1、第五章数值微积分数值积分Newton-Leibniz 公式r bf (x)dx = F (b) 尸().实际问题中的局限性：1)F(x)非常复杂2)没有初等函数形式的F(x)匚二 数值积分3)函数由离散数据组成5.1数值求积公式的基本思想由定积分的定义，其中,a = x0xl.xn=b,/ci =xi-xi_1.bfMdx =a几f(x)dx = A,./(斗)+ R-i=0机械求积法：节点处函数值的线性组合作为积分近似值两个问题：1）求积系数如何选取？2）若求积节点可以自由选取，取哪些节点好?求积公式的代数精度定义:若求积公式对一切 不高于m次的多项式都准确成步，而对于至少一 个m+1次多项
2、式等号不成分，则称此公式的代数 精度为m.代数精度的求法:/（x）=i,x,x2,x3,.,验证求积公式是 黑藕鬻一个不成立的等式是X%则其代例1：确定如下求积公式的待定系数A。、Aj A2,使其代数精度尽可能高。j xdx Aof (1) + f (0) + A?/。).解:4=1/3 A1=4 / 3 . 4=1/3取 f(x)=1, X, X2,有Ao + A +- 2JL An += 0VZAn + A? =2/3u乙则 P f(x)dx = /(-1) + 4x f(0)+ f (l)/3.取捡曰3,左=右二。，但 f（x）=x4时，左二j/x4dx=2/5 w 右=2/3, 所以求
3、积公式具有3次代数精度。例2：选择常数a,使如下求积公式代数精度尽量高:Johf(x)dx = hf(O) +/(h)/2 + ah2f(O)-f (h).解：f (x)=1,左=h=h (1+1) /2=右；mf(x)=x, =h2/2=h (0+h) /2=右；f(x)=x2,左=h3/3,右力(0+h2) / 2+ ah2 (-2h) = h3/2-2ah3, 令 h3/22ah3/3/3, Ma =1/12.m f(x)=x3,左也/4, =h(h3)/2+h2(-3h2)/12=h4/4； m f(x)=x4, *=h5/5, =h5/2+h2(-4h3)/12=h5/6,左。右，所
4、以a=1/12时，求积公式有3次代数精度。5.2 Newton-Cotes求积公式1、插值型求积公式给定一组节点 =/ % 0 (t - 2)dt =,c=(2)& = JC产=/o=(-l)d14 b+a 1Sf=(b- * f(a)+-八彳)+: /. oo2oy=L2(x)y=f(x)0 x0XiX2例3：计算1 =J1 X解：由Newton-Leibniz公式得2 1I= -/x = ln2-0.69314718.Ji x由梯形公式,I - -( + -) = 0.752 2 11 1 1 1由Simpson公式，7 -(- + 4 + -) = 0.6944,1111由 Newton
5、 公式，/ 小 + 377T+3竺 75, o4/ 3 3/3 2由 Cotes 公式，7-0.693175.3、NC公式的截断误差和代数精度梯形公式%(7) =1/(、)办-7b 于必)(x - a)(x - b)dxU 2!b(x-a)(x-b)dx (积分中值定理)=-彳。兵(JLSimpson 公式构造三次Hermite插值多项式H(x),满足a + b 八 a + b ，a + b八 a + bH3(-) = /(丁),2(亍)=尸(亍r br bRs(f) = Kf)-Sf = f(x)dx- H3(x)dx4!/(x a) x a + bT2x b)dx4!1 ( b-a5aI
6、(x _ cT) x J aia-Vb22(x-b)dxf (5 = _()：2880-4)(J. & 力)902 )梯形公式的代数精度次代数精度当/(x)二用xdx = -x22b =-(b2-aa 2Tf=彳X/() + /S)=(u + /?) j f (x)dx)/(%)二产， f (x)dx = j：ddx = f ： = g(03 一3),T/ = (/W + /(b)=彳(储 + 廿)打J3此LJ22Simpson公式的代数精度三次代数精度当 /。）=乂心rb 1a f (x)dx = xdx = (b2-a2sf = I-(f(a) + 4/() + /S)_ b a a +
7、b 7、1)0=丁( + 4亍+力)=”).T(x) Hb a、2 、a + b，2 2J (42+4( )+b) 6 Zn -(242 + 4ab + 2b2) L(b3 I 6 3rbx2dx =；(/-/),当 /(X)= X3,bf (x)dx = aSf=?(/(。) + 4/(9)+ f(b)o2b-a z 3“4 + 匕、37 3、=(成+纵+)o2b Cl 7179022-6+(fl3 + 3ab + 3 ab + /) + 分)-(a3 +a2b + ab2 +Z73)=(Z74 -6 24定理：含有n个求积节点的插值型求 积公式至少具有n1次代数精度。定理：对于NC公式，当
8、n为奇数时 至少具有n次代数精度，当n为偶数 时至少有n+1次代数精度。注：实际计算中一般只用低阶Nc公式 （高阶不稳定）3 -例5.用n=2和n=3的NC公式近似计算 e 2dx.解：n=2时，c ;1Gl23r 3 /I e 2dx -(e 2+4e 22) = 0.766575505,n=3 时，2e 2小。区(e 2+3e 6+3 e+e 2)= 0.766916279,3 -( e，仆 0.7668010.)5.3复化求积公式从余项的形式可以看到，积分区间越小，求积公式的截断误差越小。因此，可以把积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低次求积公式（梯形公式或抛物线公式）计算积分
9、,然后相加得到整个区间上的积分近似值，这就是复化求积的基本思想。1、复化梯形公式h - a把区间(a,b) n等分， h =.xi = a + ih,i = 0.-,n.n x，3+7(x)=-(f(xz)+f(x/+1)-f (G也 212pbT f h力3.a /(X)dX = j (/a ) + /(+1)-/()L (-1/(0+2Z/a)+/s)2 Iz=l7 i=0 1，=，(/)+叫.，一1 卜 3i3h H用.=25 f &)=-* f 切= f ”1=0 1/1/1/38时,20, rt (/)0, T”)TI. 1定义：若某求积公式的误差满足当U一,且C/0,称该公式是P阶
10、收敛的。2、复化Simpson公式n等分(a,b) ,h = -Jxi=a + ih,i = 0,n 1f(x)dx=Vf(x)dxJai=0T hh5= 75(2+4/(备旧)+/(%)诋/)i=o b2ZooU和3)+2|+4乡”同一篇=SK)+RsSf)Rs 二一h52880一1i=0(b-a)28808).r 14例6：计算 = J -dx.J o 1 + X解：/(%) = ; 41 + x213kr8 f(0) + 2/(-) +/(1)= 3.138988494,1。Lk=io_54= /(。)+ 2於)+4/(!)+ /Leven 3 0dd X_-3.141592502.运算
11、量基本相同，但Simpson公式精度更高.例7.对于定积分/ = fnxdx,分别用复化梯形 Jo公式和复化Simpson公式计算，要使得截断误差不超过JxlO-5试问划分数n至少取多少？ 2解：r r(，)1 2 汇、兀 / 2 / TC / 2、2 / . ”匕、71卬川=/ ()=-()(sm J), 1212 n0|号,川|, 兀1 a-57 sHi24 (2疗 80.卬篇小丘一端心jr1n Rsf,h /24 /i 型 2- - 5.1, 0.31/. n6.总结: 梯形求积公式和抛物线求积公式是低精度方法，但 对于光滑性较差的函数有时比用高精度方法能得到 更好的效果。复化梯形公式和
12、Simpson公及，精 度较高，计算简单，使用非常广泛。5.4变步长求积法实际应用中，往往事先很难估计合适的划分数n,使结果达到预期精度。因为分点的加密会改善精度，因此可以采用 自动加密分点的方式，并利用事后估计判断 精度是否足够，从而停止计算。n等分区间(a,b) , h = =a + ih,i = 0,n. nij r一Tn=- )+ /3) + 2Z/Q),2 L/=i_lj-1n-1T2n=- /()+/+2/(h)+2/限)z=li=Qi=0/（/f（7）=-与萼修f（?）, 1，7若fwf有/）-氏（/）=!（耳（/）-4（/）.t事后误差估计；（丁2CO-，（/） 时可停止计算.
13、jj例：计算1 =1）分别用梯形公式和Simpson公式计算并估计误差;2）用5的复化梯形公式计算并估计误差;3）用变步长梯形公式计算，使其误差小于10-5-1) 7lq(0) + T(l) H I + F975.s =4()(0) + 41()+ f (1) =4(1 + 4 H) H 乎。.69444.6 2 6 3/2 2 36kshto)JLN。666672K(S)H翡(TR 建八翡亍。)5 亶2008333.2）令h = = L = 02, n 5构造节点玉=0 +九（，=（M2345），有:t5w = - 2 1 + 0 0.2 riF+:c /1111、-+ 2 X （FH+）
14、+1 + 0.2 1 + 0.4 1 + 0.6 1 + 0.81 + 1- + + + + -0.695635, 0.6 0.7 0.8 0.9 23）计算（,心,却勾工6，%，直至-乙-7； 410-5为止, 3 N 其中，丁如二夕 +b a （、 /（玉+1/2）2 i=Q数值微分当函数f(x)以离散列表盛慧舞著篝蠹 f(x)过于复杂病，要求用数值的方法计算节点 处的导数值。由导数的定义：= lim206 一02/1一个自然且简单的方法：取极限的近似值，即差商，向前差商/(%)/(%+%)/(%)由Taylor展式*/(% + 用)=/(x0)+V，(x0)+-/(), x0x0+/z,
15、因此，有误差R(x) = JU)-=_，、& =。(牡 h2!向后差商人)h由Taylor展式 h2 ”“f(x0 - h) = f (x0) hf x0) + f H(), x0-hx0,因此，有误差R(x) = ZU)-=/ = 0(h).n2!中心差商/(%+用)-/(%-%)2h由Taylor展式/(/+)&) +矿&)+ 尸，&)+ 尸，7 xo+Kj) = /(%)矿(%)+丁尸仇)-不尸4), x0-h2126注：由误差表达式，h越小，误差越小，但同时 舍入误差增大，所以，有个最佳步长.事后误差估计：设D(h),D(h/2)分别为步长为 h,h/2的差商公式。贝！|时的步长h/2
16、就是合适的步长.例12： f(x)=exp(x).采用中心差分格式,hV (1.15)R(x)hV (1.15)R(x)0.103.1630-0.00480.053.1590-0.00080.093.1622-0.00400.043.1588-0.00060.083.1613-0.00310.033.1583-0.00010.073.1607-0.00250.023.1575-0.00070.063.1600-0.00180.013.1550-0.0032插值型微分公式：用插值函数p（x）的导数近似原函数HX）的导数f 口） = P;（x） 一般只考虑节点上f 3 口 P”口）导数的近似值误差
17、/f（n+D（5）-R（x） = 丁（/（幻 一-5 + 1）!-dxLRax年而两点公式（n=1）1hh22），R（%） = V/G）2/z3i,后 /,（xi）=-（% + %，R （%）=/（3）GX2n61A2/（%）= （%-4%+3%）, -a） = 7。） 6）.2/z3例13：设/(x) = lnx,取h=0.05,用三点公式 计算f (2)的近似值。解:八2)=八2)。12x0.0512x0.05(3/(2)+4/(2.05)/(2.10)=0.49980286,(-/(1.95)+/(2.05) =0.50010421,/,(2)t4(/(i-90)4/(l95)+3/(2)=O-499779ZXU.UD真值 V (2)=051 _091 _n 7R（T, ）|= 0.21 2 0.22。0.066667. I 12（1 + ）312（1 + 0）3
