间 Tt1是船逆流的时间，t 2是船顺流的时间，所以 t1t2【例题】已知：A 、 B 是 河边的两

19、 个口岸。 甲船由 A 到 B 上行 需要 10 小 时，下行 由 B 到 A 需要 5 小时 。若乙船 由 A 到 B 上行需要 15 小时， 则 下行由 B 到 A 需要（ ）小时 。A.4 B.5 C.6 D.7注意：甲船和乙船的对应漂流瓶的速度是相等的(同一条河流上)，因此 t=2*10*5/(10-5) t=(2*15*t2)/(15-t2)7、相关问题【例 1】一架飞机所带的燃料最多可以用 6 小时，飞机去时顺风，速度为 1500 千米/时，回来时逆风，速度为 1200 千米/时，这架飞机最多飞出多少千米就需往回飞？A2000 B3000 C4000 D4500（年北京市真题）【答

20、案】 C。解析：风速=（15001200）2=150 千米/时，则 6 小时最多能飞行路程 6（1500150）=8100 千米，所以飞机最多只能飞行 81002=4050 千米，选择 C。【例 2】下图是一个边长为 100 米的正三角形，甲自 A 点、乙自 B 点同时出发，按顺时针方向沿三角形的边行进。甲每分钟走 120 米，乙每分钟走 150 米，但过每个顶点时，因转弯都要耽误 10 秒。乙出发后多长时间能追上甲？A3 分钟 B4 分钟 C5 分钟 D6 分钟（年北京市真题）【答案】 C。解析： 追及问题。甲每走 100 米就要休息 10秒，则甲走 100 米需要 10012060+10=

21、60 秒，甲实际的速度为 10060=5/3 米/秒；乙每走 100 米也要休息 10 秒，则乙走 100 米需要 10015060+10=50 秒，乙实际的速度为 10050=2 米/秒，故乙追上甲需要 100（2-5/3 ）=300 秒=5 分钟，故选择 C。【例 3】商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2 个梯级，女孩每 2 秒向上走 3 个梯级。结果男孩用 40 秒钟到达，女孩用 50 秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有：A80 级 B100 级 C120 级 D140 级 （2005 年中央真题）解析：这是一个典型的

22、行程问题的变型，总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级” ，速度为“男孩或女孩每个单位向上运动的级数” ，如果设电梯匀速时的速度为 X，则可列方程如下， （X+2）40=（X+3/2）50解得 X=0.5 也即扶梯静止时可看到的扶梯级数=（2+0.5）40=100所以，答案为 B。（三）特殊的思维方法。1.“化曲为直解决“复杂行程问题”中曲线运动问题，即运动路线不是直线的问题，物体可以来回跑、可以绕着圆圈跑，还可以绕着正方形、三角形等等各种各样的路线跑。【例 1】2003 年国家 A 类考题第 14 题：姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走 40 米，走了 80 米之后，姐姐去追他。姐姐每分钟走 6

23、0 米，姐姐带的小狗每分钟跑 150 米。小狗追上弟弟又转去找姐姐，碰上姐姐又转去追弟弟，跑来跑去直到姐弟相遇小狗才停下来，则小狗跑了（ ）米A.600 B.800 C.1200 D.1600这是奥数题目中经典的追击、相遇问题。最直接的考虑就是计算出狗第一次追上弟弟跑的路程，然后再回来遇到姐姐跑的路程，扭头再追上弟弟跑的路程，返回跟姐姐相遇跑的路程把这一系列数相加得到结果。只是这么一分析就会发现，这“一系列”竟然有无穷多项，而且每次计算小狗跑的路程都相当麻烦。怕是考试都已经结束了，这一道题连一半还没有做完。显然不能这么求解。注意到一个事实，小狗跑的时候速度是不变的，要想知道小狗跑的路程关键就是

24、能够求出小狗跑的时间。只要姐姐还没追上弟弟，小狗就一步不停的在跑。换句话说小狗跑的总时间正好是姐姐追上弟弟所用的时间。由此可得，小狗跑的路成为， ，选 A。这道题中，小狗跑的路线就是来回了很多次，然而我们把它跑的路线看成在一条平直的路上跑就轻而易举的求解了。【例 2】2005 年国家 A 类考题第 42 题：甲、乙、丙三人沿着 400 米环形跑道进行 800 米跑比赛，甲跑 1 圈时，乙比甲多跑 1/7 圈，丙比甲少跑 1/7 圈。如果他们各自跑步速度不变，那么当乙到达终点时，甲在丙前面（ ）米A.85 B.90 C.100 D.105这道题我们把整个 800 米跑看成是沿着一条直线跑，画一张

25、图来帮助求解。根据题意，当甲跑到 400 米处时，三个人距离 0 点的距离比为（用角标 1、2、3 分别代表甲、乙、丙） ，甲、乙、丙三个人在相同时间内所跑路程之比为上式，因此他们的速度也为，当乙跑到 800 米处时，由于三个人跑步的时间相同，因此他们所跑的路程比值还是即，甲此时跑到了 700 米处，丙此时跑到了 600 米处，所以甲在丙前面 100 米。“化曲为直”之后，利用简单的比例关系，难题变得异常容易。不是圆圈的题目还能变成直线！【例 3】2006 年北京社招考题第 21 题：某单位围墙外公路围成了边长为 300 米的正方形，甲、乙两个人分别从两个对角逆时针同时出发，如果甲每分钟走 9

26、0 米，乙每分钟走70 米，那么经过（ ）甲就能看到乙A.16 分 40 秒 B.16 分 D.15 分 D.14 分 40 秒此题以上手觉得还算容易无非是甲、乙两人之间距离小于 300 米，甲就能看到乙了。仔细想想其实不然即便是甲、乙就差了 1 米，但是两个人刚好处于一个拐角的两边，甲还是看不到乙。这样想下去就会被这道题的方形给“套”进去。我们来把这个题目换个说法，变个图样。这个题现在变成了这样一道题目：甲、乙沿着一条长直公路行走，这条公路每 300 米被划分成“一格” ，一开始乙在甲的右端 2 格处，甲的速度为 90 米/分，乙的速度为 70 米/分，请问，甲、乙两人过多久能够走在同一格内

27、？这跟原题在本质上是同一道题。先用答案中比较好算的一个时间来验证一下，代入 15 分钟这个数值，发现过了 15 分钟时，甲走了 1350 米，乙走了1050 米，甲、乙两人的位置关系变成了图中“甲 ”和“乙 ”所示。而且两人正好处于两个相邻格的正中间。回过头想想一开始的那个做法，这里就会出错了。两人距离不超过 300，但是甲仍然看不到乙。这时候别急着列式求解，分析一下题目现在的情况甲、乙现在距离格档都是 150 米，然而甲比乙走的快。所以当甲走完剩下的 150 米，来到下一个格档的时候，乙还没有走到格档处，也就是这时候甲就能看到乙了。所以，再过 150/901 分 40 秒，甲就能看到乙了。加

28、上开始的 15分钟，一共过了 16 分 40 秒，甲就能看到乙。“化曲为直” ，看似无法求解的题目得到完美解答。当然，有些题目看似可以用这种方法求解，但深究就会发现并不这样。比如，（4）2005 年北京社招考题第 19 题：右图是边长为 100 米的正三角形，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发，按顺时针方向沿三角形的边行进。甲每分钟走 120 米，乙每分钟走 150米，但过每个顶点时，因转弯都要耽误 10 秒。乙出发（ ）分钟方可追上甲A.3 B.4 C.5 D.6粗看来，这道题跟前一道题异曲同工，企图采用同一种方法求解，结果发现这种方法失效了。那么是这种“化曲为直”的方法真的失效了么？我们来

29、深究一下这种方法的奥妙。请注意这样两个事情：第一，根据速度公式 s=vt；第二，在前三道题中，共同特点是需要计算的运动物体或者人，在运动过程中始终保持匀速运动，没有停止过。如果 v 始终不变，随着时间的推移，s 发生了变化，但是这种变化与 s 究竟是什么形状没有关系，只与 s 究竟多长有关。这就是“化曲为直”的内在本质！再看看第四题，这道题中，甲、乙两人都是走走停停，v 在不断发生变化，这时候再把 s“拉直”就肯定出了问题。而对付这类问题则有这类问题的巧妙解法，将在后续的文章中逐一呈现给大家。综上看来， “化曲为直”方法解决的“复杂行程问题” ，是这样一类问题：无论题目中的运动情况多复杂，运动

30、的物体或者人其运动的速度始终保持不变，这时候运动的路线就成了一个迷惑人的“幌子” ，我们把这张幌子“扯平” ，把曲线“拉直” ，这类问题便迎刃而解。2. 整体的思维方法【例 1】C、D 两地间的公路长 96 千米，小张骑自行车自 C往 D，小王骑摩托车自 D 往 C，他们同时出发，经过 80 分两人相遇，小王到 C 地后马上折回，在第一次相遇后 40 分追上小张，小王到 D 地后马上折回，问再过多少时间小张与小王再相遇？分析与解：依题意小张、小王三次相遇情况可画示意图（2） 。这道题如果从常规思路入手，运用相遇问题的基本数量关系来求解是非常不易的。但可根据题中小张、小兰三次相遇各自的车速不变和

31、在相距 96 千米两地其同时相向而行相遇时间不变，进行整体思维。从图（2）可以看到：第三次相遇时，小王小张和走了 3 个全程，所花的时间是803=240（分） 。可见，从第二次相遇到第三次相遇所经过的时间的综合算式是：803-80-40=120（分） 。（四）精选例题及解答例 1. 小张从甲地到乙地，每小时步行 5 千米，小王从乙地到甲地每小时步行 4 千米。两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点 1 千米的地方相遇，甲、乙两地间的距离是多少？分析：用公式路程差速度差=时间。解：12（5-4）=2 小时。甲乙两地间的距离为：（5+4）2=18（千米）例 2. 小张从甲地到乙地步行需要 36 分

32、，小王骑自行车从乙地到甲地需要 12 分。他们同时出发，几分后两人相遇？解：小张速度：小王速度=1:3.两人相遇所需时间 36（1+3）=9（分）例 3. 一列火车长 152 米，它的速度是每小时 63.36 千米。一个人与火车相向而行，全列火车从他身边开过要 8 秒，这个人的步行速度是每秒多少米？分析：相向而行的计算公式 ： 路程=速度和相遇时间。注意单位换算成同一单位。解：63.36 千米/小时=17.6 米/秒这个人的步行速度是：1528-17.6=1.4 米/秒例 4. 兄妹二人在周长 30 米的圆形水池边玩。从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走 1.3 米，妹每秒走 1.2 米。他

33、们第 10 次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？解：他们第 10 次相遇时所用时间 30（1.2+1.3）10=120 秒由 1.212030=424 此时妹妹已跑了 4 圈零 24 米。妹妹还需走 6 米才能回到出发点。例 5. 甲、乙两人练习跑步，若甲让乙先跑 10 米，则甲跑5 秒可追上乙。若乙比甲先跑 2 秒，则甲跑 4 秒能追上乙。那么甲、乙两人的速度是多少？解：甲乙两人速度差 105=2（米/秒）乙的速度 242=4（米/秒）甲的速度 4+2=6（米/秒）例 6. 一只狗追赶一只野兔，狗跳 5 次的时间兔子能跳 6 次，狗跳 4 次的距离与兔子跳 7 次的距离相等。兔子跳出

34、550米后狗才开始追赶，那么狗跳多少米才能追上兔子呢？解: 狗跳 5 次的时间兔子能跳 6 次， 则狗跳 20 次的时间兔子能跳 24 次；又因为狗跳 4 次的距离与兔子跳 7 次的距离相等，所以兔子跳 24 次的距离与狗跳 57 次的距离相等，狗与野兔的速度比为 57：46=35：24。狗比兔子多35-24=11。由速度比等于路程比（时间一定）得 550=1750(米)例 7. 如图，甲在南北路上，由北向南行进，乙在东西路上，由东向西行进。甲出发点在两条路交叉点北 1120 米，乙出发点在交叉点上。两人同时出发，4 分钟后，甲、乙两人所在的位置距交叉点的路程相等（这时甲仍在交叉点北） 。再经

35、过 52 分钟后，两人所在的位置又距交叉点路程相等（这时甲在交叉点南） 。求甲、乙两人的速度。分析：要认真挖掘题中的隐含条件：（1）4 分钟后两人所在位置距交叉点相等，说明甲离交叉点的距离等于乙走过的路程，即两人共走了 1120 米。(2)由于甲在交叉口北1120 米处出发，乙在交叉口处出发，经过（4+52）分钟后两人距交叉口等距，说明乙比甲多走了 1120 米。解:甲、乙两人每分钟走的距离和 11204=280（米）甲、乙两人每分钟走的距离差 1120（4+52）=20（米）甲每分钟走的距离（28020）2= 130（米）乙每分钟走的距离（280 +20）2= 150（米）例 8、甲、乙两车

36、分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。甲车每小时行 45 千米，乙车每小时行 36 干米。相遇以后继续以原来的速度前进，各自到达目的地后又立即返回，这样不断地往返行驶。已知途中第二次相遇地点与第三次相遇地点相距 40 千米。A、B 两地相距多远？分析：我们先画出示意图 1（图 1 中 P、M、N 分别为第一次、第二次、第三次相遇地点）设：AB 两地的距离为“1”.由甲、乙两车的速度可以推知：在相同时内, 乙车所行的路程是甲行路程的=,从而甲、乙两车所行的路程分别占他们共同行完路程的 和解： 第二次相遇两车共行了全程的 3 倍，甲行了全程的3=1，乙行了全程的 3=1，此时 AM=全程的=。

37、第二次相遇两车共行了全程的 5 倍，乙行了全程的 5=2，NB=全程的，此时 AN=全程的,MN=全程的()=40 千米，所以A、B 两地相距 40=90 千米注意：为了保证计算正确，应当在示意图中标上三次相遇时甲、乙两车行的方向。例 9、甲、乙两名同学在周长为 300 米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑 3.5 米，乙每秒钟跑 4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？分析：要知道甲还需跑多少米才能回到出发点，实质上只要知道甲最后一次离开出发点又跑出了多少米。我们先来看看甲从一开始到与乙第十次相遇时共跑了多远。不难知道，这段时间内甲、乙两人共跑的路程是操场周长

38、的 10 倍（30010=3000 米） 。因为甲的速度为每秒钟跑 3.5 米，乙的速度为每秒钟跑 4 米，乙、甲的速度比为 8：7 ，由于在相同的时间内，走过的路程比也是 8：7。所以这段时间内甲共行 1400 米。由此得解。解：他们第十次相遇时，共跑了 30010=3000 米。此时甲跑了 3000=1400 米由 1400300=4（圈）200（米）300-200=100（米） 。因此甲还需跑 100 米才能回到出发点例 10、有甲、乙、丙三人，甲每小时行 3 千米，乙每小时行 4 千米，丙每小时行 5 千米。甲从 A 地，乙、丙从 B 地同时相向出发。丙遇到甲后立即返回，再遇到乙，这时

39、恰好从出发时间开始算经过了 10 小时。求 A、B 两地之间的距离。分析：画出示意图 由相同时间内甲、乙、丙所走路程之比等于他们速度之比，则图中，AC：CB：DB=3:5:4 则 CD:DB=1:4 所以 CD= DB 由丙、乙速度比为 5：4。得 CP：PD：=5：4PD=CD=DB。PB=10PD。PB 即为乙 10 小时走的距离 PB=410=40 千米PD=4 千米 DB=404=36 千米 ，得甲、丙相遇时间为364=9 小时，所以 AB=（4+5+3）9 =72 千米。解法（二） 丙 10 小时比乙多走的路程：2CP=510-410=10（千米） ，则 CP=5（千米）丙走路程 C

40、P 所用时间：55=1（小时）所以甲、丙二人的相遇时间：10- 1=9（小时） 。A、B 两地间的距离：（3+5）9=72（千米） 。答：A、B 两地间的距离为 72 千米。例 11.张老师从北京乘坐飞机回沈阳，原计划八点到机场，结果提前于七点到达。他的儿子接他的车尚未到达。张老师就边散步边往家走，走了一段路后，车到了，此时张老师乘车回家，结果提前 10 分钟到家，请问张老师散步走了多少时间？解：因为汽车提前 10 分钟到家，这节省的时间正好是车接到张老师的地点到机场距离,车所行时间的 2 倍，所以这个距离车应走 5 分钟。所以车接到张老师时是七点五十五分，因此张老师走了 55 分钟。例 12

41、 .甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 50 米，丙每分钟走 40 米.甲从 A 地，乙和丙从 B 地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了 15 分钟又与丙相遇，求 A、B 两地间的距离。画图如下：分析 结合上图，如果我们设甲、乙在点 C 相遇时，丙在 D点，因为过 15 分钟后甲、丙在点 E 相遇，所以 C、D 之间的距离就等于（4060）15=1500（米） 。又因为乙和丙是同时从点 B 出发的，在相同的时间内，乙走到 C 点，丙才走到 D 点，即在相同的时间内乙比丙多走了 1500 米，而乙与丙的速度差为每分钟 50-4010（米） ，这样就可求出乙从 B 到 C 的时

42、间为 150010150（分钟） ，也就是甲、乙二人分别从 A、B 出发到 C 点相遇的时间是150 分钟，因此，可求出 A、B 的距离。解：甲和丙 15 分钟的相遇路程：（4060）15=1500（米） 。乙和丙的速度差：每分钟50-40=10（米） 。甲和乙的相遇时间：150010=150（分钟） 。A、B 两地间的距离：（5060）15016500（米）16.5 千米。答：A、B 两地间的距离是 16.5 千米.例 13 . 甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行，小强经过乙站 100 米时与小明相遇，然后两人又继续前进，小

43、强走到丙站立即返回，经过乙站 300 米时又追上小明，问：甲、乙两站的距离是多少米？先画图如下：分析与解： 结合上图，我们可以把上述运动分为两个阶段来考察：设甲乙两地距离为 a第一阶段从出发到二人相遇：小强走的路程=a+100 米，小明走的路程=a-100 米。第二阶段从他们相遇到小强追上小明，小强走的路程=2a-100 米+300 米=2a+200 米，小明走的路程=100+300=400（米） 。从小强在两个阶段所走的路程可以看出：小强在第二阶段所走的路是第一阶段的 2 倍，所以，小明第二阶段所走的路也是第一阶段的 2 倍，即第一阶段应走 4002200（米），从而可求出甲、乙之间的距离为

44、 200100=300（米） 。例 14一只船在静水中每小时航行 20 千米，在水流速度为每小时 4 千米的江中，往返甲、乙两码头共用了 12.5 小时，求甲、乙两码头间距离。解： 顺水速度与逆水速度之比为（20+4）（204）=2416=32因为路程一定时,速度与时间成反比，所以顺水时间逆水时间=23甲乙两码头距离为 =120（千米）例 15.甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发，如果两人同向而行，甲 26 分钟赶上乙；如果两人相向而行，6 分钟可相遇，又已知乙每分钟行 50 米，求 A、B 两地的距离。先画图如下：分析 若设甲、乙二人相遇地点为 C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从

45、A 到 C 用 6 分钟.而从 A 到 D 则用 26分钟，因此，甲走 C 到 D 之间的路程时，所用时间应为：（26-6）=20（分） 。同时，由上图可知，C、D 间的路程等于 BC 加 BD.即等于乙在 6 分钟内所走的路程与在 26 分钟内所走的路程之和，为50（266）=1600（米）.所以，甲的速度为16002080（米/分） ，由此可求出 A、B 间的距离。解：50（26+6）（26-6）=50322080（米/分）（80+50）61306=780（米）答：A、B 间的距离为 780 米例 16.上午 8 点零 8 分，小明骑自行车从家里出发，8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家

46、 4 千米的地方追上了他.然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明、再追上他的时候，离家恰好是 8 千米，问这时是几点几分？解法（一）.从爸爸第一次追上小明到第二次追上这一段时间内，小明走的路程是 8-4=4（千米） ，而爸爸行了4+8=12（千米） ，因此，摩托车与自行车的速度比是124=31.小明全程骑车行 8 千米，爸爸来回总共行4+12=16（千米） ，还因晚出发而少用 8 分钟，从上面算出的速度比得知，小明骑车行 8 千米，爸爸如同时出发应该骑 24 千米.现在少用 8 分钟，少骑 24-16=8（千米） ，因此推算出摩托车的速度是每分钟 1 千米.爸爸总共骑了 16 千米追上小明

47、，需 16 分钟，此时小明走了 8+16=24（分钟） ，所以此时是 8 点 32 分.解法(二) 这从爸爸第一次追上小明到第二追上小明，小明走了 4 千米，爸爸 走了三个 4 千米，所以小明的速度是时是爸爸速度的倍。爸爸从家到第一次追上小明，比小明多走了 4（11/3）=8/3 千米，共用了 8 分钟，所以小明的速度是 8/38=1/3米，从爸爸从家出发到第二次追上小明，小明 共走了 8 千米，所用时间为 8=24 分 所以现在是 8 点 32 分解法(三)同上,先得出小明的速度是时是爸爸速度的倍. 爸爸从家到第一次追上小明，小明走了 4 千米,若爸爸与小明同时出发,则爸爸应走出 12 千米

48、,但是由于爸爸晚出发 8 分钟,所以只走了 4 千米,所以爸爸 8 分钟应走 8 千米. 由于爸爸从出发 到第二次追上小明共走了 16 千米, 所以爸爸用了 16 分钟,此时离小明出发共用了 8+16=24 分钟, 所以爸爸第二次追上小明时是 8 点 32 分例 17甲乙两地相距 48 千米，其中一部分是上坡路，其余是下坡路。某人骑自行车从甲地到乙地后沿原路返回。去时用了 4 小时 12 分，返回时用了 3 小时 48 分。已知自行车的上坡速度是每小时 10 千米，求自行车下坡的速度解：设自行车下坡的速度为 x，因为某人骑自行车从甲地到乙地后沿原路返回。去时用了 4 小时 12 分，返回时用了 3小时 48 分，共用了 8 小时，由于是往返一次 ，所以上坡行了 48 公里，下坡也行了 48 公里。上坡所需是间是