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类型大学 点集拓扑练习题及答案.doc

  • 上传人:gnk289057
  • 文档编号:5886248
  • 上传时间:2019-03-20
  • 格式:DOC
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    大学 点集拓扑练习题及答案.doc
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    1、0点集拓扑题库一、单项选择题(每题 1 分)1、已知 ,下列集族中, ( )是 上的拓扑.,XabcdeX ,aceT,abcdabceT 答案:,2、设 ,下列集族中,( )是 上的拓扑.c ,Xbc,Xc 答案:,aTabT3、已知 ,下列集族中, ( )是 上的拓扑.cd ,cd,cd 答案:XbX4、设 ,下列集族中,( )是 上的拓扑.ac ,aT,abacT 答案:,c5、已知 ,下列集族中, ( )是 上的拓扑.XbcdX , ,cd 答案:,acTaT6、设 ,下列集族中,( )是 上的拓扑.c ,Xb,Xbc 答案:, 7、已知 ,拓扑 ,则 =( )acd,aT 答案:bc

    2、d8、 已知 ,拓扑 ,则 =( ),Xb,X, 答案:9、 已知 ,拓扑 ,则 =( ),a,aT 答案:b10、已知 ,拓扑 ,则 =( ),Xb,X 答案:11、已知 ,拓扑 ,则 =( ),acd,aT 答案:,bcd12、已知 ,拓扑 ,则 =( ),Xb,X 答案:,c13、设 ,拓扑 ,则 的既开又闭的非空真子集的个数为( ,acd,acTX) 1 2 3 4 答案:14、设 ,拓扑 ,则 的既开又闭的非空真子集的个数为( ),Xbc,Xbc1 1 2 3 4 答案:15、设 ,拓扑 ,则 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ,Xabc,XbcTX 0 1 2 3 答案:16、

    3、设 ,拓扑 ,则 的既开又闭的子集的个数为( ), 0 1 2 3 答案:17、设 ,拓扑 ,则 的既开又闭的子集的个数为( ),Xab,XabTX 1 2 3 4 答案:18、设 ,拓扑 ,则 的既开又闭的非空真子集的个数为( ,c,c) 1 2 3 4 答案:19、在实数空间中,有理数集 的内部 是( )Q Q R -Q R 答案:20、在实数空间中,有理数集 的边界 是( )() Q R -Q R 答案:21、在实数空间中,整数集 的内部 是( )Z R-Z R 答案:22、在实数空间中,整数集 的边界 是( )() R-Z R 答案:23、在实数空间中,区间 的边界是( )0,1) 答

    4、案:,(0,1)24、在实数空间中,区间 的边界是( )2,3 答案:,2,325、在实数空间中,区间 的内部是( )0,1) 答案:,(0,1)26、设 是一个拓扑空间, A,B 是 的子集,则下列关系中错误的是( )XX ()()dAdAB 答案: 27、设 是一个拓扑空间, A,B 是 的子集,则下列关系中正确的是( ) ()() 答案: dAdA28、设 是一个拓扑空间, A,B 是 的子集,则下列关系中正确的是( )XX ()B 答案: ()()()dd29、已知 是一个离散拓扑空间, A 是 的子集,则下列结论中正确的是( ) 答案:()dAdXA()X30、已知 是一个平庸拓扑空

    5、间, A 是 的子集,则下列结论中不正确的是( )X 若 ,则 若 ,则() 0x()d2 若 A= ,则 若 , 则 答案:12,x()dAXAX()d31、已知 是一个平庸拓扑空间, A 是 的子集,则下列结论中正确的是( )X 若 ,则 若 ,则0x 若 A= ,则 若 ,则 答案:12x()12()A32、设 ,令 ,则由 产生的 上的拓扑是( ),abcd,abcdBBX , ,c,d,c,d,a,b,c , ,c,d,c,dX , ,c,a,b,c , ,d,b,c,b,d,b,c,d 答案:X33、设 是至少含有两个元素的集合, , 是 的拓扑,则( )p|GpT是 的基.T ,

    6、|Bpx|Bx 答案:XX34、 设 ,则下列 的拓扑中( )以 为子基.Xabc ,Sa , ,a,a,c , ,a , ,a,b,a,b , 答案:35、离散空间的任一子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭 答案:36、平庸空间的任一非空真子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭 答案:37、实数空间 中的任一单点集是 ( )R 开集 闭集 既开又闭 非开非闭 答案:38、实数空间 R 的子集 A =1, , , ,则 ( )2134A R A0 A 答案:39、在实数空间 R 中,下列集合是闭集的是( ) 整数集 有理数集 无理数集 答案:ba,40、在实数空间 R 中,下列集

    7、合是开集的是( ) 整数集 Z 有理数集 无理数集 整数集 Z 的补集 答案:41、已知 上的拓扑 ,则点 1 的邻域个数是( )1,23X,TX 1 2 3 4 答案:42、已知 ,则 上的所有可能的拓扑有( )ab 1 个 2 个 3 个 4 个 答案: 43、已知 =a,b,c,则 上的含有个元素的拓扑有( )个X 3 5 7 9 答案:44、设 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )()T T ,X当 时, 当 时, 答案:TUTU345、在实数下限拓扑空间 中,区间 是( )R,)ab 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭 答案:46、设 是一个拓扑空间, ,且满足 ,则 是( )

    8、X,ABX()dAB 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭 答案:47、设 , 是 的拓扑, ,则 的子空间 的拓扑为( )123,12,3,2T=X12XA ,1,T 答案:,A48、设 , 是 的拓扑, ,则 的子空间 的拓扑为( )X,X3A 13T, 答案:,1TX49、设 , 是 的拓扑, ,则 的子空间 的拓扑为2,213,2=2XA( ) ,3,T,3A 答案:,XTX50、设 , 是 的拓扑, ,则 的子空间 的拓扑为( )1212,3,2=1XA 答案:A, ,1T51、设 , 是 的拓扑, ,则 的子空间 的拓扑为( )3,T2A 答案:,TX,52、设 , 是 的拓扑,

    9、 ,则 的子空间 的拓扑为( )12X,12,3,2=X3XA ,1 答案:,3T53、设 是实数空间, 是整数集,则 的子空间 的拓扑为( )RZRZ 答案: ,()TPTZ54、设 是拓扑空间 的积空间. 是 到 的投射,则 是( 126XX 126,X 1PX11P) 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案:55、设 是拓扑空间 的积空间. 是 到 的投射,则 是( 126 126, 222) 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案:56、设 是拓扑空间 的积空间. 是 到 的投射,则 是( 126XX 126,X 3PX33P) 单射 连续的单射 满的连

    10、续闭映射 满的连续开映射 答案:57、设 是拓扑空间 的积空间. 是 到 的投射,则 是( 126 126, 444) 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案:458、设 是拓扑空间 的积空间. 是 到 的投射,则 是( 126XX 126,X 5PX55P) 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案:59、设 是拓扑空间 的积空间. 是 到 的投射,则 是( 126 126, 666) 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案:60、设 和 是两个拓扑空间, 是它们的积空间 , , ,则有( )1X212X1AX2B 答案:ABAB()B()()A

    11、B61、有理数集 是实数空间 的一个( )QR 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对 答案:62、整数集 是实数空间 的一个( )Z 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对 答案:63、无理数集是实数空间 的一个( )R 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对 答案:64、设 Y 为拓扑空间 X 的连通子集, Z 为 X 的子集,若 , 则 Z 为( )YZ不连通子集 连通子集 闭集 开集 答案:65、设 是平庸空间,则积空间 是( ) 12, 12 离散空间 不一定是平庸空间 平庸空间 不连通空间 答案:66、设 是离散空间,则积空间 是( ),XX 离散空间 不一定是离散空间 平庸空间

    12、连通空间 答案:67、设 是连通空间,则积空间 是( )12, 12 离散空间 不一定是连通空间 平庸空间 连通空间 答案:68、实数空间 R 中的连通子集 E 为( ) 开区间 闭区间 区间 以上都不对 答案:69、实数空间 R 中的不少于两点的连通子集 E 为( ) 开区间 闭区间 区间 以上都不对 答案:70、实数空间 R 中的连通子集 E 为( ) 开区间 闭区间 区间 区间或一点 答案:71、下列叙述中正确的个数为( )()单位圆周 是连通的; () 是连通的1S0R() 是连通的 () 和 同胚2(0,)R2 1 2 3 4 答案:72、实数空间 ( ) 仅满足第一可数性公理 仅满

    13、足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对 答案:73、整数集 作为实数空间 的子空间( )ZR5 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对 答案:74、有理数集 作为实数空间 的子空间( )QR 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对 答案:75、无理数集作为实数空间 的子空间( ) 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对 答案:76、正整数集 作为实数空间 的子空间( )ZR 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又

    14、满足第二可数性公理 以上都不对 答案:77、负整数集 作为实数空间 的子空间( ) 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对 答案:78、2 维欧氏间空间 ( )2R 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对 答案:79、3 维欧氏间空间 ( )3 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对 答案:80、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( ) 平庸性 连通性 离散性 第一可数性公理 答案:81、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( ) 第一可数性公理

    15、 连通性 第二可数性公理 平庸性 答案:82、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( ) 第一可数性公 可分性 第二可数性公理 离散性 答案:83、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( ) 平庸性 可分性 离散性 第二可数性公理 答案:84、设 是一个拓扑空间,若对于 ,均有 ,则 是( )X,xyXxyX 空间 空间 空间 以上都不对 答案:0T12T85、设 , ,则 是( ),2,X, 空间 空间 空间 以上都不对 答案:01286、设 , ,则 是( ),X, 空间 空间 空间 道路连通空间 答案:0T12T87、设 , ,则 是( ),23,X, 空间 空间 空间 以上都不对

    16、答案:012688、设 , ,则 是( )1,23X,23X(T,)XT 空间 空间 空间 以上都不对 答案:0189、设 , ,则 是( ),(, 空间 空间 空间 以上都不对 答案:01290、设 , ,则 是( ),23X,X(T,XT 空间 空间 空间 以上都不对 答案:01291、设 , ,则 是( ),1, 空间 空间 空间 以上都不对 答案:01292、设 是一个拓扑空间,若 的每一个单点集都是闭集,XX则 是( )正则空间 正规空间 空间 空间 答案:1T493、设 是一个拓扑空间,若 的每一个有限子集都是闭集,则 是( )X正则空间 正规空间 空间 空间 答案:1494、设

    17、是一个拓扑空间,若对 及 的每一个开邻域 ,都存在 的一个开邻域 ,使得xXUxV,则 是( )VU正则空间 正规空间 空间 空间 答案:1T495、设 是一个拓扑空间,若对 的任何一个闭集 及 的每一个开邻域 ,都存在 的一个开邻域XAA,使得 ,则 是( )X正则空间 正规空间 空间 空间 答案:1496、设 , ,则 是( )1,23, ,23(T,)XT 空间 空间 空间 正规空间 答案:0197、设 , ,则 是( ),X, ,X(, 空间 空间 空间 正规空间 答案:01298、设 , ,则 是( ),23, ,31(T,)XT 空间 空间 空间 正则空间 答案:01299、设 ,

    18、 ,则 是( ),X, ,X, 空间 正则空间 空间 正规空间 答案:2 4100、设 , ,则 是( ),3, ,3,1T,XT 空间 正则空间 空间 正规空间 答案:2 4T101、设 , ,则 是( )1,X, ,2,X, 空间 正则空间 空间 正规空间 答案:2 4102、若拓扑空间 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间 是一个( )X 连通空间 道路连通空间 紧致空间 可分空间 答案:103、紧致空间中的每一个闭子集都是( ) 连通子集 道路连通子集 紧致子集 以上都不对 答案:7104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是( ) 连通子集 开集 闭集 以上都不对

    19、 答案:105、紧致的 Hausdorff 空间中的紧致子集是( ) 连通子集 开集 闭集 以上都不对 答案:106、拓扑空间 的任何一个有限子集都是( )X 连通子集 紧致子集 非紧致子集 开集 答案:107、实数空间 的子集 是( )R1,23A 连通子集 紧致子集 开集 非紧致子集 答案:108、实数空间 的子集 是( ),4 连通子集 紧致子集 开集 非紧致子集 答案:109、如果拓扑空间 的每个紧致子集都是闭集,则 是( )XX 空间 紧致空间 可数补空间 非紧致空间 答案:1T二判断(每题 4 分,判断 1 分,理由 3 分)1、 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )

    20、答案:理由:设 是离散空间, 是拓扑空间, 是连续映射,因为对任意 ,都有XY:fXYAY,由于 中的任何一个子集都是开集,从而 是 中的开集,所以 是连续fA( 1()fA:fX的. 2、设 是集合 的两个拓扑,则 不一定是集合 的拓扑( )答案:12, T12 T理由:因为(1) 是 的拓扑,故 T1, T ,从而 ;12, ,12 T()对任意的 T1 T ,则有 T1且 T ,由于 T1, T2是 的拓扑,故BBAT1且 T2,从而 T1 T ;A()对任意的 ,则 ,由于 T1, T2是 的拓扑,从而 U TU T1, 1 2, XU TU T2,故 U TU T1 T ;综上有 T

    21、1 T 也是 的拓扑3、从拓扑空间 到平庸空间 的任何映射都是连续映射( )答案:XY理由:设 是任一满足条件的映射,由于 是平庸空间,它中的开集只有 ,易知它们在:fYY下的原象分别是 ,均为 中的开集,从而 连续.fX:fX4、设 为离散拓扑空间 的任意子集,则 ( )答案:AdA理由:设 为 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集,p所以 是 的开子集,且有 ,即 ,从而 .XppdA()5、设 为平庸空间 ( 多于一点)的一个单点集,则 ( )答案:理由:设 ,则对于任意 , 有唯一的一个邻域 ,且有 ,从而AyxXyxX)yAx,因此 是 的一个凝聚点,但对于 的唯一的邻域 ,

    22、有 ,所以()xAy(y有 .dX6、设 为平庸空间 的任何一个多于两点的子集,则 ( )答案:dA理由:对于任意 因为 包含多于一点,从而对于 的唯一的邻域 ,且有 ,,x xX()Ax因此 是 的一个凝聚点,即 ,所以有 .A()xdA87、设 是一个不连通空间,则 中存在两个非空的闭子集 ,使得 ( )XXAB,ABX答案: 理由:设 是一个不连通空间,设 是 的两个非空的隔离子集使得 ,显,X然 ,并且这时有: 从而 是 的一个闭子集,同理AB()()B可证 是 的一个闭子集,这就证明了 满足 .,8、若拓扑空间 中存在一个既开又闭的非空真子集,则 是一个不连通空间( )案:X理由:这

    23、是因为若设 是 中的一个既开又闭的非空真子集,令 ,则 都是 中的非空ABA,X闭子集,它们满足 ,易见 是隔离子集,所以拓扑空间 是一个不连通空.B, X9、设拓扑空间 满足第二可数性公理,则 满足第一可数性公理( )答案:X理由:设拓扑空间 满足第二可数性公理, 是它的一个可数基,对于每一个 ,易知XBx是点 处的一个邻域基,它是 的一个子族所以是可数族,从而 在点 处有 B|xx x可数邻域基,故 满 足第一可数性公理.10、若拓扑空间 满足第二可数性公理,则 的子空间 也满足第二可数性公理( )答案:XY理由:由于 满足第二可数性公理,所以它有一个可数基 ,因为 是 的子空间,则X Y

    24、X是 的一个可数基,从而 的 子空间 也满足第二可数性公理.| YBY11、若拓扑空间 满足第一可数性公理,则 的子空间 也满足第一可数性公理( )答案:理由:由于 满足第一可数性公理,所以对 , 在点 处有一个可数邻域基 ,因为 是xYXxV xY的子空间,则 是 在点 的一个可数邻域基,从而 的子空间 也满X|V |V xYX足第一可数性公理.12、设 , ,则 是 空间.( )答案:1,23,23,XT(,)T3理由:因为 是 的一个闭集,对于点和 没有各自的开邻域互不相交,所以 不是正则1空间,从而不是 空间. 注:也可以说明 不是 空间3 X13、设 , ,则 是 空间.( )答案:

    25、,X,1,(,)3理由:因为 是 的一个闭集,对于点和 没有各自的开邻域互不相交,所以 不是正2X2X则空间,从而不是 空间.注:也可以说明 不是 空间3T1T14、设 , ,则 是 空间.( )答案:1,, ,3(,)X理由:因为对于点和点,没有开邻域不包含,从而 不是 空间1T注:也可以考虑点和点.15、设 , ,则 是 空间.( )答案:,23X, ,1,XT(,)4理由:因为对于点和点,没有开邻域不包含,从而 不是 空间故 是 空间.X1(,)X4T注:也可以考虑点和点.16、 空间一定是 空间.( )答案:3T2理由:因为 空间是正则的 空间,所以对于 空间 中的任意不同的两点 ,

    26、是31T3T,xy中的闭集,由于 是正则空间,从而对于 它们有各自的开邻域 使得 ,所XX,xyUV以 是 空间.217、 空间一定是 空间.( )答案:4T3理由:因为 空间是正规的 空间,所以对于 空间 中的任意点 和不包含 的闭集 ,由于41T4TXxA9也是一个闭集及 是正规空间,故存在 的开邻域 使得 ,这说明 是正xX,xA,UVX则空间,因此 是 空间.3T18、设 是拓扑空间 的两个紧致子集,则 是一个紧致子集.( )答案:,ABB理由:设 A 是一个由 中的开集构成的 的覆盖,由于 和 都是 的紧致子集,从而存在BXA 的有限子族 A 1 A 2 分别是 和 的覆盖,故 是

    27、A 的有限子族且覆盖 ,所以12 AB是紧致子集.19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )答案:理由:设 是 Hausdorff 空间 的一个紧致子集,则对于任何 ,若 ,则易知 不是XxXx的凝聚点,因此 ,从而 是一个闭集.AA三名词解释(每题 2 分)1同胚映射 答案:设 和 是两个拓扑空间 .如果 是一个一一映射,并且 和Y:fYf都是连续映射,则称 是一个同胚映射或同胚.:fYXf2、集合 的内点 答案:设 是一个拓扑空间, .如果 是点 的一个邻域,则称点XAXxX是集合 的一个内点.xA3、集合 的内部 答案:设 是一个拓扑空间, .则集合 的所有内点构成

    28、的集合称为集合 的内部.4拓扑空间 的基 答案:设 是一个拓扑空间, 是 的一个子族.如果 中的每(,)TX(,)TXBTT一个元素是 中的某些元素的并,则称 是拓扑 的一个基.BB5闭包 答案:设 是一个拓扑空间, .集合 与集合 的导集 的并 称为AA()d()Ad集合 的闭包.A6、序列 答案:设 是一个拓扑空间,每一个映射 叫做 中的一个序列.X:SZX7、导集 答案:设 是一个拓扑空间,集合 的所有凝聚点构成的集合称为 的导集.8、不连通空间 答案:设 是一个拓扑空间,如果 中有两个非空的隔离子集 ,使得AB,则称 是一个不连通空间.AB9、连通子集 答案:设 是拓扑空间 的一个子集

    29、.如果 作为 的子空间是一个连通空间,则称YXYX是 的一个连通子集.YX10、不连通子集 答案:设 是拓扑空间 的一个子集 .如果 作为 的子空间是一个不连通空间,则称 是 的一个不连通子集.11、 空间 答案:一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基,则称这个拓扑空间是一1A个满足第一可数性公理的空间,简称为 空间.1 A12、 空间 答案:一个拓扑空间如果有一个可数基,则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公2理的空间,简称为 空间.2 A13、可分空间 答案:如果拓扑空间 有一个可数稠密子集,则称 是一个可分空间.XX14、 空间: 答案:设 是一个拓扑空间,如果 中的任意两个不相

    30、同的点中必有一个点有一个0T开邻域不包含另一点,则称拓扑空间 是 空间.0T15、 空间: 答案:设 是一个拓扑空间,如果 中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个110开邻域不包含另一点,则称拓扑空间 是 空间.X1T16、 空间: 答案:设 是一个拓扑空间,如果 中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使2T X得这两个开邻域互不相交,则称拓扑空间 是 空间.217、正则空间: 答案:设 是一个拓扑空间,如果 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域,它们互不相交,则称 是正则空间.18、正规空间: 答案:设 是一个拓扑空间,如果 中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻X

    31、X域,它们互不相交,则称 是正规空间.19、完全正则空间: 答案:设 是一个拓扑空间,如果对于 和 中任何一个不包含点xX的闭集 存在一个连续映射 使得 以及对于任何 有 ,则称拓扑空xB:0,1f()0fxyB()1f间 是一个完全正则空间.X20、紧致空间 答案:设 是一个拓扑空间.如果 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓XX扑空间 是一个紧致空间. 21、紧致子集 答案:设 是一个拓扑空间, 是 的一个子集.如果 作为 的子空间是一个紧YYX致空间,则称 是拓扑空间 的一个紧致子集.Y22、可数紧致空间 答案:设 是一个拓扑空间. 如果 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖,则XX称拓

    32、扑空间 是一个可数紧致空间.X23、列紧空间 答案:设 是一个拓扑空间. 如果 的每一个无限子集都有凝聚点,则称拓扑空间是一个列紧空间.24、序列紧致空间 答案:设 是一个拓扑空间. 如果 中的每一个序列都有一个收敛的子序列,XX则称拓扑空间 是一个序列紧致空间.X五简答题(每题 4 分)1、设 是一个拓扑空间, 是 的子集,且 .试说明 .,ABAB()dAB答案:对于任意 ,设 是 的任何一个邻域,则有 ,由于 ,从而()xdUxUxAB,因此 ,故 .()UB()2、设 都是拓扑空间. , 都是连续映射,试说明 也是连续映,XYZ:fXY:gZ:gfXZ射.答案:设 是 的任意一个开集,

    33、由于 是一个连续映射,从而 是 的一个开集,W: 1()WY由 是连续映射,故 是 的一开集,因此 是:f 1()fWX1()ffg的开集,所以 是连续映射.X:gfXZ3、设 是一个拓扑空间, .试说明:若 是一个闭集,则 的补集 是一个开集.AAA答案:对于 ,则 ,由于 是一个闭集,从而 有一个邻域 使得 ,因xxU()Ax此 ,即 ,所以对任何 , 是 的一个邻域,这说明 是一个开集.Ux4、设 是一个拓扑空间, .试说明:若 的补集 是一个开集,则 是一个闭集.XX答案:设 ,则 ,由于 是一个开集,所以 是 的一个邻域,且满足 ,因此xAAAx,从而 ,即有 ,这说明 是一个闭集.

    34、5、在实数空间 R 中给定如下等价关系:11或者 或者xy)1,(,)2,1yx),2,yx设在这个等价关系下得到的商集 ,试写出 的商拓扑 T.0YY答案: ,0, T6、在实数空间 R 中给定如下等价关系:或者 或者xy1,(, 2,(yx),2(,yx设在这个等价关系下得到的商集 ,试写出 的商拓扑 T .3Y答案: ,3,2T Y7、在实数空间 R 中给定如下等价关系:或者 或者xy)1,(,)2,1yx),2,yx设在这个等价关系下得到的商集 ,试写出 的商拓扑 T.YY答案: ,T Y8、在实数空间 R 中给定如下等价关系:或者 或者xy)1,(,)2,1yx),2,yx设在这个等

    35、价关系下得到的商集 ,试写出 的商拓扑 T.YY答案: ,2,T Y9、在实数空间 R 中给定如下等价关系:或者 或者xy1,(,2,(yx),2(,yx设在这个等价关系下得到的商集 ,试写出 的商拓扑 T .0,3YY答案: ,3,2T Y10、在实数空间 R 中给定如下等价关系:或者 或者xy1,(,2,(yx),2(,yx设在这个等价关系下得到的商集 ,试写出 的商拓扑 T .0,4YY答案: ,4,2T Y11、在实数空间 R 中给定如下等价关系:或者 或者xy1,(,2,(yx),2(,yx设在这个等价关系下得到的商集 ,试写出 的商拓扑 T .4YY答案: ,4,2T Y12、离散

    36、空间是否为 空间?说出你的理由.2A答案:因为离散空间的每一个基必定包含着单点集,所以包含着不可数多个点的离散空间不是 空2A间.至多含有可数多个点的离散空间是 空间.2A13、试说明实数空间 是可分空间.答案: 因为 是可数集,且 的任何一个非空的开集至少包含一个RQR球形邻域,从而与 Q 都有非空的交,因此 ,故实数空间 是可分空间.R14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.答案: 设 是一个度量空间, 对 ,则所有的以 为中心,以正有理数为半径的球形邻域构成XXxx处的一个可数邻域基,从而 满足第一可数性公理.x15、设 是一个 空间,试说明 的每一个单点集是闭集.1T12答案:

    37、对 ,由于 是 空间,从而对每一个 ,点 有一个邻域 使得 ,xX1T,yXxyUx即 ,故 ,因此 ,这说明单点集 是一个闭集.Uyxx16、设 是一个拓扑空间,若 的每一个单点集都是闭集,试说明 是一个 空间.1T答案:对于任意 , 都是闭集,从而 和 分别是 和 的开邻域,并,yxyx且有 , .从而 是一个 空间.xyX1T17、设 是一个 空间, 是任何一个不属于 的元素.令 和 ,试(,)XT1X*X*X*说明拓扑空间 是一个 空间. 答案:对任意 ,若 , 都不是 ,则*(,)0 ,xyxy.由于 是一个 空间,从而 各有一个开邻域 ,使得 ;若 , 中有,xy1,xyUVU一个

    38、是 ,不妨设 ,则 有开邻域 不包含 .由以上的讨论知,对 中任意两个不同点必xy*有一个点有一个开邻域不包含另一点,从而 是 空间.X0T18、若 是一个正则空间,试说明:对 及 的每一个开邻域 ,都存在 的一个开邻域 ,使XxxV得 . 答案: 对 ,设 是 的任何一个开邻域,则 的补集 是一个不包含点VUU的一个闭集.由于 是一个正则空间,于是 和 分别有开邻域 和 ,使得 ,因xXVW此 ,所以 .W19、若 是一个正规空间,试说明:对 的任何一个闭集 及 的每一个开邻域 ,都存在 的一个X AUA开邻域 ,使得 . 答案:设 是 的任何一个闭集,若 是空集,则结论显然成立.下VX设

    39、不是空集,则对 的任何一个开邻域 ,则 的补集 是一个不包含点 的一个闭集. 由AAU于 是一个正规空间,于是 和 分别有开邻域 和 ,使得 ,因此 ,所以VV.U20、试说明 空间 的任何一个子集的导集都是闭集.1TX答案:设 是 的任何一个子集,若 是空集,则 ,从而 的导集是闭集.下设 不是AA()dAA空集,则对 ,则 有开邻域 ,使得 ,由于 是 空间,从而()xdxUxX1T是开集,故,于是 ,所以 是它每一点的邻域,故 是开集,因此U()() ()d是闭集.()dA21、试说明紧致空间 的无穷子集必有凝聚点.X答案:如果 的无穷子集的 没有凝聚点,则对于任意 ,有开邻域 ,使得A

    40、xXxU,于是 的开覆盖 没有有限子覆盖,从而 不是紧致空间,矛盾.()x|xU故紧致空间 的无穷子集必有凝聚点.22、如果 是紧致空间,则 是紧致空间.XYX答案:考虑投射 ,由于 是一个连续的满射,从而由 紧致知1:PY1:PYXXY是一个紧致空间.23、如果 是紧致空间,则 是紧致空间.答案:考虑投射 ,由于 是一个连续的满射,从而由 紧致知2:X2:是一个紧致空间.Y24、试说明紧致空间 的每一个闭子集 都是紧致子集.Y13答案:如果 A 是 的任意一个由 中的开集构成的覆盖,则 是 的一个开覆盖.设YXYB=AX是 的一个有限子族并且覆盖 .则 便是 A 的一个有限子族并且覆盖 ,从而 是1 B1Y BY紧致子集.六、证明题(每题 8 分)1、设 是从连通空间 到拓扑空间 的一个连续映射 .则 是 的一个连通子集.:fXYX()fXY证明:如果 是 的一个不连通子集,则存在 的非空隔离子集 使得 ()f Y,AB()fAB 3 分于是 是 的非空子集,并且:1(),fAfBX1111()()()()fAfBffAf 所以 是 的非空隔离子集 此外,1(),fAfBX,这说明 不连通,矛盾.从而 是

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