1、41 不定积分的概念与性质14 2 换元积分法一、第一类换元法设 f(u)有原函数 F(u) u(x) 且 (x)可微 那么 根据复合函数微分法 有d F(x) d F(u)F (u)d u F (x) d(x) F (x) (x)d x 所以 F (x)(x)dx F (x) d(x) F (u)d u d F(u)d F(x) 因此 )()(uCx)()(即 )()( xudfxdfxf F(u) C u (x) F(x)C 定理 1 设 f(u)具有原函数 u(x)可导 则有换元公式 CxFudffdx )()()()( 被积表达式中的 dx 可当作变量 x 的微分来对待 从而微分等式
2、(x)dx du 可以应用到被积表达式中 在求积分 时 如果函数 g(x)可以化为 g(x) f(x)(x)的形式 那么dxg)( d)( xudff例 1. xxd)2(cos2s )2(cosxsin 2xC udin例 2. xdx)23(123)3(1du|lnx|2|l例 3. dexdxexu)()(222Cu例 4. 222 1)(11x Cudxd3 C23)1(41 不定积分的概念与性质2例 5. xdxxdcos1cosintaCu|lln|cos x|C 即 xdcos|lnta类似地可得 x|ilt熟练之后 变量代换就不必再写出了 例 6. daxdxa22)(1 Cr
3、ctn)(2即 dxa21axrt例 7. Csh ch例 8. 当 a0 时, dxadx22)(11 Caxdarcsin)(12即 xa2Crcsin例 9. dxad)1(1 12dxa)(2 Cxa|ln|l1ax|ln21即 dx2|l例 10. xdxln21)(ln1)l(C|2|41 不定积分的概念与性质3例 11. xdexdex3233 C含三角函数的积分 例 12. xdxdsinsin23xdcos)1(2sco2 C31例 13. xdxdxinsicosin452si)i1(i22xdxinisn(i64C753i1i2i1例 14. dxxdcoscos2 )c
4、os(xd2412in41例 15. dxxd24)(coscsdx)cos(12dxx)4cos23(4Cin81si1 xx4i32i483例 16. dd)5cos(12cos Cx5in0i1例 17. dxsicdx2cosi141 不定积分的概念与性质4ln |csc x cot x |C Cxdx |2tan|lt2costan即 ln |csc x cot x |C d例 18. d)2cs(seCx|)2 cot() cs(|lnln |sec x tan x | C 即 ln |sec x tan x | Cxds二、第二类换元法定理 2 设 x (t)是单调的、可导的函数
5、 并且 (t)0 又设 f (t)(t)具有原函数 F(t) 则有换元公式CxFtdtfdxf )()()()( 1其中 t(x)是 x(t)的反函数 这是因为 )(1)()(1 xftfdtxtfdxtF 例 19. 求 (a0) x2解: 设 xa sin t 那么 t2xatatcossin2dx a cos t d t 于是tdcos2 Cta)2in41(2因为 , 所以axtrcsinxttcosin2 dxta)2in41(2 Cxaxa221rcsin解: 设 xa sin t 那么2t41 不定积分的概念与性质5tdadxacos2 Cttt)2in41(2 Cxaxa22r
6、csin提示: dxacos tdt 2xattacossin2提示: , trcsi x2例 20. 求 (a0) 2xd解法一 设 xa tan t 那么2ta sec t dxa sec 2t d t 于是2axt2ntn1 ln |sec t tan t |C 2xddtsecs2因为 所以axt2secatn ln |sec t tan t |C 2xdax)ln(212)ln(ax其中 C 1Cln a 解法一 设 xa tan t 那么2tln|secttant|C dtdsecs22 ax)ln(212)ln(ax其中 C 1Cln a 提示: asect dxa sec 2t
7、 dt 2x2tn提示: atsecx解法二: 设 xa sh t 那么41 不定积分的概念与性质62axdCaxtdtrshch ax1)(ln2 12)ln(其中 C 1Cln a 提示: a ch t dx a ch t d t 2x2tsh例 23. 求 (a0) dx解: 当 xa 时 设 xa sec t ( ) 那么20a tan t 22secat1sec2t于是 ln |sec t tan t |C 2axdtdtsecnasec因为 所以axt2ntsec ln |sec t tan t |C 2xdax|ln212)ln(ax其中 C 1Cln a 当 xa 于是2dau
8、d)ln(22Cx)l( 12)l(Cx 2lnlnaa其中 C 1C2ln a 综合起来有2axdCax|ln2解: 当 xa 时 设 xa sec t ( ) 那么041 不定积分的概念与性质72axdtdtsecnasecCxCt )l(|s|ln2x)l(2其中 C 1Cln a 当 xa 于是2dCad)ln(22xx2l)l( 12lna其中 C 1C2ln a 提示: atant 2x2sectsec2t提示: atnax综合起来有Cxd|ln22补充公式 (16) |cos|ltan Cxd|ilcot(18) |tansec|lse(19) xxd|ot|lc(20) Caarctn12(21) xdx|l(22) aarcsin12(23) Cxx)l(241 不定积分的概念与性质8(24) Caxaxd|ln22
