1、引导学生深入体会概念椭圆及其标准方程（一）教学设计北京四中分校 林科琳【教材分析】(一) 教学内容“椭圆及其标准方程“ 是高二 数学选修 2-1 （选修） （人民教育出版社出版）第二章的第二节内容，分三课时完成. 第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程；第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程，巩固求曲线方程的两种基本方法，（待定系数法、定义法） ；第三课时讲解运用中间变量法求动点轨迹方程的基本思路. 现在说第一课时.(二) 教材的地位和作用本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线. 椭圆的学习可以为
2、后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础. 因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一.【教学目标】一、 教学知识点：1、 圆锥曲线的概念；2、 椭圆的定义、焦点、焦距；3、 椭圆的标准方程.二、 能力训练要求：1、 通过本节课的学习，学生能够明确圆锥曲线的概念2、 通过参与探讨能够理解椭圆的定义和基本量和标准方程的推导3、 通过实际应用能够掌握根据椭圆的定义求基本量的方法4、 通过对比学习能够体会对比法，化归法，数形结合在数学中的应用.三、 德育渗透目标：1、 学生能够认识并理解世间一切事物的运动都是有规律的2、 进一步提高发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的
3、能力3、 通过运动规律，认清事物运动的本质，培养运动变化的感官认知【教学重点难点】一、重点：1、椭圆概念的发现2、椭圆标准方程的探求和应用二、难点：椭圆标准方程的推导思想，推导过程中复杂的根式化简【教学方法】探究启发、归纳与应用相结合【教学内容分析】引导学生深入体会概念在我们的现实生活中，存在着许多椭圆的例子，比如宇宙中，许多星球的形状及运行轨道都是椭圆，用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱得到的截面是椭圆形，拱形桥可近似地看作椭圆的一部分等，学生对椭圆形有粗浅的了解。本节课将在学生对坐标法研究几何问题有初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线，并从数学的“对称美”和“简洁美”的角度出发，结
4、合必要的教具演示，使学生对本节内容好理解易接受。另外，椭圆的学习可以为研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础，因此这节课又有承前启后的作用，是本章的重点内容之一.【学生情况分析】学生在学习完直线和圆的方程后，对曲线有了初步的了解，对于坐标法解决几何问题掌握不够熟练,故从研究圆到研究椭圆,学生思维上存在一定的障碍。因此本节课通过让学生动手作图,“定性”地画出椭圆；再通过坐标法“定量”的描述椭圆；使之从感性认识上升到理性认识，从而形成概念，推出方程。另外，对于定义中的一些关键字学生易忽略，教师须重复强调.【设计理念】在教学中采用“自主-合作-探究”的教学模式，让学生自己去发现问题、解决问题，真正
5、成为课堂的主人。为了让学生正确理解椭圆的定义，可提前让学生准备教具：一块纸板、一根定长的细绳和两枚图钉，让学生动脑思，动手做。教师的“诱”要在点上，要精。要让学生在整个教学过程体会到发现的乐趣，从而提高学生学习的热情，充分发挥情意因素的作用.用几何画板制作地球围绕太阳运行图、椭圆形成图；例题、习题及标准答案用 powerpoint 制作完成. 【教学过程】、 引入课题：1、 创设情境，激发情意背景故事一 ：亚里士多德认为行星运行轨道是圆形，几个世纪后的哥白尼和布拉赫第谷也持此观点。布拉赫有一个助手叫做开普勒，他曾经担心开普勒会在行星运行规律的研究上超过自己，因而让他去研究火星轨迹，由于没有任何
6、一个圆符合火星观测数据，所以这是一个很困难的问题。布拉赫相信这项任务将使开普勒无法超越他了。开普勒用椭圆轨道代替了圆轨道，这使他出色的完成了这项任务.（只要勤奋执着，人人都可以成功）背景故事二：我国是世界上为数不多的能成功发射卫星的国家之一，这体现了我国的综合国力水平，也说明我们中华民族是伟大的。特别是神州五号、神州六号飞船的成功发射，更标志着我国已跨入了科技大国的行列.（培养学生的引导学生深入体会概念爱国主义意识和民族自豪感）.2、具体事物，加深印象问题卫星绕地球旋转的轨道曲线是什么形状？（flash 动画演示） 问题柱形试管斜置，其液面呈什么形状？（实验操作演示）问题不垂直且不平行于圆柱体
7、的轴的平面截圆柱体，其截口是什么曲线？（flash 动画演示）3、动态演示，完整知 识结构利用课件，动态的演示各种圆锥曲线的形成（见图 1） ，给学生一个本章的完整知识结构，并指出本节要学习的内容椭圆. 由于时间、地域和生活 环境各种因素的影响，不同的学生对椭圆的理解存在着认识上的差异。为了帮助学生树立与椭圆有关联的表象，教师积极开发学生已有的知识结构，帮助学生从具体事物中抽象出椭圆的形象，再通过播放动画演示圆锥曲线的形成过程，理清本章研究对象，完善知识结构.二、尝试探究、形成概念1、将一张白纸铺在木板上，把细绳的两端用大头针固定在纸上，然后用一根铅笔的尖端拉紧细绳并围绕着大头针移动铅笔，这样
8、就画出了一个椭圆.2、通过作图的过程，你能尝试给椭圆下个定义吗？3、配合动画演示，教师适当引导，讨论定义的严密性，完善定义内容.椭圆的定义：平面内到两定 F1、F 2点的距离之和为一个常数 2a（2a |F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.注：当 2a=|F1F2|时，动点的 轨迹为线段 F1F2当 2a |F1F2|）”，通过动画演示和教师点评，学生能够切身体会到“发现定义实例 验证 定义完善精确定义” 这一科学地研究问题的方法，进一步增加了学生 对数学的严密性与科学性的认知.三、 寻求方程、活跃思维提示 1：从图象上看，椭圆与圆有无联系，猜
9、测一下它们的方程间有无一定的关系呢？ 提示 2：圆的方程形式与推导方法是怎样的， 是否可以使用同样的方法来推导椭圆的方程？提示 3：求方程很关键的一步是建立坐标系，如何建立坐标系，使求出的方程最简单？先选定方案一，推导过程可找一名学生到黑板上板演，其他同学在练习本上演算.设 P（x，y） ，|F 1F2|=2c，则 F1（-c，0） ，F 2（c，0） ，根据题意有：|PF1|+|PF2|=2a代入各点坐标得 ayxycx)()( 即 2222caa（学生整理到这一步后，通常很难再继续下去，教师可在此处适当点拨，介绍构造思想，设 整理得到中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的)0(22bcb椭圆标
10、准方程为： )0(12babyaxPF2F1 xOy方案（一）以 F1、F 2 所在直线为x 轴，线段 F1F2 中垂线为 y 轴建系PF2F1xOy方案（二）以 F1、F 2 所在直线为y 轴，线段 F1F2 中垂线为 x 轴建系引导学生深入体会概念（其中，2a 为椭圆上任意一点到两焦点的距离，2c 为焦距， ）22cab同理得到方案二中，椭圆的标准方程形式： ，它所表示的椭圆12xay为焦点在 y 轴上，焦点坐标为 ，中心在坐标原点。),0(,(21cF注：1、方程 表示中心在坐 标原点焦点在 x 轴上的椭圆，方程2bax表示中心在坐标原点焦点在 y 轴上的椭圆 ，反之若 椭圆的中心在坐标
11、2ba原点，其方程必为以上两种形式中的一种.（其中 ab0，指明构造 b 是有科学依据的，b 的几何意 义将在以后的学习中给出）2、椭圆可看作把圆的图象压扁后得到的图形，中心在坐标原点的圆的标准方程和中心在坐标原点的椭圆的标准方程之间也有相似之处，当 x2，y2项分母同时大于零但互不相等时为椭圆，分母相等且大于零时为圆。3、中心在坐标原点，焦点分别在 x 轴 y 轴上椭圆基本量对比.标准方程 )0(12baba )0(12babxay图形不同点焦点坐标 （c,0）,（-c,0） (0,c),(0,-c)定义a，b，c 关系 22cba相同点焦点位置判定 x2 ,y2项分母数大的那一个，焦点就在
12、相应轴上练习：1、方程 表示曲线为 ，焦点坐标为 196y2、方程 表示曲线为 ，焦点坐标为 23x3、方程 表示曲线是 ，标准8)2()(2yxy方程是 xyxy引导学生深入体会概念设计意图： 1、通 过对 如何建系求曲线的方程的实际操作，学生可以进一步掌握求曲线方程的一般方法，并加深了其对前后知识间的联系与应用.2、学生在建系过程中遇到的困难是如何确定坐标原点的位置与横纵轴的方向，教师可对建系不在椭圆中心的情况加以适当点评，与中心在坐标原点的椭圆方程进行对比，这样建系使得最终化简的椭圆方程形式较为复杂，学生在参与讨论中体会对比学习这一重要方法在数学学习中的实际应用，感受数学中的对称美和简洁
13、美.3、表格的形式可直观地表达焦点在 x 轴和 y 轴上椭圆的区别与联系，辅助练习 1、2 重在从方程的角度研究椭圆图形的性质，练习 3 从定义的角度给出了椭圆，对学生掌握新知识的能力和知识的迁移能力、应用能力进行了更高一层的考察.4、通过对学生熟悉的圆的图象与椭圆的图象进行对比，联想椭圆的方程与圆的方程的推导方法和方程形式间的关系，学生可切身体会对比学习的优越性，掌握这一科学研究问题的方法.四、典例剖析、知识应用例 1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（-4，0） 、 （4，0） ，椭圆上一点 p 到两焦点距离的和等于 10；（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）
14、、 （0，2） ，并且椭圆经过点 P.)5,3(解题思路：（1）从椭圆的定义判断 2a=10，c=4，得 b=3，焦点在 x 轴上，中心在坐标原点，椭圆方程为 1925yx（2）思路 1：焦点在 y 轴上中心在坐标原点 c=2，先设椭圆方程为引导学生深入体会概念带入点 P 坐标计算得 a2=10，椭圆方程为 .要注意根142axy 1602xy据 ac 排除 a 的另一个解.思路 2：根据椭圆定义 P 到两焦点距离之和为 2a，可先算得 a 的值，再用（1）中方法算得椭圆方程.设计意图：通过对本题的解答，渗透待定系数法求椭圆方程的思想，加深对椭圆定义的认知，对如何利用定义求得椭圆方程中基本量
15、a，b，c 有一个更深刻的感悟.拓展：方程 表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆，求实数 k 的取142kyx值范围.变式：方程 表示椭圆，则 k 的取值范围是 .16242k设计意图：从图象的角度研究方程具备的性质，加深学生对图象方程间的联系认知.五、课堂练习，巩固知识1平面内两个定点的距离等于 8，一个动点 M 到这两个定点的距离的和等于 10。建立适当的坐标系，写出动点 M 的轨迹方程。2写出适合下列条件的椭圆的标准方程 ：（1） a=4,b=1,焦点在 x 轴上；（2） a=4,c= ,焦点在 y 轴上；15（3） a+b=10,c= ；2六：课堂小结：1、知识总结：（1）完成下表标准方
16、程 )0(12babyax )0(12babxay不同点图形xyxy引导学生深入体会概念焦点坐标 （c,0）,（-c,0） (0,c),(0,-c)定义a，b，c 关系 22cba相同点焦点位置判定 x2 ,y2项分母数大的那一个，焦点就在相应轴上（2）技能总结：求曲线方程的一般步骤；解析法；待定系数法.2、 思想方法总结：对比思想，化归思想，构造思想，数形结合.七、作业布置课本 P42 1、2、3、4八、板书设计与课堂安排标题：椭圆及其标准方程（一） 一、背景材料 二、问题引发课题 三、探究概念 四、寻求方程 五、例题精讲 六、课堂练习 七、实际应用 八、课堂小结及作业【教学基本流程】【教学
17、评价】本节课围绕“层层设问 自主探索 发现规律 归纳总结”这一主线展开，对教材内容进行了优化组合，在教学过程中，学生通过观看动画，动手实践，自己总结出椭圆定义，符合从感性上升为理性的认知规律，而且提升了抽象概括的能力. 同时在进行推导椭圆的标准方程的过程中，提高了利用坐标法解决几何问题的能力及运算能力. 在整节课中，教师作为引导者，利用课件“动态的演示各种圆锥曲线的形成” ，激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生大胆探索 ，勇于创新，提高学生参与数学活动的兴趣和积极性，树立了学好数学的自信，养成独立思考习惯.【教学反思】在课堂教学中我“以知识为载体，以思维为主线，以能力为目标，以发展为方向” ，展现知识的发生形成过程。采取以学生发展为本，明确本节课的学习目标，以学习任务驱动为方式，以椭圆标准方程的求法为中心。穿插研究性教举例、探究概念根据条件，建立椭圆的标准方程例题及练习小结与布置作业引导学生深入体会概念学尝试，体现了“学生是学习主体，教师是引导者、参与者、组织者、合作者”的新课程理念。有利于改变学生的学习方式，有利于学生自主探究，有利于学生的实践能力和创新意识的培养。达到了教学目标，优化了整个教学过程。但是，在教学中还是存在很多不足的，在以后的教学中还要继续努力，不断总结经验教训，提高自身的教学水平。
