1、【例 1】 等差数列前 10 项的和为 140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第 6 项解 依题意，得0ad=140a52d1513579 2()解得 a1=113，d=22 其通项公式为an=113(n 1)(22)=22n135a 6=2261353说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素 a1、d，再求其他的这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法在本课中如果注意到 a6=a15d，也可以不必求出 an 而直 接 去 求 ， 所 列 方 程 组 化 简 后 可 得 相 减 即 得 ，29=84d5a5d=311即 a63可见，在做题的时候，要注意运
2、算的合理性当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提【例 2】 在两个等差数列 2，5，8，197 与 2，7，12，197 中，求它们相同项的和解 由已知，第一个数列的通项为 an3n1；第二个数列的通项为bN=5N 3若 amb N，则有 3n15N 3即 n2()若满足 n 为正整数，必须有 N3k1(k 为非负整数)又 25N3197，即 1N40，所以N1，4，7，40 n=1，6，11，66 两数列相同项的和为21732197=1393【例 3】 选择题：实数 a，b，5a，7，3b，c 组成等差数列，且ab5a73bc2500 ，则 a，b，c 的值分别为 A1，3，5 B1
3、，3，7C1，3，99 D1，3，9解 2b=a5b3a由 题 设 又 145a3b， a1，b3首项为 1，公差为 2又 S=nad 2502 n501()a 50=c=1(501) 2=99 a1，b3，c 99【例 4】 在 1 和 2 之间插入 2n 个数，组成首项为 1、末项为 2 的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为 913，求插入的数的个数解 依题意 21(2n21)d 前 半 部 分 的 和 后 半 部 分 的 和 S(n1)d 2()+1()n1由 已 知 ， 有 化 简 ， 得解 之 ， 得 Snddnn129132913() d=5 由，有(2n1)d
4、=1 由 ， ， 解 得 ，1n5 共插入 10 个数【例 5】 在等差数列a n中，设前 m 项和为 Sm，前 n 项和为 Sn，且SmS n，mn，求 Sm+n解 ()a()1)dnn+n1 2且 SmS n，mn 整 理 得 a(1)da(1)dn=01122即 由 ， 知 (mn)a(n1)d=012S m+n0【例 6】 已知等差数列a n中，S 3=21，S 6=64，求数列|a n|的前 n 项和Tn 分 析 =adan1 1等 差 数 列 前 项 和 ， 含 有 两 个 未 知 数 ，()2d，已知 S3 和 S6 的值，解方程组可得 a1 与 d，再对数列的前若干项的正负性进
5、行判断，则可求出 Tn 来解 d3a=21b54n11设 公 差 为 ， 由 公 式 得 ()2解方程组得：d2，a 19a n9(n 1)(n 2)2n11由 得 ， 故 数 列 的 前 项 为 正 ，0 n=5.a5n2其余各项为负数列a n的前 n 项和为：S9n()10 12当 n5 时，T nn 210n当 n6 时，T nS 5|S nS 5|S 5(S nS 5)2S 5S nT n2( 25 50)(n 210n)n 210n50即 =10 56*2N说明 根据数列 an中项的符号，运用分类讨论思想可求|a n|的前 n 项和【例 7】 在等差数列 an中，已知 a6a 9a
6、12a 1534，求前 20 项之和解法一 由 a6a 9a 12a 1534得 4a138d34又 S20d120a 1190d5(4a 138d)=534=170解 法 二 S=(a+)20=1(a)201 20由等差数列的性质可得：a6a 15=a9a 12a 1a 20 a 1a 20=17S20170【例 8】 已知等差数列 an的公差是正数，且 a3a7=12，a 4a 6=4，求它的前 20 项的和 S20 的值解法一 设等差数列a n的公差为 d，则 d0，由已知可得(a2d)(b12 35=411 由，有 a124d，代入，有 d2=4再由 d0，得 d2 a 1=10最后由
7、等差数列的前 n 项和公式，可求得 S20180解法二 由等差数列的性质可得：a4a 6a 3a 7 即 a3a 7 4又 a3a7=12 ，由韦达定理可知：a3，a 7 是方程 x24x120 的二根解方程可得 x1=6，x 22 d0 a n是递增数列a 36，a 7=2=2a10S82， ， 【例 9】 等差数列a n、b n的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，若STnb3110， 则 等 于 ABCD 2319201分 析 nS=n(a+)n1该 题 是 将 与 发 生 联 系 ， 可 用 等 差 数 列 的 前 项和 公 式 把 前 项 和 的 值 与 项 的 值 进 行 联 系
8、bSTn0232解 法 一 ， SnaTnbTbnnnnn()()11112232a 100a 1a 199，2b 100 b1b 199 选 b0191=23+=9 C解法二 利用数列a n为等差数列的充要条件： Snan 2bn STn231可设 Sn2n 2k，T nn(3n1)k abknknabn12210 1334621392()()说明 该解法涉及数列a n为等差数列的充要条件 Sn=an2bn，由已 知 ， 将 和 写 成 什 么 ？ 若 写 成 ， ，STn31ST=kT(3n1)kk 是常数，就不对了【例 10】 解答下列各题：(1)已知：等差数列a n中 a23，a 61
9、7，求 a9；(2)在 19 与 89 中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为 1350，求这几个数；(3)已知：等差数列a n中，a 4a 6a 15a 1750，求 S20；(4)已知：等差数列a n中，a n=333n，求 Sn 的最大值分析与解答(1)a=(62)d =562 173a9=a6(96)d=173( 5)=32(2)a1=19，a n+2=89，S n+2 1350 S=(a+)(n2n2135098 =3aa4d2+51故 这 几 个 数 为 首 项 是 ， 末 项 是 ， 公 差 为 的 个 数 18612352(3)a 4a 6a 15a
10、 17=50又因它们的下标有 417615=21a 4a 17=a6a 15=25S=(+)202011250417()a(4)a n=333n a 130S=(+)2n1()63263238nnnN，当 n=10 或 n=11 时，S n 取最大值 165【例 11】 求证：前 n 项和为 4n23n 的数列是等差数列证 设这个数列的第 n 项为 an，前 n 项和为 Sn当 n2 时，a nS nS n-1a n(4n 23n)4(n1) 23(n 1)=8n1当 n=1 时，a 1=S1=43=7由以上两种情况可知，对所有的自然数 n，都有 an=8n1又 an+1a n 8(n1)1
11、(8n1) 8这个数列是首项为 7，公差为 8 的等差数列说明 这里使用了“a n=SnS n-1”这一关系使用这一关系时，要注意，它只在 n2 时成立因为当 n1 时，S n-1=S0，而 S0 是没有定义的所以，解题时，要像上边解答一样，补上 n1 时的情况【例 12】 证明：数列 an的前 n 项之和 Snan 2bn(a、b 为常数) 是这个数列成为等差数列的充分必要条件 证 由 Snan 2bn，得当 n2 时，a nS nS n-1an 2bna(n1) 2b(n 1)=2nabaa1S 1ab对于任何 nN，a n2naba且 ana n-1=2na(ba)2(n1)aba2a(
12、常数 )a n是等差数列若a n是等差数列，则Sad=dn(a)211 n()()221若 令 ， 则 ， 即da=b1Sn=an2bn综上所述，S n=an2bn 是a n成等差数列的充要条件说明 由本题的结果，进而可以得到下面的结论：前 n 项和为Sn=an2bnc 的数列是等差数列的充分必要条件是 c0事实上，设数列为u n，则： 充 分 性 是 等 差 数 列 必 要 性 是 等 差 数 列 =0Sanbuuanc2nn2【例 13】 等差数列a n的前 n 项和 Snm，前 m 项和 Smn(mn) ，求前 mn 项和 Sm+n解法一 设a n的公差 d按题意，则有 aSdn (m)
13、ad=nmn11 ， 得 ()()212即 ad=11mnSanmdn2121()()=(mn)解法二 设 SxAx 2Bx(xN)AmBn 2 ，得 A(m2n 2)B(m n) nmmn A(mn)B= 1故 A(mn) 2B(mn) (m n)即 Sm+n(mn)说明 a1，d 是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解 决 其 它 问 题 ， 但 本 题 关 键 在 于 求 出 了 ， 这 种 设 而 不ad11n2解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴解法二中，由于是等差数列，由例 22，故可设 Sx=Ax2Bx(xN)【例 14】 在项数为 2n 的等差数列中，各奇数
14、项之和为 75，各偶数项之和为 90，末项与首项之差为 27，则 n 之值是多少？解 S 偶项 S 奇项 =ndnd=9075=15又由 a2na 127，即(2n1)d=27nd5 (2)7n=5 【例 15】 在等差数列a n中，已知 a125，S 9S 17，问数列前多少项和最大，并求出最大值解法一 建立 Sn 关于 n 的函数，运用函数思想，求最大值根 据 题 意 ： ， =17adad916282a 1=25，S 17S 9 解得 d2 25n()n6=(n13)6922当 n=13 时，S n 最大，最大值 S13169解法二 因为 a1=250，d20，所以数列a n是递减等差
15、数 列 ， 若 使 前 项 和 最 大 ， 只 需 解 ， 可 解 出 a0n+1a 125，S 9S 17 ， 解 得 25d=1725d=286a n=25(n 1)(2)=2n 27 270(1)n13.52=即前 13 项和最大，由等差数列的前 n 项和公式可求得 S13=169解法三 利用 S9=S17 寻找相邻项的关系由题意 S9=S17 得 a10a 11 a12a 17=0而 a10a 17=a11a 16=a12a 15=a13a 14a 13a 140，a 13=a 14 a 130，a 140S 13=169 最大解法四 根据等差数列前 n 项和的函数图像，确定取最大值时的 na n是等差数列可设 SnAn 2Bn二次函数 y=Ax2Bx 的图像过原点，如图 321 所示S 9S 17， 对 称 轴 x=+1723取 n=13 时，S 13169 最大
