1、第 1 页 共 5 页点集拓扑复习题一、概念叙述1、拓扑空间 2、邻域、邻域系 3、集合 A 的凝聚点4、闭包 5、基 子基 6、子空间7、 （有限）积空间 8、隔离子集 9、连通集10、连通集 11、连通分支 12、局部连通空间13、 空间 14、 空间 15、可分空间1A2A16、 空间 17、 空间（ ） 18、正则空间LindelofiT1,234i19、正规空间 20、紧致空间 21、可数紧空间22、列紧空间 23、序列紧空间 24、局部紧空间二、判断题1、有限集不可能有聚点 （ ）2、拓扑空间 X 的子集 A 是闭集的充要条件是 （ ）A3、如果 ，则 （ ）ABB4、设 Y 是拓
2、扑空间 X 的子空间，A 是 Y 的子集，则 A 在 Y 中的导集是 A 在 X 中的导集与 Y 的交。 （ ）、若 是同胚映射，则 （ ）:ffX、离散空间中任意子集的导集都是空集 （ ）、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集 （ ）、度量空间必是 空间 （ ）2A、在 中， 是开集 （ ）lR,ab、映射 是连续映射的 若拓扑空间中序列 收敛:fXYix于 ，则扑拓空间中相应序列 收敛于 （ ）xifx()f、设为拓扑空间，为连通分支，是的一个连通子集，则 （ ）YC、 空间必为可分空间 （ ）2A、正则且正规空间必为 空间 （ ）0T、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集 （ ）、设是一
3、个拓扑空间， ，则点 是集合的一个凝聚AXx点 在 中有一个序列收敛于 （ ）Ax、度量空间也是拓扑空间 （ ）、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间 （ ）、拓扑空间 是一个连通空间当且仅当 中不存在既开又闭的XX非空真子集. ( )19、若拓扑空间中的子集 是连通集，则它的闭包 也是一个连通AA第 2 页 共 5 页集。20、设 、 是拓扑空间 中的两个连通子集，则 也是 的ABXABX一个连通子集 （ ）21、如果 、 是拓扑空间 中两个不交的开子集，则 、 必是X 中隔离子集 （ ）22、拓扑空间的可分性是一个可遗传性 （ ）23、正规空间必是 Hausdorf
4、f 空间 （ ）24、在一个紧致的 空间中，一个集合是紧致子集 它是一个闭集2T（ ）25、紧空间必是 Lindelf 空间 （ ）26、度量空间中紧致集必是有界闭集 （ ）27、正则空间必是 Hausdorff 空间 （ ）28、设 是空间 、 的积空间， , 分别是 、12X1X2A1X2B1X中闭集 （ ）229、设 、 是拓扑空间 中两个子集，并且 ，则有AB（ ）dd30、若拓扑空间 是连通空间，则 必是局部连通空间 （ ）XX三、填空1、设 是同胚映射，则 必是一一映射，并且 和 都是:fXYf连续的。2、设 是拓扑空间 的子集， 的拓扑 称为 ；拓扑空,YY间 称为 的 。,Y,
5、X3、连通空间 中既开又闭的子集只能是 和 。4、设 是拓扑空间，若 的每一 覆盖都有一个 ，则 是 Lindelf 空间。X5、正规的 空间或紧致的 空间是 空间。4T6、 是拓扑空间。若 的每一个 开覆盖都有 ，则X是可数紧致空间。7、如果 是离散空间 中一个非空连通子集，则 必是 A A。8、如果 是一个可数集，则 上的可数补拓扑空间必定是 XX。9、设 是离散度量空间， 上度量为 则 中任一1,0xyyX点 的球形邻域 。x,1Bx10、在拓扑空间 中，如果子集 是开集， 是闭集，则 是 XABAB第 3 页 共 5 页是 。BA11、设 是实数集 上的可数补空间， 是 中一个可数集，
6、,XRAX是 中一个不可数集，则 ， = ddB。12、如果集合 上的任一拓扑 ，拓扑空间 都是紧致空间，X(,)X则 必是 。13、在平面空间 中，度量 定义为任意两点2R则以原点 为中121212, ,axbyabxyO心， 为半径的球形邻域 的图形是 。00,B14、积空间 的子基元素的一般形式是 或 12X。15、设 是实数空间 的一个子空间，则 的子集0,3YRY是 的 。,116、在实数空间 中，取 为整数集， 为有理数集，则 RABA， 。B17、设 = ， 上拓扑 ，取子集 ，则X,abc,XabAb。dA18、如果 是平庸空间，则 必为紧致空间，它的每一个开覆盖XXA，必有有
7、限子覆盖 = 。1A四、单选题1、设 = ，它的一个拓扑是（ ）X,abcA,B,bcaC,cD,bc2、设 是拓扑空间， 为所有闭集构成的族，则有（ ） XF若 则有Ai1,2 12nA F若 则有Bi 若 则C,XFDXA3、设 为拓扑空间，则对 ，必有（ ） ,AB是闭集ABCBD4、设 为拓扑空间， ，则有 （ ） XxX的任意邻域都是 的开集 的任意邻域都是 的闭集x xX包含 的开集都是 的邻域 Cx若 是 的邻域，但 不是 的邻域D12,U12Ux5、已知 是实数空间的一个开子空间，那么下列集合中是空间0,中的开集是 （ ） ,第 4 页 共 5 页A0,bB,abC,abD其中
8、 ,1a6、设 ， 是平庸拓扑， 中两子集是隔离的是（ ,Xc,X） 与 与 与 与AabB,ab,cCa,bcDa7、下面命题中正确的是（ ） 平庸空间是 空间 0T在 空间中，存在收敛于两个不同的极限点的序列B2空间未必是 空间 空间中每一单点集都是闭集C1T0D1T8、若 是 空间，则 必是（ ） XHausdorfX正则空间 正规空间 空间 空间ABC3D1T9、下面不连通的拓扑空间是（ ） 实数空间 平庸空间 () B包含多于两个点的离散空间C拓扑学家正弦曲线D21,sin01SxRx10、下面正确的命题是（ ） 设 是连续映射，若 满足第二可数性公理（即 是()A:fXYXX空间）
9、 ，则 也是 空间。2 2A空间必存在一个子空间不满足第二可数性公理。B2A若拓扑空间 都是 空间，则积空间 也CiX1n2A12nX是 空间。2空间未必满足第一可数性公理。DA11、拓扑空间 中， 是隔离子集，则在子空间 中子集 是X,ABAB（ ） 开集，但不是闭集 闭集，但不是开集 A既是开集，又是闭集 既不是开集，又不是闭集 CD12、在实数空间中，子集 ， ， ， ，0,1A,B0.1C,D其中可能有同胚关系的是（ ） 与 与 与 与ABCD13、拓扑空间中“每一个序列至多收敛于一点”是“这个空间为空间”的（ ） 。Hausdorf充分条件 必要条件 AB充分必要条件 既不是充分条件
10、，也不必要条件CD14、设 是实数空间 的一个子空间，则 中的子集0,12,3YRY是 的（ ） ,开集，但不是闭集 闭集，但不是开集 AB第 5 页 共 5 页既是开集，又是闭集 既不是开集，又不是闭集 CD15、设 集合 上的下限拓扑空间，则下述四个性质中，不正,XR确的是（ ）是 空间 是 空间 A1 BX2A是可分空间 是 空间 CXDLindelof16、拓扑空间 中“只有单点集”是“ 为离散空间”的（ ）充分条件 必要条件 AB充分必要条件 既不是充分条件，也不必要条件CD五、证明题1、设 是一个集合，令 ，则 是 的一个拓扑XX， 2、有理数集 作为实数空间 的子空间是不连通的Q
11、R3、包含不可数个点的离散空间不满足第二可数性公理4、拓扑空间 的子集 是开集的充要条件是 是它的每一点的邻XUU域5、若 是 空间，则 中的每个单点集都是闭集。1T6 实数空间 不是一个紧致空间。R7、包含不少于两个点的平庸空间不是 空间。0T8、设 为度量空间，如果 为有限集，证明： 为离散X， XX，空间。9、设 为拓扑空间，证明：如果 的每一个子集 都满足X， XA，则 是离散空间。dA，10、设 为拓扑空间， （其中 为实数空间）是连续映射，:fR证明 中的子集 为开集。X0AxX11、证明：正则的 空间必是 空间。0T312、证明：实数集 上的可数补拓扑空间必是一个 空间。RLindelof13、设 是度量空间，证明：如果 有一个基只含有有限个元,XX素，则 必为有限集，且 是离散空间。,14、证明：可分空间的任一个开子空间都是可分空间。
