1、12.2.1 椭圆及其标准方程一、教学目标设计1、知识与技能：理解椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；了解用椭圆定义推导椭圆的标准方程；掌握 a、b、c 三个量的几何意义及它们之间的关系；能够求椭圆的标准方程。2、过程与方法：（1）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系逐步提高学生的观察、分析、归纳、类比、数形结合、概括探索发现能力。（2）通过椭圆标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法坐标法，并渗透数形结合、等价转化的数学思想方法。3、情感态度与价值观培养学生的探索能力和进取精神，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态
2、度。二、教材内容及重点、难点分析教材分析：本节教材整体来看是两大块内容：意识椭圆的定义和椭圆的标准方程.椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把用坐标法对椭圆的研究放在了重点位置上.学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的. 重点：椭圆的定义和标准方程的应用；难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用；标准方程推导的关键是含有两个根式的等式化简. 三、教学对象分析（1）在必修 2 第二章里学生已经学习了直线和圆的方程，并初步熟悉了求曲线方程的一般方法和步骤，具备主动探究椭圆知识的基础；（2）根据日常生活中的经验，学生对椭圆有了一定的认识，但仍没有上升到成为“概念”的
3、水平，将感性认识理性化将会是对他们的一个挑战；（3）在初中阶段没有涉及过含两个字母、两个根式的方程化简问题；四、教学用具：多媒体四、教学过程与活动设计教学环节 教师活动 学生活动 设计意图复习引入1.请同学们用集合的观点叙述圆的定义。教师在黑板上，分别用圆规画圆；用线绳画圆。让学生观察、回答圆的定义。思考回顾圆的定义是平面内到定点的距离在数学学习中，我们可以用类比方22.用多媒体演示“神州七号”飞船绕地球旋转运行的画面提问学生：“神州七号”飞船绕地球旋转的轨迹是什么图形？是圆吗？等于定长的点组成的图形叫做圆，定点成为圆心，定长称为半径。法由学习、熟悉的知识引入新的知识。创设情境动手操作：让同学
4、们按课本上 38 页的探究介绍的方法，学生用一块图板，把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖分组讨论1.画出的轨迹是什么图形？2.在作图过程中，有哪些物体的位置没变化？有哪些量没有变化？3.移动的笔尖（动点）M 点满足什么几何条件？板书把平面内与两个定点 F1， F2，的距离之和等于常数（大于F 1F2）的点的轨迹叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点；两点间的距离叫做椭圆的焦距注意：教师边演示边提示学生注意：若常数=|F 1F2|，则是线段 F1F2；若常数学生思考、试验，动手按课本上步骤画图。分析画图过程中的“变”与“不变”的条件 M F1，M F2都在变
5、化，但MF 1+ MF2的长度保持不变。整理试验，归培养学生观察能力，类比圆的画法，解决问题。培养学生观察能力、归纳总结能力，为形成椭圆定交奠定基础。整理试验，归纳抽象成数学问题。使学生能将文字语言转化为数学语M 213|F 1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F 1F2|提问：如何用集合表示 M 点所满足的几何条件？让同学们勾画课本 39 页椭圆定义的集合表示。纳抽象成数学问题。学生回答：教师板书 P=MMF 1+ MF2=2a 勾画课本 39 页椭圆定义的集合表示。言，为推导椭圆标准方程做铺垫。建构模式提问：大家还记得 2.1.1 中学习的求曲线方程的
6、一般步骤是什么？知道了椭圆的定义，那如何建立坐标系，求椭圆的标准方程呢？(1)师生共同分析椭圆的特征（如：对称性） ，使方程比较简单；以线 F1F2 的中心为原心，以 F1F2 垂直平分线为 Y 轴，建立直角坐标系。M(x ，y)为椭圆上任意一点，则有 F1（-c，0 ） ，F 2（c，0）在黑板上画出椭圆，并按步骤依次建坐标系(2) 动点 M 满足的几何条件求曲线方程的步骤是：建立坐标系设动点坐标：寻找动点满足的几何条件；把几何条件坐标化；化简得方程；推导曲线方程时，建立坐标系要适当。巩固已学过的两点距离公式，为推导标准方程做准备。1 2yoF FMxC C5由椭圆的定义不难得出动点 M 满
7、足的条件为：aFM21（3）动点 M 满足的代数方程：aycxycx2)()(22（4）化简方程：（ a2-c2） x2+a2y2=a2(a2-c2) 推导出了椭圆的方程，但还不够简洁，且x，y 的系数形式不一致，为了使方程形式和谐且便于记忆和使用，我们应该如何将方程进行变形呢？ 观察 39 页思考图，找出表示 a、c、的线段2ca请结合图形找出方程中 a、c 的关系通过观察 y 轴是 F1 F2 的中垂线，P 到 F1 F2的距离相等，OF 1，OF 2 被 y 轴平分，所以：PF 1=PF 2=a,OF 1=OF 2=c,P0= ca由P0= ，令2b= ,b2=a2-c2，即：代入2c得
8、椭圆形标准方程：122cayx2byx根据上图知：a b0教师指出焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程，（ab 0 ）12yx跟着老师一起化简式子学习巩固根式化简，两边平方确定a、b、c 的几何定义及其关系6说明：（1） 、方程中条件 ab 0 不可缺少（2） 、b 的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实际的几何意义，即：b 2=a2-c2；（3） 、请学生猜想：若焦点在 y 轴上，得到的方程形式又如何呢？(启发学生根据对称性进行猜想)方程形式为：（a b 0） 请同学们12xay课后进行推导验证分析椭圆标准方程： 在椭圆的两种标准方程中，都有的要求；0ba 在椭圆的两种标准方程中，由于 ，
9、2ab所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上； 椭圆的三个参数 之间的关系是,c，其中 22abc0,abbc和大小不确定把焦点在 y 轴上，得到的方程抄在40 页抄笔记给出焦点在Y 轴上的椭圆标准方程让同学们总结归纳，区分焦点在 X轴与 Y 轴的不同。培养学生动手和思考的能力。拓展应用练习应用1、下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？ 0259)2(yx1652思考并动手操作加深大家对椭圆标准方程的记忆，同时深化大家对焦点在X 轴与 Y 轴上的不同的理解132)4(2m72.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是 、 ，椭圆04，上一点到两焦
10、点距离的和等于 10；解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用 F1、F 2 表示，取过点 F1、F 2 的直线为 X轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 Y 轴由题意，2a= 10，c=4所以 a=5，c=4 ，b=3 所求椭圆的标准方程为 1925yx例题例 1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ,0，2,0，并且经过点53,2，求它的标准方程问：（1）根据焦点可以设椭圆的标准方程是？（2）因点53,2在椭圆上，那是否满足椭圆方程？（3）需求标准方程，那要确定方程中的哪些未知数（a,b,c） ，该如何求呢？解：略例 2 如图，在圆24xy上任取一点 P，过点 P作 轴的垂线段 PD， 为垂足当
11、点 在圆上运动时，线段 的中点 M的轨迹是什么？分析：点 在圆24xy上运动，由点 P移动引起点 的运动，则称点 是点 的伴随点，因点 为线段 PD的中点，则点 M的坐标可由点 来表示，从而能求点的轨迹方程通过例题的讲解，更好的达到这堂课的目标，让大家更熟练的运用所学知识。8解：略请同学们尝试自己完成例 3。小结作业课堂小结：提问个别同学1.椭圆方程的标准形式为：（焦点在 x 轴和y 轴）2.求动点轨迹方程(求曲线方程)的步骤是什么？学习了椭圆的定义和椭圆的标准方程，我们应注意以下几点：（1） 一个重要关系式：a 2-b2=c2（2） 椭圆的焦点位置由含 x，y 的分式的分母大小来确定（3）当 2a=2c 时，轨迹为线段，当 2a 2c 时，轨迹不存在作业：P42 3P49 2举手回答提问抄笔记总结课堂的主要内容和注意内容，让课堂精彩开场，完美落幕。五、板书设计2.2.1 椭圆及其标准方程椭圆：略 注意：椭圆标准方程：略例 1 例 2 六、反思与评价从内容上来说这节课理解椭圆的定义，熟练掌握椭圆的标准方程；利用椭圆的定义求解相关题型. 从教学方来说本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等因此，教学时重视体现数学的思想方法及价值。根据本节内容的特点，教学过程中充分发挥信息技术的作用，用几何画板的动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持。6
