1、,一、引入主元素法的原因,第五章 解线性方程组的直接法 2 高斯主元素法(续),二、完全主元素消去法,三、列主元素消去法,一、引入主元素法的原因,举例,用高斯消去法解方程组,用四位浮点数进行计算，精确解舍入到4位有效数字为,解：,方法用高斯消去法求解,计算解为,与精确解相比,显然计算解 是一个很坏的结果，不能作为,方程组的近似解，其原因是： 我们在消元计算时用了小主元0.001，使得约化后的方程组元素的数量级大大增长，使得在计算中发生严重的舍入误差，因此产生了较大的误差！,方法2交换行，避免绝对值小的主元素作除数,改进措施： 对一般矩阵，最好每一步选取系数矩阵（或 消元后的低阶矩阵）中绝对值最
2、大的元素作 为主元素，以使高斯消去法具有较好的数值 稳定性！,得计算解为,本例启发： 在采用高斯消去法解方程组时，小主元可能产 生麻烦，故应避免采用绝对值小的主元素。,主元素法,全主元素,列主元素,2. 完全主元素法,设增广矩阵为,第一步：首先在A中选取绝对值最大的元素作为主元素；然后交换到第一行、第一列的位置；再进行第一次消元，得矩阵 (A | b)(A(2) | b(2),(1) 消元过程,第 k 步：在矩阵A(k)的右下方(n-k+1)阶子矩阵中选取绝对值最大的元素作为主元素；并通过行与列的互换将它换到第k行第k列的位置，然后进行第k次消元，得矩阵 (A(k) | b(k) (A(k+1
3、) | b(k+1),第 n-1 步：经过n-1次消元，将原方程组化为,其中y1,y2,yn为未知数x1,x2,xn调换后的次序。,(2) 回代过程,完全主元素消去法的缺点：,在选主元素时要花费较多机器时间。 时时纪录x顺序的变化情况,3. 列主元素消去法,选主元时仅考虑按列选取，然后换行使之变到主元位置上，再进行消元计算。,设用列主元素消去法已完成 k-1 步，即有,第 k 步：在矩阵A(k)的第k列方框内选取绝对值最大的元素作为主元素；并通过行的互换将它换到第k行的位置，然后进行第k次消元，得矩阵(A(k) | b(k) (A(k+1) | b(k+1),列主元消去法的特点： （1）能够得到较高精度要求的 解 ； （2）计算量大大减少,作业： 习题 7,
