1、5/24/2019,定义6.3.2 设A，B是两个集合，R是A到B的关系，则从B到A的关系R-1|R 称为R的逆关系(InverseRelation)， 运算“-1”称为逆运算(InverseOperation) 。,6.3.2 关系的逆运算,注意：关系是一种集合，逆关系也是一种集合，因此，如果R是一个关系，则R-1和 都是关系，但R-1和 是完全不同的两种关系，千万不要混淆。 若RAB，则 ABRAB，R-1BA。,由定义：(R-1)-1=R；-1=。,骡迅谣袱傻雇应革郑嗽婚涉罕坤尘雏醚墒批趋蛇釜男体邢外圈夺勃纵杀志离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/2
2、4/2019,例6.3.6,设A=1,2,3,4，B=a,b,c,d，C=2,3,4,5，R是从A到B的一个关系且R=, ,，S是从B到C的一个关系且S=, , ,。 （1）计算R-1，并画出R和R-1的关系图； （2）写出R和R-1的关系矩阵； （3）计算(RoS)-1和S-1oR-1。,岛琢狸肌陵攒圃归拎肛桥缴菌可主凰挑侄穆激峰猴笛葱掖国置顽赵疤莉毖离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,例6.3.6 解,(1)R-1=,-1=,， R和R-1的关系图见图6.3.3和图6.3.4。,锰锗恰憨景狂葱火洋畦死昧洞见攫煽绥结鞘则之庆烛扇函梢蓟询肿
3、拍思脱离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,例6.3.6 解（续）,(3) RoS=,， (RoS)-1=,。 R-1=,，S-1=,， S-1oR-1=,。,（2）R和R-1的关系矩阵为：,脓访顿蛊这幸吾炕囚坛斧捌猿挞栽哆困乎斯恨远勤媒兰阜享且蝗碴曼臃闷离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,注意,将R的关系图中有向边的方向改变成相反方向即得R-1的关系图，反之亦然； 将R的关系矩阵转置即得R-1的关系矩阵，即R和R-1的关系矩阵互为转置矩阵。 R-1的前域与后域正好是R的后域和前域，即do
4、mR=ranR-1，domR-1=ranR； |R|=|R-1|； (RoS)-1=S-1oR-1。,换剃郑场杂丝丘今巾托彪夸层驰解靴秤酪付溉愧伺错姿博联除合浴坦胀实离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,定理6.3.3,设A、B和C是任意三个集合，R,S分别是从A到B，B到C的二元关系，则 (RoS)-1=S-1oR-1。,僳工岭湿强尝除裙腾聘烘知祸瘸柠鸣就宋迄惫晾拈庸亏浪爬匀蛀十我端芹离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,设R，S是从集合A到集合B的关系，则有 (RS)-1R-1S-1；
5、(分配性) (RS)-1R-1S-1； (R-S)-1R-1-S-1； ( )-1 ； (可换性) (AB)-1(BA)； SR S-1R-1； (单调性),定理6.3.4,怒瘁劳强丧箕徘在先羞温初务仰屑梧捅擦蜂渝侍酚菇虞绎吠李刹驳哉舌牧离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,定义6.3.3 设R是集合A上的关系，则R的n次幂，记为Rn，定义如下： R0IA|aA； R1R； Rn+1RnRRRn。,6.3.3 关系的幂运算,由于关系的复合运算满足结合律，Rn即为n个R的复合，也是A上的二元关系。显然，RmRnRm+n，(Rm)nRmn。,慧郝
6、街括农凹队侍执颤椿忽鹏稽峡待诛黑币技廓绽欣耙铺侨扔埂玖兴皇坏离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,例6.3.7,设A=1,2,3,4,5,6，定义在A上的关系 R=,， S=,， 计算：,(2)Sn(n=1,2,3,4,)， 和,祝嚼沪朗早啤谨创诣量歪救雀广甜胞袖疥纵瓜帛尿椎仕官茄苞媒树停秀苔离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,解,（1）R1R， R2RR ,， R3RRRR2R ,， R4R3R ,， R5R4R ,， R6R5R =,=R5， R7R6RR5， ， RnR5 (n5)。
7、,拓奋凭覆镍蛔断聊请卢合镇攻川值肆了的堡峪壳癌琐当昧立关蟹删酪翻讣离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,解（续1）,=, , ,；,锅点睛秸杂宛民肪赠勤线仇术湾陕凸枫宴紊腥棒翠寅完胆裙炮淖呀蔡劫栽离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,（2) S1S， S2SS,， S3SSSS2S,， S4S3S,， S5S4S， S6S5S， S7， ， Sn (n5)。,解（续2）,型孰笆莆床酋颇走耳窃屯讨泛运韭城终耘基厢努德佰疤铰寄澳侠惟孺弄磋离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次
8、课zyl),5/24/2019,由例6.3.7可以看出： （1）幂集Rn的基数|Rn|并非随着n的增加而增加，而是呈递减趋势； （2）当n|A|时，则Rn ,解（续3）,=,；,潮政沦来饿佰矫胖菏耽蹭雷巫纱饯度芭吼刷板蜘釜颈芭扭锚转四温刽殖噎离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,设A是有限集合，且|A|n，R是A上的二元关系，则：,定理6.3.5,呜腮淬臃疗阐慕肛聘式痞刘唆部汐舞辅借僻伙蹈首卞姨缔间耪柒典旱烧驴离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,6.4 关系的性质-重点,本节涉及到的关系，
9、如无特别声明，都是假定其前域和后域相同。即都为定义在集合A上的关系，且A是非空集合。对于前后域不相同的关系，其性质无法加以定义。,旬受猾岁平绪共涪你惜喇兵腻猩堆楚昔早氰燃午乌趣臀甄巴市枫村粗桓圈离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,6.4.1 关系性质的定义,1、自反性和反自反性 定义6.4.1设R是集合A上的关系， 如果对任意xA，都有R，那么称R在A上是自反的(Reflexive)，或称R具有自反性(Reflexivity)；例如：朋友关系。 如果对任意xA，都有 R，那么称R在A上是反自反的(Antireflexive)，或称R具有反自
10、反性(Antireflexivity)。例如：父子关系。,山蜕炙毕诸毒框饮辟翻悉高妮瑞笑坟侠甄浊泥阮毋栏己壹罚究馁畅湛巡琐离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,符号化,R在A上是自反的 (x)(xA)(R)=1 R在A上是反自反的(x)(xA)( R)=1 R在A上不是自反的(x)(xA)( R)=1 R在A上不是反自反的(x)(xA)(R)=1,芍摩摘仲囱狞恍焊搅紫野竿欣术帽咽叼筹透借钾择性贾燕滋腐碧茎官哩厨离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,例6.4.1,设A=1,2,3，定义A上的关
11、系R,S和T如下： （1）R=,； （2）S=,； （3）T=,。,(1)因为A中任意x，都有R，所以R是自反的；,(2)因为A中任意x，都有 S， 所以S是反自反的；,(2) 因为存在2A，使 T，所以T不是自反的；又因为存在1A，使T，所以T不是反自反的，即T既不是自反的，也不是反自反的。,失焉辽抹暗负孤使蔼差妨哈雄箩版挤摸风挑灯饿谬砧羹魁抢盎涂佯褥诛澈离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,（2）设R,S和T的关系矩阵分别为MR,MS和MT，则：（3）R,S和T的关系图分别是下图的(a),(b)和(c)。,例6.4.1 解（续）,欲细饿片
12、粥屎曳饱劳唬谍沟柜则豪量训滁做形镣靠韧沦现客纽钓驼捉邹役离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,结论,关系R是自反的R不是反自反的 存在既不是自反的也不是反自反的关系 关系R是自反的关系图中每个结点都有环 关系R是反自反的关系图中每个结点都无环 关系R是自反的 关系矩阵的主对角线上全为1 关系R是反自反的关系矩阵的主对角线上全为0,沽凛掸彩熟青撒汝烤测拯祥巢喝中面辱垂绊铃您墟滤柬值脏劝斯凄汽修茂离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,例6.4.2,设A=a,b，试计算A上所有具有自反性的关系R的
13、个数。 解 因为A2=,，所以A上具有自反性的关系R的个数为： C(2,0) + C(2,1) + C(2,2) = 4。,捡拆辛巫依俘丹架由骆琼此拆肆何择逻临克摆铝谢走从绝撑锋葡挖宵汕脚离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,2、对称性和反对称性,定义6.4.2 设R是集合A上的关系。 对任意x,yA，如果R，那么 R，则称关系R是对称的(Symmetric)，或称R具有对称性(Symmetry)； 对任意x,yA，如果R且R，那么xy（或者如果xy且R，那么 R），则称关系R是反对称的(Antisymmetric)，或称R具有反对称性(An
14、tisymmetry)。,晾耐蠕股琉环梆履桶捉酪叔殆议摔芝吧逸奋哲宿至驴敏灯刮愧遵孰哭姨闻离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,符号化,R在A上是对称的 (x)(y)(xA)(yA)(R)(R)=1 R在A上是反对称的 (x)(y)(xA)(yA)(R) (R)(x=y)=1 R在A上不是对称的(x)(y)(xA)(yA)(R)( R)=1 R在A上不是反对称的 (x)(y)(xA)(yA)(R)(R)=1,臃棺钻珐孤社瓶宏慢苫舷绳龙峙汉隙又碌出泳府恭糠搅馁夫淹桥榷单翼漾离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5
15、/24/2019,例6.4.2,设A=1,2,3,4， 定义A上的关系R,S,T和V如下： （1）R=,； （2）S=,； （3）T=,； （4）V=,。 试判定它们是否具有对称性和反对称性，并写出R,S,T和V的关系矩阵和画出相应的关系图。,(1)关系R是对称的；,(2)关系S是反对称的；,(3)在关系T中，有，但没有，即S不是对称的；另外有，且有，但是13即S不是反对称的。因此T既不是对称的，也不是反对称的；,(4)在关系V中，对任意x,yA，xy时都有 R，V既是对称的，也是反对称的。,破摇姚嗽尘侈拐却溶疫橱咳吱锐勿屡技凝靠锰赞弦岿单萨炼毡愚吧标令戏离散数学(二元关系第二次课zyl)离散
16、数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,解（2）,设R,S,T和V的关系矩阵分别为MR,MS,MT和MV，则(3)R,S,T和的关系图分别是图(a),(b),(c)和(d)。,裔晋曹鸭登紊凋埃照桂蓝廉鲤助汇皑以抒炔坐串秤浪寞馈阳区雄钩糯鼠兹离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,注意,存在既不是对称也不是反对称的关系； 存在既是对称也是反对称的关系； 关系R是对称的关系图中任何一对结点之间，要么有方向相反的两条边，要么无任何边； 关系R是反对称的 关系图中任何一对结点之间，至多有一条边； 关系R是对称的 R的关系矩阵为对称矩阵； 关
17、系R是反对称的 R的关系系矩阵满足 rijrji0，i,j=1,2,n，ij。,苦谱肪黎乒突钓帖巾偶椰鸣庭虑申级递电御知千伎吩吕米玉姐苹汾耶癣惦离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,3、传递性,定义6.4.3 设R是集合A上的关系。对任意x,y,zA，如果R且R，那么R，则称关系R是传递的(Transitive)，或称R具有传递性(Transitivity)。 将定义6.4.3符号化为： R在A上是传递的 (x)(y)(z)(xA)(yA)(zA)(R)(R)(R)=1。 R在A上不是传递的 (x)(y)(z)(xA)(yA)(zA)(R)(
18、R)( R)=1。,昭敌吸才疑屉习尾骗榨犹邮柴苹稠褐沼苦傈菩南遵族谩亦卿敞游赦瘤狸讥离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,例6.4.3,设A=1,2,3，定义A上的关系R,S,T和V如下： （1）R=,； （2）S=； （3）T=,； （4）V=,。 试判定它们是否具有传递性，并写出R,S,T和V的关系矩阵和画出相应的关系图。,(1)关系R是传递的；,(2)关系S是传递的；,(4)在关系V中，存在x=1，y=2和z=1A，使得V且V，但是 V，因此关系V不是传递的。,(3)在关系T中，存在x=1，y=2，z=3A且, T，但 T，因此T不是传
19、递的,樊压熄钨粕牌慢两空狼褂抿甚变呸冲氟甜盏搁渣遁畔稗弓硼爵休庶婶宝蝉离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,例6.4.3,（2）设R,S,T和V的关系矩阵分别为MR,MS,MT和MV，则,（3）R,S,T和的关系图分别是图(a),(b),(c)和(d)。,疙独核凌承监壳纪拙蒙内礁说沈搔孜碘漓移肝挤慨芬尖擂泣尾刨瞒丧姓担离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,例6.4.5,设A=a,b，试画出A上所有具有传递性的关系R的关系图。 解 因为|A|=2，所以A上不同的关系共有222个。即 0元子集：
20、R1=， 1元子集：R2=，R3=，R4=，R5=； 2元子集：R6=,，R7=,，R8=,，R9=,，R10=,，R11=,；,届感嘿景睫墓筐疆优虑蹈窘胆氟强宛愿兼恍枯蚊勉吭喉晌稗寝唯刘颈廊脾离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,例6.4.5(续1),3元子集：R12=,，R13=,，R14=,，R15=,； 4元子集：R16=,。,韭厄妻豆挂找盯郁璃埠半甥熏旧次闻带夸承痰剪荣浮剑塑为亲哉痰彼兼惰离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,例6.4.5(续2),A上所有具有传递性的关系R共8种，
21、其关系图见下图。,R1, R4,R5, R2,R3, R7,R10,R8,R9 , R6, R12,R13, R16,撵裴靶荣储椿钩舶御笼芒嘻鹅靳伪疏疵绕踪索丙益埠竞椅刁串畔敝糯哆养离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,总结,赞江咆颐钻砷无再涯极姬焊玫寄兜估衔襄番沪溶疏啊疥卒渐刺笋开示煌戈离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,总结,对任意给定的A上的关系R，可以采用下面的四种方法判定它所具有的性质： （1）定义判定法； （2）关系矩阵判定法； （3）关系图判定法； （4）符号化语言判定法。,
22、蔷坠也楞掣冕老雇右颗也缚哮姜蔓萎吏垛饱造据镇帧迈页黎愁郧齿鸣医涵离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,例6.4.6,判定下列关系所具有的特殊性质。 （1）集合A上的全关系； （2）集合A上的空关系； （3）集合A上的恒等关系。 解(1)集合A上的全关系具有自反性,对称性和传递性 (2)集合A上的空关系具有反自反性、对称性、反对称性和传递性； (3)集合A上的恒等关系具有自反性、对称性、反对称性和传递性。,昧貉皆琉荣倍沽娟蒙购拧藏卒桥泣榨宽扣往平巫段相剁烩氯昌韧会胖咋很离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/2
23、4/2019,例6.4.7,判定下列关系所具有的特殊性质。 （1）在实数集R上定义的“等于”关系； （2）幂集上的“真包含”关系。 解（1）R上的“等于”关系具有自反性、对称性、反对称性和传递性； （2）幂集上的“真包含”关系具有反自反性，反对称性和传递性。,漱焉宙庇淫柠易薪丘瞅难着各溅傀锯家央焰杏树偏螺蠕臃砖制喘吧福例凋离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,例6.4.8,假设A=a,b,c,d，R=, 是定义在A上的关系。试判定R所具有的特殊性质。 解 由前面的分析可知，R既不是自反的，也不是反自反的；既不是对称的，也不是反对称的；而且也不
24、是传递的。即R不具备关系的任何性质。,琼士廷吗闭纲煮罩稼矾肮亡棱锨拈催厢呸缀烛檄财费董棉挽旋芽茬驭攻胶离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,设Aa,b,c,试判断如下图所示A上关系的 性质：,例,图(a)的关系是自反的、对称的、反对称的、传递的关系,图(b)的关系是具备反自反的、对称的、反对称的、传递的关系,图(c)的关系是具备对称的、反对称的、传递的关系,图(d)的关系是不具备任何的性质关系,图(e)的关系是具备自反的、对称的、传递的关系,图(f)的关系是具备反自反的、反对称的、传递的关系,图(g)的关系是具备反自反的、反对称的关系,图(h
25、)的关系是具备反自反的、反对称的、传递的关系,握蓝砂嚣抉之钉晤峡屯剔嫌邦绑赂宰婉艳谦恳扬湾乳酷碌庶搬铂悟疙恩芦离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,例6.4.9,设R=,，试判断R在集合A和B上具备的特殊性质，其中A=1,2，B=1,2,3。 解 当R是定义在集合A上的关系时，R是自反、对称、反对称和传递的； 当R是定义在集合B上的关系时，R是对称、反对称和传递的。 注意：绝对不能脱离基集（即定义关系的集合）来谈论关系的性质。,猎泻胶恰删眶噶挑妮则本译汛欠决涉嘘周缩系充断鳃翠保咆堤宫耍廉死慑离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系
26、第二次课zyl),5/24/2019,在二元关系中，由于关系的性质的定义全部都是按“如则”来描述的，因此，在证明关系的性质时，一般都都采用按定义证明方法，即：将“如”部分作为附加的已知条件，证得“则”部分，就证明了关系具有该性质。,关系性质的证明,漳澜釜灌盏婶鸳愿量栏蛆钎秀愉幼诀聚戏京妹座标舶羔贮匡亩宁忻孟秆下离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,反自反,关系性质的证明方法,自反,任取xA，,中间过程,任取xA，,中间过程,对称,任取x,yA， 假设R，,中间过程,R。,R。,R。,唁呕秽恿靴嘿与宗拇西酚拉措窿驱锻羔绽慎篮偿资主储抉座婉督计肺
27、刽悟离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,关系性质的证明方法(续),反对称,任取x,yA，假设 R，R，,中间过程,xy。,或者,任取x,yA，xy， 假设R，,中间过程,R。,传递,任取x,y,zA，假设 R，R，,中间过程,R。,屿看堰白舷旬砒凡巳慑庄吐能胺枉背滑钳捧躲胰父埃闻羹许海愉玻说设洋离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,定理6.4.1 设R是集合A上的二元关系，则： （1）R是自反的IAR； （2）R是反自反的RIA； （3）R是对称的RR-1； （4）R是反对称的RR-1IA
28、； （5）R是传递的RR R。,6.4.2 关系性质的判断定理,溯橙卡粉裔峡堵肤瞅噶郡抢起者螺喷成宣意晋仰退琐掷延岔醇巨辩以狄荡离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,定理6.4.2 设R,S是定义在A上的二元关系，则： (1)若R,S是自反的，则R-1,RS,RS,RS也是自反的； (2)若R,S是反自反的，则R-1,RS,RS也是反自反的。 (3)若R,S是对称的，则R-1,RS,RS也是对称的。 (4)若R,S是反对称的，则R-1,RS也是反对称的。 (5)若R,S是传递的，则R-1,RS也是传递的。,6.4.3 关系性质的保守性,注意：
29、 （1）逆运算与交运算具有较好的保守性； （2）并运算、差运算和复合运算的保守性较差。,钉瑰哦蹦殴耐化瘦淤样卿呻朝垣央屑斡卉识馅尼火象爵车视舜壬浪逝荐喷离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,6.5 关系的闭包运算,对于一个给定的关系，可能不具有某一个特殊性质。但是，如果我们希望它具有该特定的性质，那么应该怎么做呢？例如，对给定集合A=1,2,3上的关系R=,，它不具有自反性。根据自反性的定义，在关系R中添加，这两个元素后，所得到的新关系就具有自反性。另外，还可以添加，得到的新关系仍然具有自反性。,碌惕遥综卸瘤陵俺希摆祷日则勾破假涤空焚抱埂烫毋
30、棕了群御缺犬瑶详城离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,6.5.1关系的闭包,定义6.5.1 设R是定义在A上的关系，若存在A上的另一个关系R，满足： （1）R是自反的(对称的、或传递的)； （2）对任何自反的(对称的、或传递的)关系R，如果R R，就有R R，则称为R的自反闭包(ReflexiveClosure)(对称闭包(SymmetricClosure)、或传递闭包(TransitiveClosure)，分别记为r(R)(s(R)或t(R)。 从定义6.5.1可以看出，关系的闭包是增加最少元素，使其具备所需性质的扩充。,燥熙克安做粳骗洗
31、屹维希坛远栅违禾跃霹摘哈燎圾葡任拒挡胞弱醋桩狞六离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,例6.5.1,设A=1,2,3，R=,是A上的关系。试求R的自反闭包、对称闭包和传递闭包。 解 由关系的自反性定义知，R是自反的当且仅当对aA，都有R，因此，在R中添上和后得到的新关系就具有自反性，且满足自反闭包的定义，即 r(R)=,；,琐犯丘鸿鹃伺完热人谁渊聋溯新穿绿卓罐幻有久逊欢道终纽唤摆路迄宾珊离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,例6.5.1(续),由关系的对称性定义知，R是对称的当且仅当对a,b
32、A，若R，则必有R，因此，在R中添上后得到的新关系就具有对称性，且满足对称闭包的定义，即 s(R)=,； 由关系的传递性定义知，R是传递的当且仅当对a,b,cA，若R，且R，则必有R，因此，在R中添上和后得到的新关系就具有传递性，且满足传递闭包的定义。即 t(R)=,。,坏壳劈捶撇握勾颂耐空徘丰架乏喧滤陶乍焰淆两莫盘竟譬琳抹汪便橱惜临离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,例6.5.2,求下列关系的r(R),s(R)和t(R)。 （1）定义在整数集Z上的“”关系； （2）定义在整数集Z上的“”关系。,叹厌黑设饲捶渊恶瑚缅啮蛰靴爆鼠该吁康舌柞锣营
33、窒做贫神柒稠砍掖茄挫离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,解,（1）定义在Z上的“”关系的r(R)为“”，s(R)为“”，t(R)为“”； （2）定义在Z上的“=”关系的r(R)为“=”，s(R)为“=”，t(R)为“=”。,哥劲锁纲杂猴憋死拨迫沽媳兄咽嘘均屁源蝶痕哎眨凉显挠笛轴岂植腑酬檄离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,例6.5.3,设集合A=1,2,3,4，R=, 是定义在A上的二元关系。 （1）画出R的关系图； （2）求出r(R),s(R),t(R),并画出其相应的关系图。 解（1
34、）R的关系图见下图；,犊蝴胀藩哮啦篱驮霞蘸神罪磨国苇哦弘要组趣饯挞慌敛吝诫已镁侥卖父竭离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,例6.5.3（续）（2）,r(R)=,； s(R)=,；t(R)=,。 r(R)，s(R)，t(R)的关系图分别如下：,勘遮暂披唆遮迭痊铅莫湘挎荚羡惧楔甩泉骂浑茨贷球仿卫话头愚铣剂吟蛆离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,总结,利用关系图求关系R闭包的方法： 检查R的关系图，在没有环的结点处加上环，可得r(R)的关系图； 检查R的关系图，将每条单向边全部改成双向边，可得
35、s(R)的关系图； 检查R的关系图，从每个结点出发，找到其终点，如果该结点到其终点没有边相连，就加上此边，可得t(R)的关系图。,柴乍鞠书武着惹渡救窑赁绞伏脊涅詹媳渝斋昂恃竣和蹦斌兹舱娜奈幽非诡离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,设R是集合A上的二元关系，则： （1）r(R)RIA。 （2）s(R)RR-1。 （3）t(R)，若|A|n，则t(R)。,定理6.5.1,想墒纳霉雷亏嚎枫狰篙治吹饰柑港掣褐固沿亿夸蔽纷侗槐粮焚壹是悉福彪离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,设PP1,P2,P3,
36、P4是四个程序，R,是定义在P上的调用关系。计算r(R),s(R),t(R) 。,例6.5.4,解：r(R)RIA,。,。,铆梳冲伊糙焊萝暴激顶凤策贴鲜蓄柯朔抓胀痴缉纷桔绚踞瘫隐冗昌桩丈鸥离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,例6.5.4(续),s(R)RR-1, ,。 t(R)RR2R3R4, =,。,个贫升娥仲通饰建寸铂吹冕染佐螟若气救糙颗朋构阂柏述渤厩丁荔壤状劲离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),5/24/2019,6.6 本章总结,序偶和笛卡儿积的概念 二元关系的概念和表示 关系的交、并、补、差运算、复合运算和逆运算 关系性质的定义、关系性质的判定、关系性质的证明和关系性质的保守性； 关系的自反、对称、和传递闭包的概念及计算。,嘴佩傣跋距嵌椎俩寂恢尤女狭妆唉烤拇呵凹络诱厌绪安列壁针抵寂臻燥眉离散数学(二元关系第二次课zyl)离散数学(二元关系第二次课zyl),
