1、2.3.2 双曲线的简单几何性质课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系1双曲线的几何性质标准方程 1x2a2 y2b2(a0，b0) 1y2a2 x2b2(a0， b0)图形焦点焦距范围对称性顶点轴长 实轴长_，虚轴长_离心率性质渐近线2.直线与双曲线一般地，设直线 l：ykxm (m0)双曲线 C： 1 (a0，b0)x2a2 y2b2把代入得(b 2a 2k2)x22a 2mkxa 2m2a 2b20.(1)当 b2a 2k20，即 k 时，直线 l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线 C 相交ba于_(2)当 b2a
2、2k20，即 k 时，ba (2a 2mk)24(b 2a 2k2)( a2m2a 2b2)0直线与双曲线有 _公共点，此时称直线与双曲线相交； 0直线与双曲线有_公共点，此时称直线与双曲线相切；0， b0)的虚轴长为 2，焦距为 2 ，则双曲线的渐近线方程x2a2 y2b2 3为( )Ay x By2x2Cy x Dy x22 125直线 l 过点( ，0)且与双曲线 x2y 22 仅有一个公共点，则这样的直线有( )2A1 条 B2 条 C3 条 D4 条6已知双曲线 1 (a0，b0)的左、右焦点分别为 F1、F 2，点 P 在双曲线的右x2a2 y2b2支上，且|PF 1| 4|PF2
3、|，则此双曲线的离心率 e 的最大值为( )A . B C. 2 D .43 53 73题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7两个正数 a、b 的等差中项是 ，一个等比中项是 ，且 ab，则双曲线 1 的52 6 x2a2 y2b2离心率 e_.8在ABC 中，a，b，c 分别是A ，B，C 的对边，且 a10，cb6，则顶点A 运动的轨迹方程是_ 9与双曲线 1 有共同的渐近线，并且经过点(3，2 )的双曲线方程为 x29 y216 3_三、解答题10根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)经过点 ，且一条渐近线为 4x3y0；(154，3)(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，
4、与两个顶点连线的夹角为 .311设双曲线 x2 1 上两点 A、B，AB 中点 M(1,2)，求直线 AB 的方程y22能力提升12设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. B.2 3C. D.3 12 5 1213设双曲线 C： y 21 (a0)与直线 l：xy1 相交于两个不同的点 A、B.x2a2(1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围；1双曲线 1 (a0，b0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为x2a2 y2b2(a，0)，实轴长为 2a，虚轴长为 2b；其上任一点 P(x，y)的横
5、坐标均满足|x|a.2双曲线的离心率 e 的取值范围是(1，)，其中 c2a 2b 2，且 ，离心率ca ba e2 1e 越大，双曲线 的开口越大可以通过 a、b、c 的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围3双曲线 1 (a0，b0)的渐近线方程为 y x，也可记为 0；与双曲线x2a2 y2b2 ba x2a2 y2b2 1 具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为 ( 0)x2a2 y2b2 x2a2 y2b22.3.2 双曲线的简单几何性质知识梳理1.标准方程 1(a0，b0)x2a2 y2b2 1(a0，b0)y2a2 x2b2图形焦点 F1(c,0)，F 2(c,0) F1(0，c
6、)，F 2(0，c)焦距 |F1F2|2c范围 xa 或 xa，yR ya 或 ya，xR对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称顶点 (a,0)，(a,0) (0，a)，(0，a)轴长 实轴长2a，虚轴长2b离心率 e (e1)ca性质渐近线 y xbay xab2.(1)一点 (2)两个 一个 没有作业设计1B e ，e2 ， ，故选 B.62 c2a2 32 b2a2 122A3C 由于椭圆 4x2y 21 的焦点坐标为 ，(0， 32)则双曲线的焦点坐标为 ，又由渐近线方程为 y x，得 ，即 a22b 2，又由(0， 32) 2 ab 22a 2b 2，得 a2 ，b2 ，又由于焦点在
7、 y 轴上，因此双曲线的方程为 2y24x 21.(32) 12 14故选 C.4C 由题意知，2b2,2c 2 ，则 b1，c ，a ；双曲线的渐近线方程为 y 3 3 2x.225C 点( ，0)即为双曲线的右顶点， 过该点有两条与双曲 线渐近线平行的直线与双2曲线仅有一个公共点，另过该 点且与 x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点6B |PF 1|PF 2|2a，即 3|PF2|2a，所以|PF 2| ca，即 2a 3c3a，即 5a3c ，2a3则 .ca 537.133解析 ab5，ab6，解得 a，b 的值为 2 或 3.又 ab，a3，b2.c ，从而 e .13ca 13
8、38. 1( x3)x29 y216解析 以 BC 所在直线为 x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐 标系，则 B(5,0) ，C(5,0)，而|AB| |AC|63)x29 y2169. 1x294 y24解析 所求双曲线与双曲线 1 有相同的渐近线， 可设所求双曲线的方程为x29 y216 ( 0)点(3,2 )在双曲线上，x29 y216 3 . 329 23216 14所求双曲线的方程为 1.x294 y2410解 (1)因直线 x 与渐近线 4x3y0 的交点坐标为 ，而 30 时，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 1 ，x1 x22 k2 k2 k2k1，满足 0，直线
9、AB 的方程为 yx1.方法二 (用点差法解决)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Error!，两式相减得(x 1x 2)(x1x 2) (y1y 2)(y1y 2)12x1x 2， ，y1 y2x1 x2 2x1 x2y1 y2kAB 1，直线 AB 的方程为 yx1，21222代入 x2 1 满足 0.y22直 线 AB 的方程为 yx 1.12.D 设双曲线方程为 1(a0，b0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为x2a2 y2b2y x，ba而 kBF ， ( )1，整理得 b2ac .bc ba bcc2a 2ac 0，两边同除以 a2，得 e2e 10，解得 e 或 e
10、(舍去)，故选 D.1 52 1 5213解 (1)由双曲线 C 与直线 l 相交于两个不同的点得Error!有两个不同的解，消去 y 并整理得(1 a 2)x22a 2x2a 20，Error!解得 0，0 且 e .262 2双曲 线 C 的离心率 e 的取值范围是( ， )(62，2) 2(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)(x1，y1 1) (x2，y21) ，512由此可得 x1 x2.x1，x2 都是方程的根，512且 1a 20，x 1x 2 x2 ，1712 2a21 a2x1x2 x ，消去 x2 得 ，5122 2a21 a2 2a21 a2 28960即 a2 .又a0 ，a .289169 1713
