1、高 二 数学必修 5 模块测试题一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、在ABC 中，如果 ，那么ABC 为（D ）cosabBA（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形（D）等腰三角形或直角三角形2、设 是等差数列 的前 n 项和，若 等于（ A）nSa5935S,a则（A）1（B）1（C）2（D）3、某同学的父母想为他 3 年后读大学准备一笔资金，从 2004 年他考入深圳外国语学校高中部起，每年的 8 月 1 日到银行存入 元钱（一年定期） ，若年利率 保持不变，且每ar年到期的存款的本金和利
2、息均自动转为新一年的本金（不计利息税） ，则到 2007 年 8月 1 日将所有存款的本金和利息全部取回，他可取回的钱数（元）为（C） （A） （B）3()ar4()ar（C） （D）14()1r4、在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 ，如果 成等差数列，cba,cB30，ABC 的面积为 ，那么 b 等于 （ B）32（A） （B）132（C） （D） 35、如果 且 ，则关于 的不等式 的解集为（ C）,abR0x0axb（A） （B）|xa|或（C） （D）| |xa6、椭圆 + =1( )的两焦点为 F1、F 2,以 F1F2 为边作正三角形,椭圆恰好平分此2axby0正三角形的
3、另两边,则椭圆的离心率为 （ D ）(A) (B) (C)4-2 (D) -12123337、过抛物线 y2=2px( )的对称轴上一定点 M( )作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若0p0,a线段 PQ 的纵坐标分别是 m、 n,则 的值是 （ B n）（A）-pa (B) -2pa (C) -3pa (D) -4pa8、双曲线 - =1 两焦点为 F1、F 2， ,点 P 在双曲线上，且 PF1、PF 2 的倾斜角之差为 ,则92x16y 3PF1F2 的面积为 （ A ）(A) 16 (B) 32 (C) 32 (D) 42 339、设 ，是“曲线 为椭圆”的 （ B ）“0,acbcb
4、yax2（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件10、 （文）函数 在（0，1）内有极小值，则实数 a 的取值范围为（ D ）32yxa（A） （0，3） (B) （ ） (C) (D),3(0,)3(0,)2（理）已知ABC90，BC平面 M，AB 与平面 M 斜交，那么ABC 在平面 M内的射影是 （ B ）（A）锐角 （B）直角（C）锐角或直角 （D）锐角或直角或钝角二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分. 请把答案填在题中的横线上.11、设 ，式中变量 满足条件 则 的最小值是 1 .zxyxy和 30,2xyz12
5、、数列 的前 n 项和为 .392561,483 (1)n13、若曲线 的一条准线方程为 x=10,则 m 的值是 6 或 86ymx14、 （文）已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为 2x-y=0，则双曲线的离心率为52或14、 （理）在下列命题中：若 、 共线，则 、 所在的直线平行；若 、 所在的ababab直线是异面直线，则 、 一定不共面；若 、 、 三向量两两共面，则 、 、 三cc向量一定也共面；已知三向量 、 、 ，则空间任意一个向量 总可以唯一表示为cp其中不正确命题的序号为 .czbyaxp三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、在 R 上定义运算 ：
6、 若不等式 对任意实数 成(1).xy()()1xax立，求实数 的取值范围a答案： 13(,).216、.求关于 x 的不等式 对一切实数 x 都成立的充要条件.axax32答案： 0,17、 （文）求函数 f(x)= 在0 ，2上的最大值与最小值答案：最大值为 ；最小值为 01ln24（理）在ABC 中，A，B ，C 所对的边分别为 ，已知 成等比数列，且cba,c. 3cos4（）求 的值；1tant（）设 ,.2BACac求 的 值（理）解：（）由 ，得 3os4237sin1(),4B由 及正弦定理，得 2bac2isin.AC于是 1sccositntiniiACB2()x22si
7、n()sin147.iACB（）由 ，得 3BA3co,a又 ，所以 cos42,.b即由余弦定理，得 2cs,bBA即 2cos5,aca 2()49 3.18、 （文）已知曲线 C 的方程为： kx2+(4-k)y2=k+1(k R)（1） 若曲线 C 是椭圆，求 k 的取值范围；（2） 若曲线 C 是双曲线，且有一条渐进线的倾斜角是 600，求此双曲线的方程；（3） 满足（2）的双曲线上是否存在两点 P,Q 关于直线 l：y=x-1 对称，若存在，求出过 P,Q 的直线方程；若不存在，说明理由。（理）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知两点 、 ，若点O)3,1(M),5(N满足 （
8、） ，点 的轨迹与抛物线： 交于 、CNtMtO)1(RtCxy42A两点.B（）求证： ；AB（）在 轴上是否存在一点 ，使得过点 任作抛物线的一条弦，并以该弦为直x)0,(mPP径的圆都过原点。若存在，请求出 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.（文）解:(1)方程变形为 它表示椭圆,则 即 04k41(I) 当 k4 时,双曲线焦点在 x 轴上,a 2= ,b2=- 则k1k4,得 k=634kab(II) 当-1k0 时, ,双曲线焦点在 y 轴上, a2= , b2=- ,则k41a,得 k=6(舍去)34k综上得双曲线方程为 .12762yx(3)若存在,设直线 PQ 的方
9、程为:y=-x+m, 得 4x2+4mx-2m2-72yxm7=0 (*) 设 PQ 的中点是 M(x0,y0),则 M 在 l 上, ,解得 m=- ,23y1232此时方程(*)的 存在满足条件的 P,Q,直线 PQ 的方程为 y=-x-,（理）解：1）解：由 （ ）知点 的轨迹是 、 两点所ONttOC)1(RtCN在的直线，故 点 的轨迹方程是： 即)1(43xy4xy由 062)4(22 xxy 1622 16)(4)(42121xxxy 故 . 021OAB2）解：存在点 ，使得过点 任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点),4(PP由题意知：弦所在的直线的斜率不为零 故 设
10、弦所在的直线方程为： 代入 得 4kyxxy2 01642ky ky421162161422121 yyxOBA 故以 为直径的圆都过原点 OBA设弦 的中点为 则),(yxM)(212x)(12y848412121 kkykkyx弦 的中点 的轨迹方程为：消去 得 .kyx42 82x19、某城市 2005 年末的汽车保有量为 50 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6，并且每年新增汽车数量相同. 为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 100万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少万辆？解：解法 1 设每年新增汽车数量为 x 万辆，依题意，只要上一年末的汽车保有量 m 万辆满足
11、 0 m 100 ，则 x 必须满足(10.06 ) m + x 100，即 x100(1 0.06 ) m ， 由于上式右端作为 m 的函数，在区间 上的最小值是 0.061006，所以上式0.1对任意 m 都成立的充要条件是 x6，即得每年新增汽车数量不应超过 6 万辆.0.1解法 2 从 2005 年起，设逐年的年末的汽车保有量（万辆）依次为 12,na 每年新增汽车数量为 x 万辆，依题意得150,a11(6%)0.94,23,nnnaax且对任意自然数 n，都有 由式可得 1.,nx 110.94()23naa 数列 是等比数列，其公比为 0.94，首项为n211.6,xx 094(
12、3)2,nna又 1.,nax ，1.6()n 式等价于 ，0.9436nx即 1(3)0.94)3,nx当 n=1 时式恒成立；当 n2 时，式可化为1,.n记 32,094nb则有 2316nb 且当 n 无限增大时， 可以任意接近 6，因此，式对任意自然数 n 成立的充要条件是x6，即得每年新增汽车数量不应超过 6 万辆.20、设数列 的前 n 项和为 ，已知 ，且anS1236,1aa， (58)1nS， 1，2，3，其中 A，B 为常数.(52)nSAB（）求 A 与 B 的值；（）证明数列 为等差数列；na（）证明不等式 对任何正整数 都成立.51mna,mn解：（）由已知，得 1
13、223123,78.SaSa由 ， 1，2，3，知(8)n()nAB2137,8,24SB即解得 A20，B8. （）由（）得， ， (5)n1S(52)nS08n ， (53)n2S708，得 ()2n1()()2,nn- ()3n10570,SS+9，得 (5)3n21()(6)(5)0,nnnS6 1,naS 321(2)(04)(5)0.nnaa又 5, 3213210. ,.nnnnaaa即又 5,所以数列 为等差数列. n（）由（）可知， 1()4.nan要证 ，5mn只要证 2.nmn 4,(4)520()16,mnmaamn故只要证 5()10()16a即只要证 20372,mnna 58mna成立，5(19)2037n .5mnn
