1、 已知:圆的方程为:(x - a) + (y - b) = r, 圆上一点 P(x0, y0)解:圆心 C(a, b)直线 CP 的斜率:k1 = (y0 - b) / (x0 - a)因为直线 CP 与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 = - (x0 - a) / (y0 - b)根据点斜式, 求得切线方程：y - y0 = k2 (x - x0)y - y0 = - (x0 - a) / (y0 - b) (x - x0)整理得:(x - x0)(x0 - a) + (y - y0)(y0 - b) = 0 (注意:这式也是很好用的切线方程公式)展开后: x0x - ax
2、+ ax0 + y0y - by + by0 - x0 - y0 = 0 (1)因为点 P 在圆上, 所以它的坐标满足方程:(x0 - a) + (y0 - b) = r化简: x0 - 2ax0 + a + y1 - 2by0 + b = r移项: - x0 - y0 = -2ax0 - 2by0 + a + b - r (2)由(2)代入(1), 得: x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 + (-2ax0 - 2by0 + a + b - r ) = 0化简, (x0x - ax - ax0 + a) + (y0y - yb - by0 + b) = r整理,
3、(x0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r类似地, 对於圆的一般方程:x + y + Dx + Ey + F = 0, 过圆上的点的切线方程.2. 已知:圆的方程为:x + y + Dx + Ey + F = 0, 圆上一点 P(x0, y0)解:圆心 C( -D/2, -E/2 )直线 CP 的斜率:k1 = (y0 + E/2) / (x0 + D/2)因为直线 CP 与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 = - (x0 + D/2) / (y0 + E/2)根据点斜式, 求得切线方程：y - y0 = k2 (x - x0)y - y0 =
4、- (x0 + D/2) / (y0 + E/2) (x - x0)整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 -x0 - y0 = 0 (3)因为点 P 在圆上, 所以它的坐标满足方程:x0 + y0 + Dx0 + Ey0 + F = 0移项: - x0 - y0 = Dx0 + Ey0 + F (4)由(4)代入(3), 得: x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 + Dx0 + Ey0 + F = 0整理, x0x + y0y + D(x + x0)/2 + E(y + y0)/2 + F = 03a
5、. 已知:圆的方程为:(x - a) + (y - b) = r , 圆外一点 P(x0, y0)解: 圆心 C(a, b), 设切点为 M则切线长 PM = (CP - MC) (根据勾股定理)= (x0 - a) + (y0 - b) - r (CP:两点间距离公式求得, MC:半径长)类似地, 对於圆的一般方程:x + y + Dx + Ey + F = 0, 过圆外的点的切线长3b. 已知:圆的方程为:x + y + Dx + Ey + F = 0 , 圆外一点 P(x0, y0)解: 圆心 C( -D/2, -E/2 ), 设切点为 M则切线长 PM = (CP - MC) (根据勾股定理)= (x0 + D/2) + (y0 + E/2) - (D+E-4F)/2) (半径:r=(D +E-4F) / 2)= (x0 + y0 + Dx0 + Ey0 + F)
