1、1点集拓扑学期末考试一、单项选择题（每题 1 分）1、已知 ,下列集族中， （ ）是 上的拓扑.,XabcdeX T,abcdabceT 答案：,2、设 ，下列集族中,（ ）是 上的拓扑 .XabcX ,T,abcT 答案：,c3、已知 ,下列集族中， （ ）是 上的拓扑.XabdX ,cT,abcdT 答案：,4、设 ，下列集族中,（ ）是 上的拓扑 .XabcX ,T,abacT 答案：,c5、已知 ,下列集族中， （ ）是 上的拓扑.XabdX ,cT,abcdT 答案：,6、设 ，下列集族中,（ ）是 上的拓扑 .XabcX ,T,abcT 答案：,c7、已知 ，拓扑 ,则 =（ ）X
2、abd,X 答案：bcd8、 已知 ，拓扑 ,则 =（ ）,c,aT,bcd2 答案：Xb,cd9、 已知 ，拓扑 ,则 =（ ）,aXaT 答案：10、已知 ，拓扑 ,则 =（ ）,Xb,b 答案：a11、已知 ，拓扑 ,则 =（ ）,cd,XaT 答案：X,bcd12、已知 ，拓扑 ,则 =（ ）,ac, 答案：,c13、设 ，拓扑 ,则 的既开又闭的非空真子集个数（ ,Xbcd,XabdTX） 1 2 3 4 答案：14、设 ，拓扑 ,则 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ,ac,c） 1 2 3 4 答案：15、设 ，拓扑 ,则 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ,Xbc,XbcTX）
3、 0 1 2 3 答案：16、设 ，拓扑 ,则 的既开又闭的子集的个数为（ ）,a, 0 1 2 3 答案：17、设 ，拓扑 ,则 的既开又闭的子集的个数为（ ）,Xb,XabTX 1 2 3 4 答案：18、设 ，拓扑 , 的既开又闭的非空真子集个数（ ,ac,c） 1 2 3 4 答案：19、在实数空间中，有理数集 的内部 是（ ）Q Q R -Q R 答案：320、在实数空间中，有理数集 的边界 是（ ）Q() Q R -Q R 答案：21、在实数空间中，整数集 的内部 是（ ）Z R-Z R 答案： 22、在实数空间中，整数集 的边界 是（ ）() R-Z R 答案： 23、在实数空间
4、中，区间 的边界是（ ）0,1) 答案：,(0,1)24、在实数空间中，区间 的边界是（ ）2,3) 答案：,(2,3)25、在实数空间中，区间 的内部是（ ）0,1) 答案：,(0,1)26、设 是一个拓扑空间，A,B 是 的子集,则下列关系中错误的是（ ）XX ()()ddAB 答案: 27、设 是一个拓扑空间，A,B 是 的子集,则下列关系中正确的是（ ） ()()dd 答案: A28、设 是一个拓扑空间，A,B 是 的子集,则下列关系中正确的是（ ）XX ()dB 答案: ()d()()ddA29、已知 是一个离散拓扑空间，A 是 的子集, 则下列结论中正确的是（ ） ()d()AX
5、答案：d430、已知 是一个平庸拓扑空间，A 是 的子集, 则下列结论中不正确的是（ ）XX 若 ,则 若 ,则()d0Ax()dXA 若 A= ,则 若 , 则 答案：12x31、已知 是一个平庸拓扑空间，A 是 的子集, 则下列结论中正确的是（ ） 若 ,则 若 ,则()d0x()d 若 A= ,则 若 ,则 答案：12xXA12A32、设 ，令 ,则由 产生的 上的拓扑是（ ）,Xabc,abcBBX , ,c,d,c,d,a,b,c , ,c,d,c,d , ,c,a,b,c , ,d,b,c,b,d,b,c,d 答案：X33、设 是至少含有两个元素的集合， , 是 的拓扑，则（ Xp
6、|GXpTX）是 的基.T ,|Bpx|Bx 答案：| |p34、 设 ,则下列 的拓扑中（ ）以 为子基.XabcX,SXa , ,a,a,c , ,a , ,a,b,a,b , 答案：35、离散空间的任一子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭 答案：36、平庸空间的任一非空真子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭 答案：37、实数空间 中的任一单点集是 ( )R 开集 闭集 既开又闭 非开非闭 答案：38、实数空间 R 的子集 A =1, , , ,则 （ ）2134A R A0 A 答案：39、在实数空间 R 中，下列集合是闭集的是（ ） 整数集 有理数集 无理数集 答案：b
7、a,40、在实数空间 R 中，下列集合是开集的是（ ）5 整数集 Z 有理数集 无理数集 整数集 Z 的补集 答案：41、已知 上的拓扑 ,则点 1 的邻域个数是（ ）1,23X,TX 1 2 3 4 答案：42、已知 ,则 上的所有可能的拓扑有（ ）ab 1 个 2 个 3 个 4 个 答案： 43、已知 =a,b,c,则 上的含有个元素的拓扑有（ ）个XX 3 5 7 9 答案：44、设 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )()T T ,当 时, 当 时, 答案：TUTU45、在实数下限拓扑空间 中，区间 是（ ）R,)ab 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭 答案：46、设 是一个
8、拓扑空间， ,且满足 ,则 是（ ）X,ABX()dAB 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭 答案：47、设 , 是 的拓扑， ,则 的子空间 的拓123,12,3,2T= 12XA扑为( ) ,T 答案：,TA,1,TX48、设 , 是 的拓扑， ,则 的子空间 的拓123X,12,32T=X 13AXA扑为( ) ,T 答案：,T,1TX49、设 , 是 的拓扑， ,则 的子空间 的拓123X,12,32T=X 23AXA扑为( ) T 答案：,T,TX50、设 , 是 的拓扑， ,则 的子空间 的拓扑123X1,232T=X 1AXA为( ) 2T6 答案：,1,3TX,1TX51、
9、设 , 是 的拓扑， ,则 的子空间 的拓扑2,12,32T= 2AXA为( ) , 答案：,TX,1TX52、设 , 是 的拓扑， ,则 的子空间 的拓扑123,12,32T= 3AXA为( ) 1T 答案：,TX,T53、设 是实数空间， 是整数集，则 的子空间 的拓扑为（ ）RZRZ 答案： , ()PZ54、设 是拓扑空间 的积空间. 是 到 的投射，则 是126 126,X 1PX11P（ ） 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：55、设 是拓扑空间 的积空间. 是 到 的投射，则 是126X 126, 222（ ） 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映
10、射 答案：56、设 是拓扑空间 的积空间. 是 到 的投射，则 是126X 126,X 3PX33P（ ） 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：57、设 是拓扑空间 的积空间. 是 到 的投射，则 是126X 126, 444（ ） 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：58、设 是拓扑空间 的积空间. 是 到 的投射，则 是126X 126,X 5PX55P（ ） 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：59、设 是拓扑空间 的积空间. 是 到 的投射，则 是126X 126, 666（ ） 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映
11、射 答案：60、设 和 是两个拓扑空间， 是它们的积空间, ， ，则有（ ）1212X1AX2B7 答案：ABAB()AB()()AB61、有理数集 是实数空间 的一个（ ）QR 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对 答案：62、整数集 是实数空间 的一个（ ）Z 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对答案：63、无理数集是实数空间 的一个（ ）R 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对答案：64、设 Y 为拓扑空间 X 的连通子集,Z 为 X 的子集,若 , 则 Z 为( )YZ不连通子集 连通子集 闭集 开集答案：65、设 是平庸空间，则积空间 是（ ） 12, 12 离散空间 不一定是
12、平庸空间 平庸空间 不连通空间答案：66、设 是离散空间，则积空间 是（ ）12,X12X 离散空间 不一定是离散空间 平庸空间 连通空间答案：67、设 是连通空间，则积空间 是（ ）12,X12X 离散空间 不一定是连通空间 平庸空间 连通空间答案：68、实数空间 R 中的连通子集 E 为( ) 开区间 闭区间 区间 以上都不对答案：69、实数空间 R 中的不少于两点的连通子集 E 为( ) 开区间 闭区间 区间 以上都不对答案：870、实数空间 R 中的连通子集 E 为( ) 开区间 闭区间 区间 区间或一点答案：71、下列叙述中正确的个数为（ ）（）单位圆周 是连通的； （） 是连通的1
13、S0R（） 是连通的 （） 和 同胚2(0,)R2 1 2 3 4答案：二、填空题（每题 1 分）1、设 ,则 的平庸拓扑为 ;答案：Xab ,TX2、设 ,则 的离散拓扑为 ;答案：,T、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质4、在实数空间 R 中，有理数集 Q 的导集是_. 答案： R5、 当且仅当对于 的每一邻域 有 答案： )(AdxxUU6、设 是有限补空间 中的一个无限子集，则 = ;答案：X()dAX7、设 是有限补空间 中的一个无限子集，则 = ;答案：A8、设 是可数补空间 中的一个不可数子集，则 = ;答案：()9、设 是可数补空间 中的一个不可数子集，则 =
14、 ;答案：XAX10、设 , 的拓扑 ,则 的子集 的内部为 ;答123,23TX1,2案：211、设 , 的拓扑 ,则 的子集 的内部为 ;答,1,3案：112、设 , 的拓扑 ,则 的子集 的内部为 123X,23TXX1,2A答案：113、设 , 的拓扑 ,则 的子集 的内部为 ;答, ,3案： 914、设 ,则 的平庸拓扑为 ;答案：XabcX ,TX15、设 ,则 的离散拓扑为 答案：, ,Tcacb16、设 , 的拓扑 ,则 的子集 的内部为 ;答123X,23,TXX1,3A案：3 17、设 , 的拓扑 ,则 的子集 的内部为 ;答,1, ,2案：1 18、 是拓扑空间 到 的一
15、个映射，若它是一个单射，并且是从 到它的象集:fXYXY X的一个同胚，则称映射 是一个 .答案：嵌入() f19、 是拓扑空间 到 的一个映射，如果它是一个满射，并且 的拓扑是对于映:f Y射 而言的商拓扑，则称 是一个 ;答案：商映射f20、设 是两个拓扑空间， 是一个映射，若 中任何一个开集 的象集 是,XY:XYXU()f中的一个开集，则称映射 是一个 答案：开映射f21、设 是两个拓扑空间， 是一个映射，若 中任何一个闭集 的象集 是, : ()f中的一个闭集，则称映射 是一个 答案：闭映射Yf22、若拓扑空间 存在两个非空的闭子集 ,使得 ,则 是一个 XAB,ABX；答案：不连通
16、空间23、若拓扑空间 存在两个非空的开子集 ,使得 ,则 是一个 ,；答案：不连通空间24、若拓扑空间 存在着一个既开又闭的非空真子集，则 是一个 答案：不连通空XX间25、设 是拓扑空间 的一个连通子集， 满足 ，则 也是 的一个 ; YZYZX答案：连通子集26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；答案：在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；答案：可商性质28、若任意 个拓扑空间 ,都具有性质 ,则积空间 也具有性1n12,n
17、X P12nX10质 ，则性质 称为 ;答案：有限可积性质P29、设 是一个拓扑空间，如果 中有两个非空的隔离子集 ,使得 ,则称 是XXABX一个 ；答案：不连通空间.三判断（每题 4 分，判断 1 分，理由 3 分）1、 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案: 理由：设 是离散空间， 是拓扑空间， 是连续映射，因为对任意 ，都有Y:fYAY,由于 中的任何一个子集都是开集，从而 是 中的开集，所以1)fAX（ 1()fA是连续的. :Y2、设 是集合 的两个拓扑，则 不一定是集合 的拓扑( )答案:12, T12 TX理由：因为（1） 是 的拓扑，故 T1， T ，从而
18、；12, X, ,12 T（）对任意的 T1 T ，则有 T1且 T ，由于 T1, T2是 的拓扑，故BABAXT1且 T2，从而 T1 T ；（）对任意的 ，则 ，由于 T1, T2是 的拓扑，从而 U TU1 2, T1, U TU T2,故 U TU T1 T ；综上有 T1 T 也是 的拓扑X3、从拓扑空间 到平庸空间 的任何映射都是连续映射（ ）答案:Y理由：设 是任一满足条件的映射，由于 是平庸空间，它中的开集只有 ,易知:fYY它们在 下的原象分别是 ,均为 中的开集，从而 连续.X:fX4、设 为离散拓扑空间 的任意子集，则 （ ）答案:AdA理由：设 为 中的任何一点，因为
19、离散空间中每个子集都是开集，pX所以 是 的开子集，且有 ，即 ,从而 .ppd()A5、设 为平庸空间 （ 多于一点）的一个单点集，则 （ ）答案：理由：设 ,则对于任意 , 有唯一的一个邻域 ，且有 ,从而AyxXyxX()yx，因此 是 的一个凝聚点，但对于 的唯一的邻域 ，有 ,所()XxAyAy以有 .d116、设 为平庸空间 的任何一个多于两点的子集，则 （ ）答案：AXdAX理由：对于任意 因为 包含多于一点，从而对于 的唯一的邻域 ，且有,xAx，因此 是 的一个凝聚点，即 ，所以有 .()X()7、设 是一个不连通空间，则 中存在两个非空的闭子集 ,使得 （ XAB,ABX）
20、答案：理由：设 是一个不连通空间，设 是 的两个非空的隔离子集使得 ,显然X,AB，并且这时有 :AB()()XB从而 是 的一个闭子集，同理可证 是 的一个闭子集，这就证明了 满足XA,AB.,AB8、若拓扑空间 中存在一个既开又闭的非空真子集，则 是一个不连通空间( )X理由：这是因为若设 是 中的一个既开又闭的非空真子集，令 ，则 都是 中的AX,X非空闭子集，它们满足 ，易见 是隔离子集，所以拓扑空间 是一个不连通空.B,AB五简答题（每题 4 分）1、设 是一个拓扑空间， 是 的子集，且 .试说明 .X, ()dAB答案：对于任意 ,设 是 的任何一个邻域，则有 ,由于 ，从()xd
21、AUx UxA而 ，因此 ，故 .()UB()dB()2、设 都是拓扑空间. , 都是连续映射，试说明 也是,XYZ:fXY:gZ:gfXZ连续映射.答案：设 是 的任意一个开集，由于 是一个连续映射，从而 是 的一个W: 1()WY开集，由 是连续映射，故 是 的一开集，因此 :fY1()fgWX是 的开集，所以 是连续映射.11()()ggX:fZ3、设 是一个拓扑空间， .试说明：若 是一个闭集，则 的补集 是一个开集.XAAA答案：对于 ,则 ，由于 是一个闭集，从而 有一个邻域 使得 ,因xxU()Ax此 ，即 ,所以对任何 , 是 的一个邻域，这说明 是一个开集.UAx124、设
22、是一个拓扑空间， .试说明：若 的补集 是一个开集，则 是一个闭集.XAXAA答案：设 ,则 ,由于 是一个开集，所以 是 的一个邻域，且满足 ,因x x此 ,从而 ,即有 ，这说明 是一个闭集 .A5、在实数空间 R 中给定如下等价关系：或者 或者xy)1,(,)2,1yx),2,yx设在这个等价关系下得到的商集 ,试写出 的商拓扑 T.,0YY答案： ,0,Y T6、在实数空间 R 中给定如下等价关系:或者 或者xy1,(,2,1(yx),2(,yx设在这个等价关系下得到的商集 ,试写出 的商拓扑 T .3YY答案： ,3,2T Y7、在实数空间 R 中给定如下等价关系：或者 或者xy)1
23、,(,),1yx),2,yx设在这个等价关系下得到的商集 ,试写出 的商拓扑 T.,YY答案： ,T Y8、在实数空间 R 中给定如下等价关系：或者 或者xy)1,(,)2,1yx),2,yx设在这个等价关系下得到的商集 ,试写出 的商拓扑 T.,YY答案： ,2,T Y9、在实数空间 R 中给定如下等价关系:或者 或者xy1,(,2,1(yx),2(,yx设在这个等价关系下得到的商集 ,试写出 的商拓扑 T .0,3YY答案： ,3,2T Y10、在实数空间 R 中给定如下等价关系:13或者 或者xy1,(,2,1(yx),2(,yx设在这个等价关系下得到的商集 ,试写出 的商拓扑 T .0
24、,4YY答案： ,4,2T Y11、在实数空间 R 中给定如下等价关系:或者 或者xy1,(,1(yx),2(,yx设在这个等价关系下得到的商集 ,试写出 的商拓扑 T .,4YY答案： ,4,2T Y六、证明题（每题 8 分）1、设 是从连通空间 到拓扑空间 的一个连续映射.则 是 的一个连通子集.:fXXY()fXY证明：如果 是 的一个不连通子集，则存在 的非空隔离子集 使得 ()Y ,AB()fAB 3 分于是 是 的非空子集，并且：1(),fAfB1111()()()()fAfBffAf 所以 是 的非空隔离子集 此外，1(),fAfBX，这说明 不连通，矛盾.从而 是 的一11()
25、()fXX()fXY个连通子集. 8 分2、设 是拓扑空间 的一个连通子集, 证明: 如果 和 是 的两个无交的开集使得Y AB,则或者 ,或者 . BAABY证明：因为 是 的开集，从而 是子空间 的开集.X,Y又因 中，故 4 分Y)()(由于 是 的连通子集,则 中必有一个是空集. 若 ,则 ;若YBA, BAY,则 8 分A3、设 是拓扑空间 的一个连通子集, 证明: 如果 和 是 的两个无交的闭集使得YXAX,则或者 ,或者 . B14证明：因为 是 的闭集，从而 是子空间 的闭集.BA,XYBA,又因 中，故 4 分Y)()(Y由于 是 的连通子集,则 中必有一个是空集. 若 ,则
26、 ;若, YBA,则 8 分AB4、设 是拓扑空间 的一个连通子集， 满足 ，则 也是 的一个连通子集.YXZXYZX证明：若 是 的一个不连通子集，则在 中有非空的隔离子集 使得 .因此Z ,AZB 3 分由于 是连通的，所以 或者 ,如果 ，由于 ，所以YYABYAZY，因此 ,同理可证如果 ，则 ,均与假设矛盾.故ZBAZB也 是 的一个连通子集. X8 分5、设 是拓扑空间 的连通子集构成的一个子集族.如果 ,则 是 的YXYYX一个连通子集.证明：若 是 的一个不连通子集.则 有非空的隔离子集 使得 X,ABAB 4 分任意选取 ,不失一般性，设 ,对于每一个 ，由于 连通，从而xYxAY及 ,矛盾，AB所以 是连通的. 8 分6、设 是拓扑空间 的一个连通子集， 是 的一个既开又闭的集合.证明：如果XBX,则 .AB证明：若 ,则结论显然成立 .下设 ,由于 是 的一个既开又闭的集合 ,从而 是 的子空间 的一个既开又闭ABXA的子集 4 分由于 及 连通，所以 ，故 . 8 分AB7、设 A 是连通空间 X 的非空真子集. 证明:A 的边界 .()证明：若 ,由于 ,从而()(),)()()()AA 15故 是 的隔离子集 4 分, AX因为 A 是 X 的非空真子集,所以 A 和 均非空,于是 X 不连通,与题设矛盾.所以 . ()A 8 分
