1、证明圆的切线方法我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线 . 在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：一、若直线l 过 O上某一点 A，证明 l 是 O的切线，只需连行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.OA，证明 OAl 就例 1 如图，在 ABC中， AB=AC，以 AB为直径的 O交 BC于 D，交 AC于 E，B 为切点的切线交 OD延长线于 F.求证： EF与 O相切 .证明： 连结 OE， AD. AB是 O的直径， AD BC.又 AB=BC， 3= 4. BD=DE， 1= 2.又 OB=OE， OF=OF， BO
2、F EOF（ SAS） . OBF= OEF. BF 与 O相切， OB BF.0 OEF=90. EF 与 O相切 .说明： 此题是通过证明三角形全等证明垂直的例 2如图， AD是 BAC的平分线， P 为 BC延长线上一点，且PA=PD.求证： PA与 O相切 .证明一： 作直径 AE，连结 EC. AD是 BAC的平分线， DAB= DAC. PA=PD， 2= 1+ DAC. 2= B+ DAB， 1= B.又 B= E， 1= E AE是 O的直径，0 AC EC， E+EAC=90.0 1+ EAC=90.即 OA PA. PA 与 O相切 .证明二： 延长 AD交 O于 E，连结
3、 OA， OE. AD是 BAC的平分线， BE=CE， OE BC.0 E+ BDE=90. OA=OE， E= 1. PA=PD， PAD= PDA.又 PDA= BDE,0 1+ PAD=90即 OA PA. PA与 O相切说明： 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例 3 如图， AB=AC，AB 是 O的直径， O交 BC于 D， DM AC于 M求证： DM与 O相切 .证明一： 连结 OD. AB=AC， B= C. OB=OD， 1= B. 1= C.OD AC.DM AC，D DMOD. DM与 O相切证明二： 连结 OD， AD. AB是 O的直
4、径， ADBC.又 AB=AC, 1= 2.DM AC， 2+ 4=900 OA=OD，C 1= 3. 3+ 4=900.即 OD DM. DM是 O的切线说明： 证明一是通过证平行来证明垂直的. 证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.0例 4 如图，已知： AB是 O 的直径，点 C 在 O 上，且 CAB=30，BD=OB， D 在 AB 的延长线上 .求证： DC是 O的切线证明： 连结 OC、 BC. OA=OC， A= 1= 300. BOC= A+ 1=600.又 OC=OB， OBC是等边三角形 . OB=BC.D OB=BD， OB=BC=BD.
5、OC CD. DC是 O的切线 .说明： 此题是根据圆周角定理的推论3 证明垂直的， 此题解法颇多， 但这种方法较好 .2例 5如图， AB 是 O的直径， CD AB，且 OA=ODOP.求证： PC是 O的切线 .证明： 连结 OC2 OA=OD OP， OA=OC，2 OC=OD OP，OCOP.ODOC又 1=1， OCP ODC. OCP=ODC. CD AB，0 OCP=90. PC是 O的切线 .说明： 此题是通过证三角形相似证明垂直的例 6如图， ABCD是正方形， G是 BC延长线上一点，AG交 BD于 E，交 CD于 F.求证： CE与 CFG的外接圆相切 .分析： 此题图
6、上没有画出 CFG的外接圆，但 CFG是直角三角形，圆心在斜边 FG 的中点，为此我们取 FG的中点 O，连结 OC，证明 CE OC即可得解 .证明： 取 FG中点 O，连结 OC. ABCD是正方形， BC CD， CFG是 Rt O是 FG的中点， O是 Rt CFG的外心 . OC=OG， 3= G， AD BC， G= 4. AD=CD， DE=DE，0ADE= CDE=45， ADE CDE（ SAS） 4=1， 1= 3. 2+3=900, 1+2=900.即 CE OC. CE与 CFG的外接圆相切二、若直线 l 与 O没有已知的公共点， 又要证明 l 是 O的切线， 只需作
7、OAl ， A 为垂足，证明 OA是 O的半径就行了，简称： “作垂直；证半径”例 7 如图， AB=AC，D 为 BC中点， D与 AB切于 E 点 .求证： AC与 D 相切 .证明一： 连结 DE，作 DF AC， F 是垂足 .AB 是 D的切线， DEAB. DFAC，0 DEB= DFC=90. AB=AC， B= C.又 BD=CD， BDE CDF（ AAS） DF=DE. F 在 D上 .AC是 D的切线证明二： 连结 DE， AD，作 DF AC， F 是垂足 . AB与 D 相切， DEAB. AB=AC， BD=CD， 1= 2. DEAB， DFAC， DE=DF.
8、F 在 D 上 . AC与 D 相切 .说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明 DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例 8已知：如图，0AC， BD与 O切于 A、 B，且 AC BD，若 COD=90.求证： CD是 O的切线 .证明一： 连结 OA， OB，作 OE CD， E 为垂足 . AC， BD与 O相切， AC OA， BD OB. AC BD， 1+ 2+3+ 4=1800.0O COD=90， 2+3=900， 1+ 4=900 .0 4+5=90 . Rt AOC Rt BDO. ACOC .OBOD OA=OB， AC OC
9、 .OA OD0又 CAO=COD=90， AOC ODC， 1=2.又 OAAC， OECD, OE=OA. E 点在 O上 . CD是 O的切线 .证明二： 连结 OA， OB，作 OE CD于 E，延长 DO交 CA延长线于F. AC，BD与 O相切， ACOA， BDOB. ACBD， F= BDO.又 OA=OB， AOF BOD（ AAS） OF=OD.0 COD=90， CF=CD， 1= 2.又 OA AC， OE CD， OE=OA. E 点在 O上 . CD是 O的切线 .证明三： 连结 AO并延长，作OE CD于 E，取 CD中点 F，连结 OF. AC与 O相切， AC
10、AO. ACBD， AOBD. BD与 O相切于 B， AO的延长线必经过点 B. AB是 O的直径 . ACBD， OA=OB， CF=DF， OFAC， 1= COF.0 COD=90， CF=DF， OF1 CDCF.2 2= COF. 1= 2. OAAC， OECD， OE=OA. E 点在 O上 . CD是 O的切线说明： 证明一是利用相似三角形证明1= 2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明 1= 2. 证明三是利用梯形的性质证明1= 2，这种方法必需先证明A、 O、 B 三点共线 .此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.（注：幼儿教育越显重要，但文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）
