1、1数学归纳法导学目标： 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题自主梳理1归纳法由一系列有限的特殊事例得出_的推理方法叫归纳法根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为_归纳法和_归纳法2数学归纳法设 Pn是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题_(或_)成立；(2)在假设_成立的前提下，推出_也成立，那么可以断定 Pn对一切正整数成立3数学归纳法证题的步骤(1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值_时命题成立(2)(归纳递推)假设_时命题成立，证明当_时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立自我检测1
2、用数学归纳法证明：“1 a a2 an1 (a1)”在验证 n1 时，1 an 21 a左端计算所得的项为( )A1 B1 aC1 a a2D1 a a2 a32如果命题 P(n)对于 n k (kN *)时成立，则它对 n k2 也成立，又若 P(n)对于n2 时成立，则下列结论正确的是( )A P(n)对所有正整数 n 成立B P(n)对所有正偶数 n 成立C P(n)对所有正奇数 n 成立D P(n)对所有大于 1 的正整数 n 成立3(2011台州月考)证明 1)，当 n2 时，中间式n 22 12 13 14 12n子等于( )A1 B112C1 D1 12 13 12 13 144
3、用数学归纳法证明“2 nn21 对于 nn0的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0应取( )A2 B3 C5 D65用数学归纳法证明“ n3( n1) 3( n2) 3 (nN *)能被 9 整除” ，要利用归纳假设证 n k1 时的情况，只需展开( )A( k3) 3B( k2) 3C( k1) 3D( k1) 3( k2) 3探究点一 用数学归纳法证明等式例 1 对于 nN *，用数学归纳法证明：21n2( n1)3( n2)( n1)2 n1 n(n1)( n2)16变式迁移 1 (2011金华月考)用数学归纳法证明：对任意的 nN *,1 .12 13 14 12n 1
4、12n 1n 1 1n 2 12n探究点二 用数学归纳法证明不等式例 2 用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数，不等式 (113)(1 15) (1 12n 1)均成立2n 12变式迁移 2 已知 m 为正整数，用数学归纳法证明：当 x1 时，(1 x)m1 mx.探究点三 用数学归纳法证明整除问题3例 3 用数学归纳法证明：当 nN *时， an1 ( a1) 2n1 能被 a2 a1 整除变式迁移 3 用数学归纳法证明：当 n 为正整数时， f(n)3 2n2 8 n9 能被 64 整除从特殊到一般的思想例 (14 分)已知等差数列 an的公差 d 大于 0，且 a2、 a5是方程
5、x212 x270 的两根，数列 bn的前 n 项和为 Tn，且 Tn1 bn.12(1)求数列 an、 bn的通项公式；(2)设数列 an的前 n 项和为 Sn，试比较 与 Sn1 的大小，并说明理由1bn【答题模板】解 (1)由已知得Error!，又 an的公差大于 0， a5a2， a23， a59. d 2， a11，a5 a23 9 33 an1( n1)22 n1.2 分 Tn1 bn， b1 ，当 n2 时， Tn1 1 bn1 ，12 23 12 bn Tn Tn1 1 bn ，12 (1 12bn 1)化简，得 bn bn1 ，4 分13 bn是首项为 ，公比为 的等比数列，
6、23 13即 bn n1 ，23 (13) 23n an2 n1， bn .6 分23n(2) Sn n n2， Sn1 ( n1) 2， .1 2n 12 1bn 3n24以下比较 与 Sn1 的大小：1bn当 n1 时， ， S24， S5.1b3 272 1b3 1b4 812 1b4猜想： n4 时， Sn1 .9 分1bn下面用数学归纳法证明：当 n4 时，已证假设当 n k (kN *， k4)时， Sk1 ，即 (k1) 2.10 分1bk 3k2那么， n k1 时， 3 3(k1) 23 k26 k3( k24 k4)1bk 1 3k 12 3k22 k22 k1( k1)1
7、 2 S(k1)1 ， n k1 时， Sn1 也成立12 分1bn由可知 nN *， n4 时， Sn1 都成立1bn综上所述，当 n1,2,3 时， Sn1 .14 分1bn 1bn【突破思维障碍】1归纳猜想证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律2数列是定义在 N*上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决【易错点剖析】1严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或两个
8、以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础2在进行 n k1 命题证明时，一定要用 n k 时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法1数学归纳法：先证明当 n 取第一个值 n0时命题成立，然后假设当 n k (kN *， k n0)时命题成立，并证明当 n k1 时命题也成立，那么就证明了这个命题成立这是因为第一步首先证明了 n 取第一个值 n0时，命题成立，这样假设就有了存在的基础，至少 k n0时命题成立，由假设合理推证出 n k1 时命题也成立，这实质上是证明了一种循环，如验证了 n01 成立，又证明了 n k1 也成立，这就一定有n2 成立， n2 成立，则 n3
9、 成立， n3 成立，则 n4 也成立，如此反复以至无穷，对所有 n n0的整数就都成立了2(1)第步验证 n n0使命题成立时 n0不一定是 1，是使命题成立的最小正整数(2)第步证明 n k1 时命题也成立的过程中一定要用到归纳递推，否则就不是数学归纳法 (满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时， xn yn能被 x y 整除” ，在第二步时，正确的证法是( )5A假设 n k(kN *)时命题成立，证明 n k1 命题成立B假设 n k(k 是正奇数)时命题成立，证明 n k1 命题成立C假设 n2 k1 ( kN *)时命题
10、成立，证明 n k1 命题成立D假设 n k(k 是正奇数)时命题成立，证明 n k2 命题成立2已知 f(n) ，则( )1n 1n 1 1n 2 1n2A f(n)中共有 n 项，当 n2 时， f(2) 12 13B f(n)中共有 n1 项，当 n2 时， f(2) 12 13 14C f(n)中共有 n2 n 项，当 n2 时， f(2) 12 13D f(n)中共有 n2 n1 项，当 n2 时， f(2) 12 13 143如果命题 P(n)对 n k 成立，则它对 n k1 也成立，现已知 P(n)对 n4 不成立，则下列结论正确的是( )A P(n)对 nN *成立B P(n
11、)对 n4 且 nN *成立C P(n)对 n 的过程中，由1n 1 1n 2 1n n1324n k 推导 n k1 时，不等式的左边增加的式子是_8凸 n 边形有 f(n)条对角线，凸 n1 边形有 f(n1)条对角线，则 f(n1) f(n)_.三、解答题(共 38 分)9(12 分)用数学归纳法证明 1 1 n (nN *)n2 12 13 12n 12610(12 分)(2011新乡月考)数列 an满足 an0， Sn (an )，求 S1， S2，猜想12 1anSn，并用数学归纳法证明11(14 分)(2011郑州月考)已知函数 f(x) e (其中 e 为自然对数的底数)1x2
12、 1|x|(1)判断 f(x)的奇偶性；(2)在(，0)上求函数 f(x)的极值；(3)用数学归纳法证明：当 x0 时，对任意正整数 n 都有 f( )521， n05.5A 假设当 n k 时，原式能被 9 整除，即 k3( k1) 3( k2) 3能被 9 整除当 n k1 时，( k1) 3( k2) 3( k3) 3为了能用上面的归纳假设，只需将( k3) 3展开，让其出现 k3即可课堂活动区例 1 解题导引 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于弄清等式两边的构成规律：等式的两边各有多少项，由 n k 到 n k1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项证明 设 f(
13、n)1 n2( n1)3( n2)( n1)2 n1.7(1)当 n1 时，左边1，右边1，等式成立；(2)假设当 n k (k1 且 kN *)时等式成立，即 1k2( k1)3( k2)( k1)2 k1 k(k1)( k2)，16则当 n k1 时，f(k1)1( k1)2( k1)13( k1)2( k1)12( k1)1 f(k)123 k( k1) k(k1)( k2) (k1)( k11)16 12 (k1)( k2)( k3)16由(1)(2)可知当 nN *时等式都成立变式迁移 1 证明 (1)当 n1 时，左边1 右边，12 12 11 1等式成立(2)假设当 n k (k
14、1， kN *)时，等式成立，即1 12 13 14 12k 1 12k .1k 1 1k 2 12k则当 n k1 时，1 12 13 14 12k 1 12k 12k 1 12k 2 1k 1 1k 2 12k 12k 1 12k 2 1k 1 1 1k 1 2 12k 12k 1 ( 1k 1 12k 2) ，1k 1 1 1k 1 2 12k 12k 1 12 k 1即当 n k1 时，等式也成立，所以由(1)(2)知对任意的 nN *等式都成立例 2 解题导引 用数学归纳法证明不等式问题时，从 n k 到 n k1 的推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等
15、证明 (1)当 n2 时，左边1 ；右边 .13 43 52左边右边，不等式成立(2)假设当 n k (k2，且 kN *)时不等式成立，即 .(113)(1 15) (1 12k 1) 2k 12则当 n k1 时，(113)(1 15) (1 12k 1)1 12 k 1 1 2k 12 2k 22k 1 2k 222k 1 4k2 8k 422k 1 .4k2 8k 322k 1 2k 32k 122k 1 2 k 1 12当 n k1 时，不等式也成立8由(1)(2)知，对于一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立变式迁移 2 证明 (1)当 m1 时，原不等式成立；当 m2 时，左边
16、12 x x2，右边12 x，因为 x20，所以左边右边，原不等式成立；(2)假设当 m k(k2， kN *)时，不等式成立，即(1 x)k1 kx，则当 m k1 时， x1，1 x0.于是在不等式(1 x)k1 kx 两边同时乘以 1 x 得，(1 x)k(1 x)(1 kx)(1 x)1( k1) x kx21( k1) x.所以(1 x)k1 1( k1) x，即当 m k1 时，不等式也成立综合(1)(2)知，对一切正整数 m，不等式都成立例 3 解题导引 用数学归纳法证明整除问题，由 k 过渡到 k1 时常使用“配凑法”在证明 n k1 成立时，先将 n k1 时的原式进行分拆、
17、重组或者添加项等方式进行整理，最终将其变成一个或多个部分的和，其中每个部分都能被约定的数(或式子)整除，从而由部分的整除性得出整体的整除性，最终证得 n k1 时也成立证明 (1)当 n1 时， a2( a1) a2 a1 能被 a2 a1 整除(2)假设当 n k (k1 且 kN *)时，ak1 ( a1) 2k1 能被 a2 a1 整除，则当 n k1 时，ak2 ( a1) 2k1 aak1 ( a1) 2(a1) 2k1 aak1 a(a1) 2k1 ( a2 a1)( a1) 2k1 aak1 ( a1) 2k1 ( a2 a1)( a1) 2k1 ，由假设可知 aak1 ( a1
18、) 2k1 能被 a2 a1 整除， ak2 ( a1) 2k1 也能被 a2 a1 整除，即 n k1 时命题也成立综合(1)(2)知，对任意的 nN *命题都成立变式迁移 3 证明 (1)当 n1 时， f(1)3 48964，命题显然成立(2)假设当 n k (k1， kN *)时，f(k)3 2k2 8 k9 能被 64 整除则当 n k1 时，32(k1)2 8( k1)99(3 2k2 8 k9)98 k998( k1)99(3 2k2 8 k9)64( k1)即 f(k1)9 f(k)64( k1) n k1 时命题也成立综合(1)(2)可知，对任意的 nN *，命题都成立课后练
19、习区1D A、B、C 中， k1 不一定表示奇数，只有 D 中 k 为奇数， k2 为奇数2D3D 由题意可知， P(n)对 n3 不成立(否则 P(n)对 n4 也成立)同理可推 P(n)对 n2， n1 也不成立4D 当 n k 时，左端123 k2，当 n k1 时，左端123 k2( k21)( k1) 2，当 n k1 时，左端应在 n k 的基础上加上(k21)( k22)( k23)( k1) 2.5D f(4)254 2， k4，均有 f(k) k2.仅有 D 选项符合题意62 k19解析 当 n k1 时，左边12 k( k1) k21，从 n k 到 n k1 时，应添加的
20、代数式为( k1) k2 k1.7.1 2k 1 2k 2解析 不等式的左边增加的式子是 .12k 1 12k 2 1k 1 1 2k 1 2k 28 n1解析 f(4) f(3)2， f(5) f(4)3，f(6) f(5)4， f(n1) f(n) n1.9证明 (1)当 n1 时，左边1 ，右边 1，12 12 1 ，命题成立(2 分)32 12 32当 n2 时，左边1 2；右边 2 ，22 12 5221 2 k 1 .(8 分)12 13 12k 12k 1 12k 2 12k 2k k2 12k 1 k 12又 1 0， Sn0，由 S1 (a1 )，变形整理得 S 1，12 1
21、a1 21取正根得 S11.由 S2 (a2 )及 a2 S2 S1 S21 得12 1a2S2 (S21 )，12 1S2 1变形整理得 S 2，取正根得 S2 .2 2同理可求得 S3 .由此猜想 Sn .(4 分)3 n用数学归纳法证明如下：(1)当 n1 时，上面已求出 S11，结论成立(6 分)(2)假设当 n k 时，结论成立，即 Sk .k那么，当 n k1 时，Sk1 (ak1 ) (Sk1 Sk )12 1ak 1 12 1Sk 1 Sk (Sk1 )12 k 1Sk 1 k整理得 S k1，取正根得 Sk1 .2k 1 k 1故当 n k1 时，结论成立(11 分)10由(
22、1)、(2)可知，对一切 nN *， Sn 都成立n(12 分)11(1)解 函数 f(x)定义域为 xR| x0且 f( x) f(x)，1 x 2 1e-1x2 - f(x)是偶函数(4 分)(2)解 当 x0 时 f(x) ， f( ) x2e x.1x2e-1x考虑到： x0 时，不等式 f( )0)， x0 时， g( x)e x10， g(x)是增函数，故 g(x)g(0)10，即 exx(x0)所以当 n1 时，不等式()成立(10 分)假设 n k(k1， kN *)时，不等式()成立，即 xk0)，h( x)( k1)！e x( k1) xk( k1)( k！e x xk)0，故 h(x)( k1)！e x xk1 (x0)为增函数， h(x)h(0)( k1)！0， xk1 0 时，原不等式对 nN *都成立(14 分)
