拓扑学练习题.doc

1、1点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题 1 分）1、已知 ,下列集族中， （ ）是 上的拓扑.,XabcdeX ,acT ,be X ,acdeT答案：2、设 ，下列集族中,（ ）是 上的拓扑.bcX ,Xac,abcT ,T答案：3、已知 ,下列集族中， （ ）是 上的拓扑.,abcdX ,Xacd,abcdT ,T答案：4、设 ，下列集族中,（ ）是 上的拓扑.abcX ,Xab,abacT ,cT答案：5、已知 ,下列集族中， （ ）是 上的拓扑.,abdX2 ,XabcdT,XabcdT , 答案：6、设 ，下列集族中,（ ）是 上的拓扑.abc ,XbcT,XabcT , 答案：7、

2、已知 ，拓扑 ,则 =（ ）,abcd,ab Xbcd答案：8、 已知 ，拓扑 ,则 =（ ）,abcd,XaT,b bcd答案：9、 已知 ，拓扑 ,则 =（ ）,Xab,a b答案：10、已知 ，拓扑 ,则 =（ ）,ab,XaT b答案：11、已知 ，拓扑 ,则 =（ ）,Xabcd,a bcd答案：312、已知 ，拓扑 ,则 =（ ）,Xabcd,XaTc cbd答案：13、设 ，拓扑 ,则 的既开又闭的,abcd,acX非空真子集的个数为（ ） 1 2 3 4 答案：14、设 ，拓扑 ,则 的既开又闭的非空,Xabc,XabcT真子集的个数为（ ） 1 2 3 4 答案：15、设 ，

3、拓扑 ,则 的既开又闭的非空,abc,bcX真子集的个数为（ ） 0 1 2 3 答案：16、设 ，拓扑 ,则 的既开又闭的子集的个数,Xab,XbT为（ ） 0 1 2 3 答案：17、设 ，拓扑 ,则 的既开又闭的子集的个,ab,abX数为（ ） 1 2 3 4 答案：18、设 ，拓扑 ,则 的既开又,Xabc,abcT闭的非空真子集的个数为（ ） 1 2 3 4 答案：19、在实数空间中，有理数集 的内部 是（ ）Q4 Q R -Q R 答案：20、在实数空间中，有理数集 的边界 是（ ）() Q R -Q R 答案：21、在实数空间中，整数集 的内部 是（ ）Z R-Z R 答案：22

4、、在实数空间中，整数集 的边界 是（ ）() R-Z R 答案：23、在实数空间中，区间 的边界是（ ）0,1) ,(0,1)答案：24、在实数空间中，区间 的边界是（ ）2,3) ,(2,3)答案：25、在实数空间中，区间 的内部是（ ）0,1) ,(0,1)5答案：26、设 是一个拓扑空间，A,B 是 的子集,则下列关系中错误的是（ XX） ()()ddBAB 答案: 27、设 是一个拓扑空间，A,B 是 的子集,则下列关系中正确的是（ XX） ()()ddBAB 答案: 28、设 是一个拓扑空间，A,B 是 的子集,则下列关系中正确的是（ XX） ()dAB ()dB()()ddA答案:

5、 29、已知 是一个离散拓扑空间，A 是 的子集, 则下列结论中正确的XX是（ ） ()d()dA 答案：30、已知 是一个平庸拓扑空间，A 是 的子集, 则下列结论中不正确XX的是（ ） 若 ,则 若 ,则()d0Ax()dXA 若 A= ,则 若 , 则 12x答案：631、已知 是一个平庸拓扑空间，A 是 的子集, 则下列结论中正确的XX是（ ） 若 ,则 若 ,则()d0Ax()dX 若 A= ,则 若 ,则12x12A答案：32、设 ，令 ,则由 产生的 上的,Xabcd,abcdBBX拓扑是（ ） , ,c,d,c,d,a,b,c , ,c,d,c,d , ,c,a,b,cX ,

6、,d,b,c,b,d,b,c,d答案：33、设 是至少含有两个元素的集合， ,XpX是 的拓扑，则（ ）是 的基.|GpT T ,|BxX|Bx | |Xp答案：34、 设 ,则下列 的拓扑中（ ）以 为子基.Xabc ,Sa , ,a,a,c , ,a , ,a,b,a,b , X答案：35、离散空间的任一子集为( )7 开集 闭集 即开又闭 非开非闭答案：36、平庸空间的任一非空真子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭答案：37、实数空间 中的任一单点集是 ( )R 开集 闭集 既开又闭 非开非闭答案：38、实数空间 R 的子集 A =1, , , ,则 （ ）2134A R A0

7、A答案：39、在实数空间 R 中，下列集合是闭集的是（ ） 整数集 有理数集 无理数集ba,答案：40、在实数空间 R 中，下列集合是开集的是（ ） 整数集 Z 有理数集 无理数集 整数集 Z 的补集 答案：41、已知 上的拓扑 ,则点 1 的邻域个数是（ 1,23X,TX） 1 2 3 4答案：42、已知 ,则 上的所有可能的拓扑有（ ）ab 1 个 2 个 3 个 4 个答案： 43、已知 =a,b,c,则 上的含有个元素的拓扑有（ ）个XX 3 5 7 9答案：44、设 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )()T8 T ,XT ,X当 时, 当 时,TUTU答案：45、在实数下限拓扑空

8、间 中，区间 是（ ）R,)ab 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭答案：46、设 是一个拓扑空间， ,且满足 ,则 是（ X,ABX()dAB） 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭答案：47、设 , 是 的拓扑， ,123,12,3,2T= 12则 的子空间 的拓扑为( )XA , ,1,TX 122答案：48、设 , 是 的拓扑， ,3X,13,2T=XX13A则 的子空间 的拓扑为( )A ,1,1T 3答案：49、设 , 是 的拓扑， ,12X,12,3,2T=XX23A则 的子空间 的拓扑为( )A ,3, ,T9 ,2,3,TX,3TX答案：50、设 , 是 的拓扑， ,则

9、1,1,2= 1A的子空间 的拓扑为( )A ,T,1T 1,3XX答案：51、设 , 是 的拓扑， ,则2,2,13,2T= 2A的子空间 的拓扑为( )XA ,1, ,T 212X答案：52、设 , 是 的拓扑， ,则13X,1,3,T=X3A的子空间 的拓扑为( )A ,2,1,TX 33答案：53、设 是实数空间， 是整数集，则 的子空间 的拓扑为（ ）RZRZ ,T()TP 答案： 1054、设 是拓扑空间 的积空间. 是126XX 126,X 1P到 的投射，则 是（ ）1P 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射答案：55、设 是拓扑空间 的积空间. 是126XX 12

10、6,X 2P到 的投射，则 是（ ）P 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射答案：56、设 是拓扑空间 的积空间. 是126XX 126,X 3P到 的投射，则 是（ ）33P 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射答案：57、设 是拓扑空间 的积空间. 是126XX 126,X 4P到 的投射，则 是（ ）44P 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射答案：58、设 是拓扑空间 的积空间. 是126XX 126,X 5P到 的投射，则 是（ ）55P 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射答案：59、设 是拓扑空间 的积空间. 是126XX 126,

11、X 6P11到 的投射，则 是（ ）X66P 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射答案：60、设 和 是两个拓扑空间， 是它们的积空间, ，1212X1AX，则有（ ）BX AAB ()B ()()B答案：61、有理数集 是实数空间 的一个（ ）QR 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对答案：62、整数集 是实数空间 的一个（ ）Z 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对答案：63、无理数集是实数空间 的一个（ ）R 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对答案：64、设 Y 为拓扑空间 X 的连通子集,Z 为 X 的子集,若 , 则 ZYZ为( )不连通子集 连通子集 闭集 开集

12、答案：65、设 是平庸空间，则积空间 是（ ） 12,X12X 离散空间 不一定是平庸空间 平庸空间 不连通空间12答案：66、设 是离散空间，则积空间 是（ ）12,X12X 离散空间 不一定是离散空间 平庸空间 连通空间答案：67、设 是连通空间，则积空间 是（ ）12,X12X 离散空间 不一定是连通空间 平庸空间 连通空间答案：68、实数空间 R 中的连通子集 E 为( ) 开区间 闭区间 区间 以上都不对答案：69、实数空间 R 中的不少于两点的连通子集 E 为( ) 开区间 闭区间 区间 以上都不对答案：70、实数空间 R 中的连通子集 E 为( ) 开区间 闭区间 区间 区间或一

13、点答案：71、下列叙述中正确的个数为（ ）（）单位圆周 是连通的； （） 是连通的1S0R（） 是连通的 （） 和 同胚2(0,)R2 1 2 3 4答案：72、实数空间 ( ) 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对答案：73、整数集 作为实数空间 的子空间（ ）ZR 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理13 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对答案：74、有理数集 作为实数空间 的子空间（ ）QR 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对答案：75、无理数集作为实数空间 的子空间（ ）

14、 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对答案：76、正整数集 作为实数空间 的子空间（ ）ZR 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对答案：77、负整数集 作为实数空间 的子空间（ ）Z 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对答案：78、2 维欧氏间空间 （ ）2R 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第二可数性公理 以上都不对答案：79、3 维欧氏间空间 （ ）3 仅满足第一可数性公理 仅满足第二可数性公理 既满足第一又满足第

15、二可数性公理 以上都不对答案：80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） 平庸性 连通性 离散性 第一可数性公理答案：81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） 第一可数性公理 连通性14 第二可数性公理 平庸性答案：82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） 第一可数性公理 可分性 第二可数性公理 离散性答案：83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） 平庸性 可分性 离散性 第二可数性公理答案：84、设 是一个拓扑空间，若对于 ,均有 ,X,xyXxy则 是( ) 空间 空间 空间 以上都不对0T1T2答案：85、设 ， ，则 是( )1,2X,X,T 空间

16、 空间 空间 以上都不对0T1T2答案：86、设 ， ，则 是( ),2, 空间 空间 空间 道路连通空间0T1T2答案：87、设 ， ，则 是( ),23X,X,)T 空间 空间 空间 以上都不对0T1T2答案：88、设 ， ，则 是( )1,23,3（,)X 空间 空间 空间 以上都不对0T1T2答案：89、设 ， ，则 是( )1,23X,3X（,)T15 空间 空间 空间 以上都不对0T1T2答案：90、设 ， ，则 是( )1,23X,X（,)XT 空间 空间 空间 以上都不对0T1T2答案：91、设 ， ，则 是( )1,23,1,) 空间 空间 空间 以上都不对0T1T2答案：9

17、2、设 是一个拓扑空间，若 的每一个单点集都是闭集，XX则 是（ ）正则空间 正规空间 空间 空间1T4答案：93、设 是一个拓扑空间，若 的每一个有限子集都是闭集，则 是（ ）X正则空间 正规空间 空间 空间1T4答案：94、设 是一个拓扑空间，若对 及 的每一个开邻域 ，都存xXU在 的一个开邻域 ,使得 ,则 是（ ）xVU正则空间 正规空间 空间 空间1T4答案：95、设 是一个拓扑空间，若对 的任何一个闭集 及 的每一个开XXA邻域 ，都存在 的一个开邻域 ,使得 ,则 是（ ）UAVUX正则空间 正规空间 空间 空间1T4答案：96、设 ， ，则 是( )1,23X， ,23X（T

18、,)16 空间 空间 空间 正规空间0T1T2答案：97、设 ， ，则 是( ),23X， ,13X（,)XT 空间 空间 空间 正规空间0T1T2答案：98、设 ， ，则 是( ),23， ,31（,) 空间 空间 空间 正则空间0T1T2答案：99、设 ， ，则 是( ),23X， ,1X,XT 空间 正则空间 空间 正规空间T4T答案：100、设 ， ，则 是( )1,23， ,13,) 空间 正则空间 空间 正规空间T4T答案：101、设 ， ，则 是( )1,23X， ,23,X,XT 空间 正则空间 空间 正规空间T4T答案：102、若拓扑空间 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则

19、称拓扑空间 是一个（ ）X 连通空间 道路连通空间 紧致空间 可分空间答案：103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ） 连通子集 道路连通子集 紧致子集 以上都不对答案：104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是（ ） 连通子集 开集 闭集 以上都不对17答案：105、紧致的 Hausdorff 空间中的紧致子集是（ ） 连通子集 开集 闭集 以上都不对答案：106、拓扑空间 的任何一个有限子集都是（ ）X 连通子集 紧致子集 非紧致子集 开集答案：107、实数空间 的子集 是（ ）R1,23A 连通子集 紧致子集 开集 非紧致子集答案：108、实数空间 的子集 是（ ）,4 连通

20、子集 紧致子集 开集 非紧致子集答案：109、如果拓扑空间 的每个紧致子集都是闭集，则 是（ ）XX 空间 紧致空间 可数补空间 非紧致空间1T答案：二、填空题（每题 1 分）1、设 ,则 的平庸拓扑为 ;Xab答案： T2、设 ,则 的离散拓扑为 ;答案： ,Xab、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;答案：拓扑不变性质4、在实数空间 R 中，有理数集 Q 的导集是_.答案： R5、 当且仅当对于 的每一邻域 有 ;)(AdxxU答案： )U6、设 是有限补空间 中的一个无限子集，则 = ;X()dA18答案： X7、设 是有限补空间 中的一个无限子集，则 = ;AA答案：8、设 是可数补空间

21、中的一个不可数子集，则 = ;()d答案： X9、设 是可数补空间 中的一个不可数子集，则 = ;AA答案：10、设 , 的拓扑 ,则 的子集 123,23TXX1,2的内部为 ;答案：211、设 , 的拓扑 ,则 的子集 X,1,3A的内部为 ;答案：112、设 , 的拓扑 ,则 的子集 123,23TXX1,2的内部为 ;答案：113、设 , 的拓扑 ,则 的子集 X,3A的内部为 ;答案： 14、设 ,则 的平庸拓扑为 ;abcX答案： T15、设 ,则 的离散拓扑为 ;Xc答案： ,abcacb16、设 , 的拓扑 ,则 的子集12323TXX19的内部为 ;1,3A答案：3 17、设

22、 , 的拓扑 ,则 的子集2X,13,TXX的内部为 ;1,答案：1 18、 是拓扑空间 到 的一个映射，若它是一个单射，并且:fYY是从 到它的象集 的一个同胚，则称映射 是一个 .X()fXf答案：嵌入19、 是拓扑空间 到 的一个映射，如果它是一个满射，并:fYY且 的拓扑是对于映射 而言的商拓扑，则称 是一个 ;f f答案：商映射20、设 是两个拓扑空间， 是一个映射，若 中任何一个,XY:fXYX开集 的象集 是 中的一个开集，则称映射 是一个 ;U()f f答案：开映射21、设 是两个拓扑空间， 是一个映射，若 中任何一个,Y:fY闭集 的象集 是 中的一个闭集，则称映射 是一个

23、;()f f答案：闭映射22、若拓扑空间 存在两个非空的闭子集 ,使得XAB,则 是一个 ；,AB答案：不连通空间23、若拓扑空间 存在两个非空的开子集 ,使得,则 是一个 ；,X20答案：不连通空间24、若拓扑空间 存在着一个既开又闭的非空真子集，则 是一个 XX；答案：不连通空间25、设 是拓扑空间 的一个连通子集， 满足 ，则YZYZ也是 的一个 ; Z答案：连通子集26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；答案：在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所

24、具有，则称这个性质是一个 ；答案：可商性质28、若任意 个拓扑空间 ,都具有性质 ,则积空间1n12,nX P也具有性质 ，则性质 称为 ; 12X P答案：有限可积性质29、设 是一个拓扑空间，如果 中有两个非空的隔离子集 ,使得XAB,则称 是一个 ；ABX答案：不连通空间.30、若 满足第一可数性公理，则积空间 满足 ;12, 12X答案：第一可数性公理31、若 满足第二可数性公理，则积空间 也满足 ;12,X12答案：第二可数性公理32、如果一个拓扑空间具有性质 ,那么它的任何一个子空间也具有性P质 ,则称性质 为 ;P答案：可遗传性质33、设 是拓扑空间 的一个子集，且 ,则称 是

25、的一个 DXDX；答案：稠密子集34、若拓扑空间 有一个可数稠密子集，则称 是一个 ；21答案：可分空间35、设 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，X则称 是一个 ；答案：Lindelff 空间36、如果一个拓扑空间具有性质 ,那么它的任何一个开子空间也具有P性质 ,则称性质 为 ;P答案：对于开子空间可遗传性质37、如果一个拓扑空间具有性质 ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质 ,则称性质 为 ;答案：对于闭子空间可遗传性质38、设 是一个拓扑空间，如果 X则称 是一个 空间;0T答案： 中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点39、设 是一个拓扑空间，

26、如果 则称 是一个 空间;X1T答案： 中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点40、设 是一个拓扑空间，如果 则称 是一个 空间; 2T答案： 中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻X域互不相交41、正则的 空间称为 ；1答案： 空间3T42、正规的 空间称为 ；1答案： 空间443、完全正则的 空间称为 ；1T答案： 空间或 Tychonoff 空间3.52244、设 是一个拓扑空间.如果 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，XX则称拓扑空间 是一个 . 答案：紧致空间45、设 是一个拓扑空间， 是 的一个子集.如果 作为 的子空间YYX是一个紧致空间，则称 是拓扑

27、空间 的一个 .答案：紧致子集46、设 是一个拓扑空间. 如果 的每一个可数开覆盖都有有限子覆XX盖，则称拓扑空间 是一个 .答案：可数紧致空间47、设 是一个拓扑空间. 如果 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间 是一个 .答案：列紧空间48、设 是一个拓扑空间. 如果 中的每一个序列都有一个收敛的子XX序列，则称拓扑空间 是一个 .答案：序列紧致空间三判断（每题 4 分，判断 1 分，理由 3 分）1、 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案: 理由：设 是离散空间， 是拓扑空间， 是连续映射，XY:fXY因为对任意 ，都有 ,由于 中的任何一个子集都A1)fA（是开集

28、，从而 是 中的开集，所以 是连续的. 1()f:f2、设 是集合 的两个拓扑，则 不一定是集合 的拓扑( )12, TX12 TX答案:理由：因为（1） 是 的拓扑，故 T1， T ，从而12, ,；,12 （）对任意的 T1 T ，则有 T1且 T ，由于 T1, BA, BA,T2是 的拓扑，故 T1且 T2，从而 XT1 T ；23（）对任意的 ，则 ，由于 T1, T2是21T 21,T的拓扑，从而 U TU T1, U TU T2,故 U TU XT1 T ；综上有 T1 T 也是 的拓扑X3、从拓扑空间 到平庸空间 的任何映射都是连续映射（ ）Y答案:理由：设 是任一满足条件的映

29、射，由于 是平庸空间，它:fY中的开集只有 ,易知它们在 下的原象分别是 ,均为 中的fX开集，从而 连续.:fXY4、设 为离散拓扑空间 的任意子集，则 （ ）AdA答案:理由：设 为 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，p所以 是 的开子集，且有 ，即 ,从而 XppdA.()dA5、设 为平庸空间 （ 多于一点）的一个单点集，则 （ ）答案：理由：设 ,则对于任意 , 有唯一的一个邻域 ，且AyxXyxX有 ,从而 ，因此 是 的一个凝聚点，但()yXx()AA对于 的唯一的邻域 ，有 ,所以有 .yd6、设 为平庸空间 的任何一个多于两点的子集，则 （ A X24）答案：理由

30、：对于任意 因为 包含多于一点，从而对于 的唯一的邻,xXAx域 ，且有 ，因此 是 的一个凝聚点，即 ，X()x()dA所以有 .dA7、设 是一个不连通空间，则 中存在两个非空的闭子集 ,使得XB（ ）,B答案：理由：设 是一个不连通空间，设 是 的两个非空的隔离子集X,AB使得 ,显然 ，并且这时有:AB()()从而 是 的一个闭子集，同理可证 是 的一个闭子集，这就证XAX明了 满足 .,B8、若拓扑空间 中存在一个既开又闭的非空真子集，则 是一个不连通空间( )答案：理由：这是因为若设 是 中的一个既开又闭的非空真子集，令AX，则 都是 中的非空闭子集，它们满足 ，易见BA, ABX

31、是隔离子集，所以拓扑空间 是一个不连通空.,9、设拓扑空间 满足第二可数性公理，则 满足第一可数性公理（ ）答案：理由:设拓扑空间 满足第二可数性公理， 是它的一个可数基，对XB于每一个 ,易知 是点 处的一个邻域基，它x B|xx是 的一个子族所以是可数族，从而 在点 处有可数邻域基，故BX25满 足第一可数性公理.X10、若拓扑空间 满足第二可数性公理，则 的子空间 也满足第二XY可数性公理（ ）答案：理由：由于 满足第二可数性公理，所以它有一个可数基 ，因B为 是 的子空间，则 是 的一个可数基，YX|B| BY从而 的 子空间 也满足第二可数性公理.11、若拓扑空间 满足第一可数性公理

32、，则 的子空间 也满足第一XY可数性公理（ ）答案：理由：由于 满足第一可数性公理，所以对 , 在点 处有Xxx一个可数邻域基 ，因为 是 的子空间，则V xY是 在点 的一个可数邻域基，从而 的子| |xYxX空间 也满足第一可数性公理.12、设 ， ，则 是 空间.( )1,23X,23,XT(,)T3答案：理由：因为 是 的一个闭集，对于点和 没有各自的开,1,邻域互不相交，所以 不是正则空间，从而不是 空间.3T注：也可以说明 不是 空间X1T13、设 ， ，则 是 空间.( )1,23,2,(,)X3答案：理由：因为 是 的一个闭集，对于点和 没有各自的开,X2,邻域互不相交，所以

33、不是正则空间，从而不是 空间.3T注：也可以说明 不是 空间1T14、设 ， ，则 是 空间.( )1,23X， ,3,X(,)X126答案：理由：因为对于点和点，没有开邻域不包含，从而 不是X空间1T注：也可以考虑点和点.15、设 ， ，则 是 空间.( ),23X， ,13,XT(,)XT4答案：理由：因为对于点和点，没有开邻域不包含，从而 不是X空间故 是 空间.1T(,)4注：也可以考虑点和点.16、 空间一定是 空间.（ ）32T答案：理由：因为 空间是正则的 空间，所以对于 空间 中的任意不31T3TX同的两点 ， 是 中的闭集，由于 是正则空间，从而,xyX对于 它们有各自的开邻

34、域 使得 ，所以 是 空,UV2T间.17、 空间一定是 空间.（ ）4T3T答案：理由：因为 空间是正规的 空间，所以对于 空间 中的任意41T4TX点 和不包含 的闭集 ，由于 也是一个闭集及 是正规空间，xxAx故存在 的开邻域 使得 ，这说明 是正则空间，,UV因此 是 空间.X3T18、设 是拓扑空间 的两个紧致子集，则 是一个紧致子集.( ),ABAB答案：理由：设 A 是一个由 中的开集构成的 的覆盖，由于 和XA27都是 的紧致子集，从而存在 A 的有限子族 A 1 A 2 分别是BX和 的覆盖，故 是 A 的有限子族且覆盖 ，所以A12 B是紧致子集.19、Hausdorff

35、 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )答案：理由：设 是 Hausdorff 空间 的一个紧致子集，则对于任何X，若 ，则易知 不是 的凝聚点，因此 ，从而xXAxAA是一个闭集.四名词解释(每题 2 分)1同胚映射答案：设 和 是两个拓扑空间.如果 是一个一一映射，Y:fXY并且 和 都是连续映射，则称 是一个同胚映射或同f1:Xf胚.2、集合 的内点A答案：设 是一个拓扑空间， .如果 是点 的一个邻域，AXxX则称点 是集合 的一个内点.x3、集合 的内部答案：设 是一个拓扑空间， .则集合 的所有内点构成的集X合称为集合 的内部.4拓扑空间 的基(,)T答案：设 是一个拓扑空间， 是

36、 的一个子族.如果 中的BTT每一个元素是 中的某些元素的并，则称 是拓扑 的一个基.B5闭包答案：设 是一个拓扑空间， .集合 与集合 的导集XAXA的并 称为集合 的闭包.()dA()d6、序列答案：设 是一个拓扑空间，每一个映射 叫做 中的一:SZX个序列.7、导集28答案：设 是一个拓扑空间，集合 的所有凝聚点构成的集合称为XA的导集.A8、不连通空间答案：设 是一个拓扑空间，如果 中有两个非空的隔离子集 ,使XAB得 ,则称 是一个不连通空间.B9、连通子集答案：设 是拓扑空间 的一个子集.如果 作为 的子空间是一个YY连通空间，则称 是 的一个连通子集.10、不连通子集答案：设 是

37、拓扑空间 的一个子集.如果 作为 的子空间是一XX个不连通空间，则称 是 的一个不连通子集.11、 空间1 A答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为 空间.1 A12、 空间2 答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，简称为 空间.2 A13、可分空间答案：如果拓扑空间 有一个可数稠密子集，则称 是一个可分XX空间.14、 空间：0T答案：设 是一个拓扑空间，如果 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间 是 空X0T间.15、 空间：1T答案：设

38、是一个拓扑空间，如果 中的任意两个不相同的点中XX每一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间 是 空间.X1T2916、 空间：2T答案：设 是一个拓扑空间，如果 中的任意两个不相同的点各自XX有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间 是 空X2T间.17、正则空间：答案：设 是一个拓扑空间，如果 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称是正则空间.X18、正规空间：答案：设 是一个拓扑空间，如果 中的任何两个无交的闭集都X各自有一个开邻域，它们互不相交，则称 是正规空间.19、完全正则空间：答案：设 是一个拓扑空间，如果对于 和 中任何

39、一个不x包含点 的闭集 存在一个连续映射 使得 以及xB:0,1f()0fx对于任何 有 ，则称拓扑空间 是一个完全正则空间.y()1fX20、紧致空间答案：设 是一个拓扑空间.如果 的每一个开覆盖都有一个有限X子覆盖，则称拓扑空间 是一个紧致空间. 21、紧致子集答案：设 是一个拓扑空间， 是 的一个子集.如果 作为 的YXYX子空间是一个紧致空间，则称 是拓扑空间 的一个紧致子集.22、可数紧致空间答案：设 是一个拓扑空间. 如果 的每一个可数开覆盖都有有X限子覆盖，则称拓扑空间 是一个可数紧致空间.23、列紧空间答案：设 是一个拓扑空间. 如果 的每一个无限子集都有凝聚X点，则称拓扑空间 是一个列紧空间.24、序列紧致空间答案：设 是一个拓扑空间. 如果 中的每一个序列都有一个收X敛的子序列，则称拓扑空间 是一个序列紧致空间.五简答题（每题 4 分）1、设 是一个拓扑空间， 是 的子集，且 .试说明,ABXAB30.()dAB答案：对于任意 ,设 是 的任何一个邻域，则有()xdAUx,由于 ，