1、51 定积分概念15 7 反常积分一、无穷限的反常积分定义 1 设函数 f(x)在区间a ) 上连续 取 ba 如果极限 dxf)(lim存在 则称此极限为函数 f(x)在无穷区间a ) 上的反常积分 记作 即dxfa)( dxfdxfba)(li(这时也称反常积分 收敛dxfa)(如果上述极限不存在 函数 f(x)在无穷区间 a )上的反常积分 就没有意义 此时dxfa)(称反常积分 发散 dxfa)(类似地 设函数 f(x)在区间( b 上连续 如果极限(a0) 0dte解 00 1tptptde01dtet2ptpt51 定积分概念3 2211limpepttt 提示 0lilili t
2、ttpte例 3 讨论反常积分 (a0)的敛散性 dxpa1解 当 p1 时 lna当 p1 时 11 pa因此 当 p1 时 此反常积分收敛 其值为 当 p1 时 此反常积分发散 二、无界函数的反常积分定义 2 设函数 f(x)在区间(a b 上连续 而在点 a 的右邻域内无界 取0 如果极限dxfbtat)(lim存在 则称此极限为函数 f(x)在(a b 上的反常积分 仍然记作 即dxfba)( xfdxfbtat)(li)(这时也称反常积分 收敛 dxfba)(如果上述极限不存在 就称反常积分 发散 dxfba)(类似地 设函数 f(x)在区间a b) 上连续 而在点 b 的左邻域内无
3、界 取0 如果极限ftat)(lim存在 则称此极限为函数 f(x)在a b) 上的反常积分 仍然记作 即dxfba)( xfdxftabt)(li)(这时也称反常积分 收敛 如果上述极限不存在 就称反常积分 发散 dxfba)( dxfba)(设函数 f(x)在区间a b上除点 c(acb)外连续 而在点 c 的邻域内无界 如果两个反常积分与dxfxfbc)(51 定积分概念4都收敛 则定义 dxfxfdfbccaba)()()(否则 就称反常积分 发散 dxfba)(瑕点 如果函数 f(x)在点 a 的任一邻域内都无界 那么点 a 称为函数 f(x)的瑕点 也称为无界定义 2 设函数 f(
4、x)在区间 (a b上连续 点 a 为 f(x)的瑕点 函数 f(x)在( a b上的反常积分定义为 dfdxfbtata)(lim)(在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散 类似地函数 f(x)在a b)(b 为瑕点)上的反常积分定义为 dxfdxftabtba)(li)(函数 f(x)在a c)(c b (c 为瑕点) 上的反常积分定义为 fff btcttacta )(lim)(li反常积分的计算 如果 F(x)为 f(x)的原函数 则有btatbtatba xFdfd)(lim)(li)(xt可采用如下简记形式 )(li)()( FbFdxf axa
5、ba 类似地 有 )(lim)()(fbxaba 当 a 为瑕点时 lixFFdf a当 b 为瑕点时 )(li)()(xfbaba 当 c (acb )为瑕点时 )(lim)()(lim)()( xFbaFxdffdxf cccca 例 4 计算反常积分 x02151 定积分概念5解 因为 所以点 a 为被积函数的瑕点 21limxaxad 002rcsin 20rcsinlimxax例 5 讨论反常积分 的收敛性 12解 函数 在区间1 1上除 x0 外连续 且 2x 201lix由于 1)(lim0 0dx即反常积分 发散 所以反常积分 发散 12x2dx例 6 讨论反常积分 的敛散性 baqxd)(解 当 q1 时 bax )ln(当 q1 时 qbaqxd 1)()(当 q1 时 qbax1 )(因此 当 q1 时 此反常积分收敛 其值为 当 q1 时 此反常积分发散 ab
