1、双曲线的几何性质（1） 1一课题：双曲线的几何性质（1） 二教学目标：1能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；2掌握双曲线的渐近线的概念和证明；3明确双曲线方程中 的几何意义；,abc4能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题.三教学重、难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线.四教学过程：（一）复习：1双曲线的定义和标准方程；2椭圆的性质；（二）新课讲解：以双曲线标准方程 为例进行说明。12byax1范围：观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧.ax注意：从双曲线的方程如何验证？从标准方程 可知 ，由此双曲线上点的
2、坐标都适合不等式12by22byax 12ax即 ， 即双曲线在两条直线 的外侧.2xa2对称性：双曲线 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线2的对称轴，原点是双曲线 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.1byax3顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.在双曲线 的方程里，对称轴是 轴，所以令 得 ，因此双曲线和12byax,xy0yax轴有两个交点 ，他们是双曲线 的顶点.)0,(,(2aA12ba令 ，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。0x1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点） ，双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：
3、线段 叫做双曲线的实轴，它的长等于 叫做双曲线的实半轴长.2 ,虚轴：线段 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 叫做双曲线的虚半轴长.B2b在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线） ，但要注意他们并非是双曲线的顶点.4渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.2byax在初中学习反比例函数 时提到 x 轴 y 轴都是它的渐近线。高中三角函数 ，渐ky tanyx双曲线的几何性质（1） 2OxyACBB近线是 .)(2Zkx所谓渐近，既是无限接近但永不相交。那么如何证明这个无限接近但
4、永不相交？思考：从哪个量上反映“无限接近但永不相交”？距离。只要证明什么？距离趋向于 0.下面证明，取第一象限内的部分进行证明.（见课本 ）109P求 法 ： 求 已 知 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 ： 令 右 端 的 1 为 0， 解 出 的 直 线 方 程 即 为 双 曲 线 的 渐 近 线方 程 .5等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 定义式： ab2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直。 xy注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征
5、 ，则等轴双曲线可以设为： ab )0(2y当 时交点在 轴，当 时焦点在 轴上。0x0y6注意 与 的区别：三个量 中 不同（互换） 相同，还有192yx216,c,abc焦点所在的坐标轴也变了。共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。通过分析曲线的方程，发现二者具有相同的渐近线。此即为共轭之意。1）性质：共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。2）如何确定双曲线的共轭双曲线？将 1 变为 。3）共用同一对渐近线 的双曲线的方程具有什么样的特征？可设为kxy，当 时交点在 x 轴，当 时焦点在 y 轴上。)0(12kyx04
6、）与双曲线有同一对渐近线的双曲线的方程可设为 ，当2()yab时交点在 x 轴，当 时焦点在 y 轴上。0（三） 例题分析：例 1求双曲线 的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程。29164y解：把方程化标准方程： ，由此可知，实半轴长 ，虚半轴长 ；234a3b，焦点的坐标是225cab(0,5),渐近线方程为 ，即 。4xy4x例 2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如左图） ，它的最小半径为，上口半径为 ，下口半径为 ，高 ，1m325m选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到 ）.1解：如图（右图） ，建立坐标系 ，使小圆的直径xOy双曲线的几何性
7、质（1） 3在 轴上，圆心与原点重合；这时，上、下口的直径 平行于 轴，且Ax ,CBx， ；设曲线的方程为：|132()Cm|25()Bm21(0,)xyab令点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，因为点 在双曲线上，所以,y25,)y,化简，得 解得2225()(13by197180b25()bm所求双曲线的方程为： .2465xy例 3求与双曲线 有共同渐近线，且过点 的双曲线的方程.(2,)M解：与双曲线 有共同渐近线2故设所求双曲线的方程为 2(0)xyk又过点 (,)M241所求双曲线的方程为 即 .23xy五课堂练习：课本 练习第 1，3，4，5 题13P六课堂小结：双曲线的性质：（可以让学生填写下表）椭 圆 双 曲 线 不 同 点标准方程图 象范 围对 称 性顶 点渐 近 线七作业：课本 习题 8.4 的第 2（1） （2） （4） ，4 题13P补充：求与双曲线 有共同渐近线，且过点 的双曲线的方程.24xy(2,)M
