1、等差数列的前n项和,如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放100支. 这个V形架上共放了多少支铅笔？,想一想:,？,1+100 2+99 . . . 50+51,德国数学家高斯 （数学王子）,？,？,试一试,一、数列前n项和的意义,数列an：a1，a2 ,a3 ，an ,我们把a1a2 a3 an叫做 数列an的前n项和，记作Sn,二、等差数列的前n项和公式推导,问题2：设等差数列 的首项为 ，公差为,议一议,问题1：设等差数列 的首项为 ，第n项是,两式左右分别相加，得,等差数列的前n项和公式:,形式1:,形式2:,联想：,我国数列求
2、和的概念起源很早， 到南北朝时，张丘建始创等差 数列求和解法。他在张丘建 算经中给出等差数列求和问题： 例如：今有女子不善织布，每日所 织布以同数递减，初日织五尺，,等差数求和的历史,末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？,原书的解法是：“并初、末日织布数，半之,再乘以织日数，即得”,练一练,1.根据下列各题中的条件,求相应的等差数列an的前n项和Sn,解:,例1.为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛,某同学给自己制定了7天的训练计划:第一天跑5000m,以后每天比前一天多跑500m.这个同学7天一共将跑多长的距离?,练一练,例2.已知一个等差数列an前10项的和是310, (1)若首项a1
3、=4,求这个等差数列的公差d,(2)若前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前30项和的公式吗?,3.一个多边形的周长等于158cm,所有各边的长成等差数列,最大边的长等于44cm,公差等于3cm,求多边形的边数.,练一练,4.若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有_项。,作业,1.将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？,当d0时,Sn是常数项为零的二次函数,则 Sn=An2+Bn,令,等差数列an前n项和的性质,性质1:Sk,S2kSk,S3kS2k, 也是等差数列,公差为,在等差数列an中,其前n项
4、的和为Sn,则有,性质2:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项), 此时有:S偶S奇= ,k2d,nd,性质2:(2)若项数为奇数2n1,则S2n-1=(2n 1)an (an为中间项),此时有:S奇S偶= ,两等差数列前n项和与通项的关系,性质4:若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则,性质3: 为等差数列.,an,等差数列的性质应用：,例1、已知一个等差数列前n项和为25，前2n项的和为100，求前3n项和。,例2.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( ) A
5、.63 B.45 C.36 D.27,例3.在等差数列an中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=( ) A.85 B.145 C.110 D.90,B,A,3.等差数列an前n项和的性质的应用,等差数列的性质应用：,例4、已知等差数列 的前10项之和为140，其中奇数项之和为125 ， 求第6项。,解：由已知,则,故,解一：设首项为a1,公差为d,则,例. 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项之和与奇数项之和的比为32：27，求公差。,由,解二：,例5. 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27
6、，求公差。,等差数列的性质应用：,例、已知一个等差数列的总项数为奇数，且奇数项之和为77，偶数项之和为66，求中间项及总项数。,解：由 中间项,得中间项为11,又由,得,等差数列an前n项和的性质的应用,例6.(09宁夏)等差数列an的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m= .,例7.设数列an的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+|a15|= .,10,153,等差数列an前n项和的性质的应用,例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130. (1)求公差d的取值范围; (2)指出数列Sn中数值最大的项,并说
7、明理由.,解:(1)由已知得,等差数列an前n项和的性质,(2) ,Sn图象的对称轴为,由(1)知,由上得,即,由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.,Sn有最大值.,例7.已知数列 前n项和 （1）求证： 为等差数列,n,a,练习：已知在等差数列an中,a10=23, a25=-22 ,Sn为其前n项和.,（1）问该数列从第几项开始为负？ （2）求S10 （3）求使 Sn0的最小的正整数n. (4) 求|a1|+|a2|+|a3|+|a20|的值,课堂小结,1.根据等差数列前n项和，求通项公式.,2、结合二次函数图象和性质求 的最值.,3.等差数列an前n项和的性质,性质1:Sk,S2
8、kSk,S3kS2k, 也在等差数列,公差为,在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有,性质2:若Sm=p,Sp=m(mp),则Sm+p=,性质3:若Sm=Sp (mp),则 Sp+m=,性质4:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项), 此时有:S偶S奇= ,k2d,0,nd, (m+p),性质4:(1)若项数为奇数2n1,则S2n-1=(2n 1)an (an为中间项),此时有:S奇S偶= ,两等差数列前n项和与通项的关系,性质6:若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则,性质5: 为等差数列.,an,作业： 衡水中学课时作业,
