1、SCH 南极数学同步教学设计 人教 A 版选修 2-1 第二单元圆锥曲线与方程 - 1 -221 椭圆及其标准方程（1） （教学设计）教学目标：知识与技能目标：学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程；过程与方法目标：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，提高学生运用坐标法解决几何问题的能力，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法。情感、态度与价值观目标：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴
2、趣和创新意识，培养学生勇于探索的精神和渗透辩证唯物主义的方法论和认识论。教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法求曲线方程。教学难点：椭圆标准方程的建立和推导教学过程：一、复习回顾：1、圆的定义是：在平面上，到定点的距离等于定长的点的轨迹；那么当动点满足哪些条件时轨迹仍然是圆?另：平面上到两个定点(距离为 2d)距离的平方和等于定值 a(a2d 2)的点的轨迹是圆；另：平面上，与两个定点连线的斜率乘积为-1 的点的轨迹是圆.二、创设情境，新课引入：1、师做一个道具（课本 P38 探究） ，观察后请学生回答.问：动点是在“到两个定点距离之和等于定值”这一条件下运动的，轨迹是椭圆.师提出问
3、题，与学生进一步探究？是否到两个定点距离之和等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢?师演示让学生一起思考？当两个定点位置变化时，转变发生了怎样的变化?（1） 当两个定点重合时，轨迹变化为圆；（2）当定值等于两个定点间的距离时，轨迹是一条线段 F1F2.（3）平面上不存在到两个定点距离之和小于定值的点（4）师生共同小结完成下表在平面上到两个定点 F1，F2 距离之和等于定值 2a 的点的轨迹为（1）椭圆|MF 1|+|MF2|F 1F2；（2）线段|MF 1|+|MF2|=F 1F2；（3）不存在|MF 1|+|MF2|F 1F2.SCH 南极数学同步教学设计 人教 A 版选修 2-1 第二单元圆锥曲
4、线与方程 - 2 -三、师生互动，新课讲解：1、椭圆的定义：把平面内与两个定点 F1，F 2距离之和等于定值 2a 的点的轨迹叫做椭圆，其中 2aF 1F2.两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距，用 2c(c0)表示.2、椭圆标准方程的推导：求到两个定点 F1、 F2距离之和等于定值 2a(2aF 1F2)的点的轨迹.（1 ）研究曲线方程的一般方法是什么？坐标法（2）求曲线方程的一般步骤是什么？建系：建立适当的直角坐标系；设点：设 M（ x,y）是曲线上任意一点；列式：建立关于 x,y 的方程 f(x,y) =0；化简：化简方程 f(x,y)=0.检验：说明曲线上的点都符合条件；
5、符合条件的点都在曲线上.那么此题应如何建立坐标系呢?建立直线坐标系一般应符合简单和谐化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线的斜率等)的表达式简单化，注意要充分利用图形的特殊性.教师归纳大体上有如下三个方案：（1）取一个定点为原点，以 F1，F 2所在直线为 x 轴建立直角坐标系，如左图；（2）以 F1，F 2所在直线为 x 轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系，如中图；（3）以 F1，F 2所在直线为 y 轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系，如右图；以 F1，F 2所在直线为 x 轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系，最后选定方案，如图 2-27，推导出方
6、程.解 1)建系：以 F1，F 2所在直线为 x 轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆上任意一点的坐标为M(x,y)，设两定点坐标为：F 1(-c,0),F2(c,0)，2)则 M 满足：MF 1+MF 2=2a，3)坐标化即： =2a，)(ycx2)(ycx4)化简.=2a- 两边平方得：2)(ycx2)(x+c)2+y2=4a2-4a +(x-c)2+y2，2ycxSCH 南极数学同步教学设计 人教 A 版选修 2-1 第二单元圆锥曲线与方程 - 3 -即 a2-cx=a ，两边再平方得：2)(ycxa4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整
7、理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2 (a2-c2).请结合图形找出方程中 a、c 的关系.根据椭圆定义知道 a2c 2，且如图所示，a 与 c 可以看成 RtMOF 2的斜边和直角边.不妨令 b2=a2-c2，则方程就变形为 b2x2+a2y2=a2b2，如果再化简，你会得到什么形式的方程呢?方程变化为： .(*)21xya其中 a 与 b 的关系如何?为什么?ab0，因为 a 与 b 分别是 RtMOF 2的斜边、直角边.教师指出(*)式就是焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程，最后说明：1)方程中条件 ab0 不可缺少(结合图形)，当 a=b0 时，就化成圆心在原点的圆的方程，从而进一步
8、说明圆是椭圆的特例；(这实际上是一种极限情况.)2)b 的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实际的几何意义，即：b 2=a2-c2；3)请学生猜想：若用方案(即焦点在 y 轴上)，得到的方程形式又如何呢?(启发学生根据对称性进行猜想)方程形式为 12bxay请同学们课后进行推导验证.此时方程中 a 与 b 的关系又如何?(结合图形请学生 将条件 ab0 补上.)例题选讲：例 1：下列哪些是椭圆方程？如果是，请指出其焦点所在的坐标轴,40256)(yx,1256)(xy,14)3(2yx,19)(2x.243)5(2yx对椭圆及其标准方程的理解： 椭圆标准方程中，哪个分母大，焦点就在相应的
9、哪条坐标轴上； a、b、c 始终满足 c2a 2b 2，焦点在 x 轴上为(c, 0) 、 (c, 0) ，在 y 轴上为(0, c)、(0, c)； 形如 Ax2 By2C 的方程中，只要 A、B、C 同号(A B)，就表示椭圆变式训练 1（课本 P42 练习 NO：2）： 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ，焦点在 轴上；4,x ，焦点在 轴上；5acy 10,2b例 2（课本 P40 例 1） 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ， ，并且经过点 ，求它的标准方程2,0,53,2分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出 引导学生用其他方法来解,abc解：设椭圆的标准方程为 ，因点
10、在椭圆上，210xyab53,2SCH 南极数学同步教学设计 人教 A 版选修 2-1 第二单元圆锥曲线与方程 - 4 -则 2591046aab方法小结：待定系数法与定义结合求标准方程变式训练 2：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1 ）两个焦点坐标分别是 、 （4 ，0） ，椭圆上一点 P 到两焦点的距离的和等于 10；),(（2 ）两个焦点的坐标分别是 、 （0 ，2） ，并且椭圆经过点 .)25,3(解：（1）因为椭圆的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为 （ 0）x 12byaxab ， ，又 ，02a54c94522cab所求椭圆的标准方程为 192yx（2 ）因为椭圆的焦点在 轴上
11、，所以设它的标准方程为 （ 0）12bxayab由椭圆的定义知 )5()23)25()32a 又 10ac 6410cab所以所求圆的方程为 162xy课堂练习：（课本 P42 练习：NO：1）四、课堂小结、巩固反思：知识小结：学生自己小结 椭圆定义 aMF21标准方程 + =1 和 + =1（ ）2axby2abx0方法小结：用坐标法研究曲线SCH 南极数学同步教学设计 人教 A 版选修 2-1 第二单元圆锥曲线与方程 - 5 -用待定系数法和定义法求标准方程解题过程中注意数形结合和分类讨论思想方法的应用实际应用：椭圆在天文学、建筑学上有广泛的应用。在天文学上可以精确计算彗星出现的准确时间；
12、在建筑学上可以建造稳固的椭圆形隧道拱。同时椭圆具有美化效果，给人以美的感受。 五、分层作业：A 组：1、 （课本 P49 习题 2.2 A 组：NO：1）2、 （课本 P49 习题 2.2 A 组：NO：2（1） （2） （3） ）3、已知两个焦点的坐标分别是 ，椭圆上一点 P 到两焦点距离和等于 8,求椭圆的标准方程(,0)解： 椭圆的焦点在 x 轴上 设它的标准方程为: + =12aby 2a=8, a=4,又 c=3， 所求椭圆的标准方程为 4、 (tb2514403)已知椭圆与椭圆 共焦点，且通过点(3,-2)，求该椭圆的方程。1492yx（答： ）1052yx5、 (tb2514302)已知椭圆 的焦距为 2，求该椭圆方程。142ymx(答： )514322或yxB 组：1已知椭圆 的一个焦点为（0 ，2） ，求 的值.62yx m解：方程变形为 焦点在 轴上， ，1my6,2ba又 且 ， ， 2c2cba26521697b2xySCH 南极数学同步教学设计 人教 A 版选修 2-1 第二单元圆锥曲线与方程 - 6 -2方程 表示焦点在 轴上的椭圆，求实数 的取值范围.1)(22myxym解：由题意得 即22)1(0210m故所求实数 的取值范围是m),(,(
