1、第6章 向量代数与空间解析几何 一、内容提要 （一）主要定义,1.=ax i+ ay j+ az k 的模为,2. a=ax i+ ay j+ az k , b= bx i+ by j+ bz k,数量积(点积)为：a b=a b cos(a b),向量积(叉积)为：a b, 其模为a b =a b sin(a b)其方向服从右手法则,3.混合积：abc= (a b) c,方向余弦为,（二）主要结论,1.设 a = (ax,ay,az), b = (bx,by,bz), c = (cx,cy,cz), 则,a b= axbx+ayby+azbz,2.平面方程,(1) 一般式 Ax + By +
2、 Cz + D = 0.,(2) 点法式 A(x - x0) +B (y - y0) +C (z - z0) = 0.,(3) 截距式,(4) 三点式,过M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2),(5) 法式方程 cos x+ cos y+ cos z + p = 0,式中cos , cos, cos为平面上点 (x, y, z) 处法向量的方向余弦, p 为原点到平面的距离.,M3(x3, y3, z3), 的平面方程为,3.直线方程,一般式,(2) 对称式,(3) 参数式,(4) 向量式 r=r0+st . 式中,(5) 两点式,4.点到平面的距离,5.重要的二次曲面,
3、(1) 球面 (x x0)2+ (y y0)2+ (z z0)2 =R2,(2) 椭球面,(3) 锥面,(4) 椭圆抛物面,(5) 双曲抛物面,( p, q异号).,(6) 柱面 F ( x, y )=0,(7) 单叶双曲面,(8) 双叶双曲面,6.夹角,(1) 两平面的夹角,设 1: A1x+B1y+C1z+D1=0, 2 : A2x +B2y +C2z+D2=0,(2) 两直线的夹角,(3) 直线与平面的夹角,设,1: A1x+B1y+C1z+D1=0,（三）结论补充,1.非零向量a, b互相垂直的充要条件是a b=0, 互相平行的充要条件是a b=0.,2.非零向量a, b, c共面的充
4、要条件是(a b) c=0.,3.过两平面A1x+B1y+C1z+D1=0与A2x+B2y+C2z+D2=0交线的平面束方程为:,5.Prj(a+b)=Prja+Prjb, (A1x+B1y+C1z+D1)+ (A2x+B2y+C2z+D2) = 0.,4.设M0是直线L外一点, M是直线L上任一点, 且直线的方向向量为s, 则M0到直线L的距离,8. 空间异面直线L1, L2的方向向量为s1, s2, A, B分别为L1, L2上的两点, 则L1与L2之间的距离为:,6. 向量积的运算,(1) a (b c) = (a c) b - (a b) c,(2) (a b) c = (a c) b
5、 - (c b) a,(3) a (b c) + b (c a) +c (a b) = 0,7. 不共线的空间三点A, B, C所决定的平面面积为:,二、归类解析 （一）向量代数,例6-1 设2a+5b与a-b垂直, 2a+3b与a-5b垂直, 求(a b).,例6-2 设A=2a+b, B=ka+b, 其中a =1, b =2, 且a b,例6-3 从点A(2, -1, 7)沿向量=8i+9j-12k的方向取线段 长AB =34, 求点B的坐标.,试问: (1) k为何值时, A B;,(2) k为何值时, 以A, B为邻边的平行四边形的面积为6.,例6-4 已知 p, q 和 r 两两垂直
6、, 且p =1, q =2, r =3,求 s=p+q+r的长度.,例6-5 已知p =2, q =3, (pq)=/3, 求以A=3p-4q 和B=p+2q为两邻边的平行四边形的周长.,例6-6 证明恒等式(a+b) (b+c) (c+a)=2 (a b) c.,例6-7 用向量代数的方法证明三角形的三条高交于 一点.,（二）空间平面与直线,1.空间平面,例6-8 求通过直线,的平面方程., 且平行于直线,例6-9 经过两平面4x-y+3z-1=0和x+5y-z+2=0的交线 作一平面, 使之与平面2x-y+5z=0垂直.,例6-10 在由平面2x+y-3z+2=0和平面5x+5y-4z+3
7、=0 所决定的平面束内, 求两个相互垂直的平面, 其中的一 个经过点(4, -3, 1).,例6-12 在过直线L:,的所有平面中,求一平面, 使原点到的距离最长.,例6-11 一平面通过两直线L1:,s=(1, 0, 1),求此平面方程.,的公垂线L, 且平行于向量,2. 空间直线,例6-13 推导两异面直线间的距离公式, 并用此公式求,两直线之间的距离.,例6-14 设有直线,求平行于L1而分别与L2, L3都相交的直线方程.,例6-15 在平面x+y+z+1=0内, 作直线通过已知直线, 与平面的交点且垂直于已知直线.,例6-16 坐标面在平面3x-y+4z-12=0上截得一个ABC,从
8、z轴上的一个顶点C作对边AB的垂线, 求它的方程.,例6-17 已知入射光线路径为,求该光线经平面x+2y+5z+17=0反射后的反射线方程.,3. 点、线、面的其他问题,例6-18 求点(1, 2, 3)到直线,的距离.,例6-19 试证曲线,是两条相交直线, 并求其对称式方程.,例6-20 一直线过点(2, -1, 3)且与直线,相交, 又平行于平面3x-2y+z+5=0, 求此直线., 且垂直于平面,例6-21 求过直线,x+4y-3z+7=0的平面.,例6-22 已知直线,求其在平面,2x+z+4=0上的投影直线方程.,（三）二次曲面与其他问题,例6-23 一条直线通过坐标原点, 且和
9、连接原点与点(1, 1, 1)的直线成45角. 求此直线上点的坐标满足的关系式.,例6-24 求曲线,平行于z轴的投影柱面.,例6-25 若椭圆抛物面的顶点在原点, z轴是它的轴,且点A(-1, -2, 2)和B(1, 1, 1)在该曲面上, 求此曲面方程.,例6-26 求通过直线,且切于球面,x2+y2+z2=4的平面方程.,例6-27 求以A(0,0,1)为顶点, 以椭圆,为准线的锥面方程.,例6-28 试证在单叶双曲面,上可以配置无数条直线.,(一)、填空题（3分4=12分）,1. 已知a=(2, 1, -1), a/b, a b=3, 则b=,2. 已知A(1, 0, 1), B(2,
10、 3, -1), C(-1, 2, 0), 则ABC的,面积S=,3. 通过曲面, 作一柱面, 使其母线垂直,于xoy平面, 则的方程为,4. 点A(-1, 2, 0)在平面x+2y-z+3=0的投影为,三、同步测试 测试6-1,(二)、选择题（4分3=12分）,1. 非零向量a, b 的数量积a b为 .,(A) a Prjba;,(D) b Prjab;,(B) a Prjba;,(C) a Prjab;,答案：(C),2. 设有直线,则L1与L2的夹角为 .,(A) /3; (B) /2; (C) /6; (D) /4.,答案：(A),答案：(B),3. 旋转曲面x2-y2-z2=1是
11、旋转所得.,(A) xOy平面上双曲线x2-y2=1绕y轴;,(B) xOy平面上双曲线x2-y2=1绕x轴;,(C) xOz平面上双曲线x2-z2=1绕z轴;,(D) xOz平面上双曲线x2-z2=1绕x轴.,(三)、计算题（7分6=42分）,1. 求与向量a=2i-j+2k共线且满足方程a x=-18的向量x.,2. 在空间直角坐标系中, l1, l2, l3分别为坐标面xOy, yOz,zOx上各坐标轴之间夹角的平分线, 求他们之间的夹角.,3. 一平面经过点M0(2,-1,1), 且垂直两平面3x-y-z+1=0,与x-y+2z+1=0的交线, 求此平面方程.,4. 求直线,在xOy面
12、的投影直线方程.,5. 求通过直线,且平行于直线L2:x=y=z,的平面方程.,6. 求与直线,都垂直相交的直线方程.,1: x= 2i+2j-4k,2: = /3,3: 3x+7y+2z=1,5: 3x-y-2z-4=0,(四)、综合题（9分2=18分）,1. a, b为非零向量, 且a =1, (a,b)= /4求极限,2. 求z轴绕直线,旋转所得的锥面方程.,(五)、证明题（8分2=16分）,1. 试证: 三平面x=cy+bz, y=az+cx, z=bx+ay经过同一条,直线的充要条件是: a2+b2+c2+2abc=1.,2. 利用向量代数的方法证明余弦定理.,答案: 1,测试6-2
13、,(一)、填空题（3分4=12分）,1. 已知a =3, b =1,则a b=,2. 已知a=(0, 2, -1), b=(1, 0, 0), 那么a在b上的投影为,Prjba=,3. 经过两点A(1, 3, 4), B(0, 1, 2)的直线方程是,4. 已知平面x+ky-2z=9经过点M(5, -4, -6), 则k=,答案：2,答案： 2,答案： 2,(二)、选择题（4分3=12分）,1. 设a/b, 且a与b方向相反, a b 0, 则必有 .,(A) a+b = a - b ; (B) a+b = a b ; (C) a+b = a - b ; (D) a - b = a - b .
14、,2. 设空间中有三直线,则必有 .,(A) L1/ L2; (B) L1 L2; (C) L2 L3; (D) L2/ L3.,3. 以曲线,为母线, 以z轴为旋转轴的旋转,曲面的方程是 .,(A) 2y2+(x2+z2)=a2;,(B) x2+2(y2+z2)=a2;,(C) 2(x2+y2)+z2=a2;,(D) 2(x2+z2)+y2=a2.,答案：(A),答案：(B),答案：(C),(三)、计算题（7分6=42分）,1. 向量a的方向向量平行于向量c=(7, -4, -4)与向量,b=(-2, -1, 2)之间的角平分线, 且, 求向量a.,2. 设a =1, b =1, (a,b)
15、= /6, 求以向量a+2b和,3a+b为邻边的平行四边形的面积.,3. 求过点M(3, -1, 2),且平行于两直线,的平面方程.,4. 求过直线,和平面x-4y-8z+12=0相交,成/4角的平面方程.,5.求点M0(1,2,3)到直线,的距离.,6. 在平面: x+y+z+1=0内作直线通过已知直线,与已知平面的交点, 且垂直于直线L0,求该直线的方程.,(四)、综合题（9分2=18分）,1. 求直线,在平面: x-y+2z-1=0上的,投影直线L0的方程, 并求L0饶y轴旋转一周所生成的,曲面方程.,2. 试在平面 x+y+z=1与三坐标面所围成的四面体内,求一点, 使它与四面体个侧面
16、的距离相等, 并写出内切,于四面体的球面方程.,(五)、证明题（8分2=16分）,1. 非零向量a, b, c不共线, 试证: a+b+c=0的充要条件,是a b= b c = c a.,2. 设点M为线段AB外一点, 试证: 点C在AB所在直线,的充要条件是存在, , 使+=1, 且 MC=MA+MB,例6-1 设2a+5b与a-b垂直, 2a+3b与a-5b垂直, 求(ab).,解 依题意有(2a+5b) (a-b)=0, (2a+3b) (a-5b)=0.,即 2a 2+3a b-5 b 2=0, 2a 2+7a b-15 b 2=0.,解出 a b= - b2 , a = 2b .,则
17、,例6-2 设A=2a+b, B=ka+b, 其中a =1, b =2, 且a b,试问: (1) k为何值时, A B;,(2) k为何值时, 以A, B为邻边的平行四边形的面积为6.,解 (1) AB=(2a+b)(ka+b),= 2k a2+(2+k)ab+ b2=2k+4,可知当k=-2时, AB=0, 亦即A B.,(2) AB = (2a+b)(ka+b),= 2-k ab =2-k 2sin(/2),= 2k (aa)+2(ab)+k(ba)+bb,= 4 -2k,令4 -2k =6, 得k= -1和k=5.,例6-3 从点A(2, -1, 7)沿向量=8i+9j-12k的方向取
18、,线段长AB =34, 求点B的坐标.,解 设B=B(x, y, z), 则AB=(x-2, y+1, z-7), 依题意有,令, 求得=2. 从而x=18, y=17, z=-17.,故B点的坐标为(18, 17,-17).,例6-4 已知p, q和r两两垂直, 且p =1, q =2, r =3,求 s=p+ q+ r的长度.,解法一,s 2= ss=(p+ q+ r)(p+ q+ r),= pp + qp + rp + pq + qq + rq + qr + rr,= pp+ pq + rr = p 2+ q 2+ r2.,解法二 记 p0, q0, r0分别表示与p, q, r方向一致
19、的,单位向量, 则 s=p0+ 2q0+3 r0 . 故,例6-5 已知p =2, q =3, (p q)=/3, 求以A=3p-4q 和B=p+2q为两邻边的平行四边形的周长.,解 A 2=AA=(3p-4q)(3p-4q),=9 p 2-24pq +16 q 2,B 2=BB=(p+2q)(p+2q),故,设周长为L, 则,=922 -2423cos(/3)+1632 =108.,= p 2+4pq +4q 2,=22 + 432 +423cos (/3) = 52.,例6-6 证明恒等式(a+b) (b+c) (c+a)=2 (a b)c.,证 (a+b) (b+c) (c+a),= (
20、ab + ac + bb + bc) (c+a),= (ab) c + (ab) a + (ac) c + (ac) a + (bc) c + (bc) a,= 2(ab) c,例6-7 用向量代数的方法证明三角形的三条高交于 一点.,证 作ABC, 如图所示.,ADBC, BEAC, AD与BE交于点H, 连接CH并延长交AB于F. 只要证明CFAB即可.,由于ADBC, 从而AH BC, 有AHBC=0,同理, BHAC=0, 于是,CH AB=(CA+AH) (AH+HB),故CHAB, 从而CFAB.,= CA AH+CA HB+AH AH+AH HB,= AH (CA+AH+HB)
21、=AH CB=0,例6-8 求通过直线,的平面方程., 且平行于直线,解 设所求平面的法向量为n, 则,而M0(1,-2,-3)是平面上的一点, 故所求平面方程为,2(x-1)+0(y+2)-(z-3)=0,故 2x-z-5=0.,例6-9 经过两平面4x-y+3z-1=0和x+5y-z+2=0的交线 作一平面, 使之与平面2x-y+5z=0垂直.,解,为交线方程, 分别令z=0和x=0,得到交线上的两点,两交点连线的方向向量为,平面2x-y+5z=0的法向量为 n1=2i-j+5k.,设所求平面的法向量为n, 则,所求平面为, 即7x+14y+5=0.,例6-10 在由平面2x+y-3z+2
22、=0和平面5x+5y-4z+3=0 所决定的平面束内, 求两个相互垂直的平面, 其中的一 个经过点(4, -3, 1).,解 由已知两平面决定的平面束方程为,2x + y - 3z + 2 + (5x + 5y - 4z + 3)=0,经过点(4, -3, 1)的平面应满足条件,24+1(-3) - 31+2+ 54+5(-3)- 41+3=0,即=1. 故过点(4, -3, 1)的所求平面方程为3x+4y-z+1=0.,另一平面也在平面束内, 故,(2+5)x+(1+5)y-(3+4)z+(2+3)=0,应满足条件 (2+5)3+(1+5)4+(-3-4)(-1)=0,. 所求的另一平面方程
23、为x-2y-5z+3=0.,例6-11 一平面通过两直线L1:,求此平面方程.,的公垂线L, 且平行于向量s=(1, 0, 1),解 已知两直线的方向向量为s1=(1, 2, 1), s2=(1, 3, 2),令s3=s1s2, 则s3=(1, -1, 1). 设所求平面的法向量为n,则应有n=s3s, 计算可得n=(1, 2, 1).,下面求公垂线L上的一点. 设此公垂线与L1, L2分别,交于A(t+1, 2t-2, t+5)和B(, 3-3, 2-1), 则AB/s3, 从而,解出t=6, =5. 故点A为(7, 10, 11). 所求平面方程为,(x-7)+2(y-10)+(z-11)
24、=0, 整理得 x+2y+z+8=0.,例6-12 在过直线, 的所有平面中,求一平面, 使原点到的距离最长.,解 平面2x+y+z=0过原点, 也过直线L, 它不是所求的,平面. 故可设过L的平面束方程为,(x+y+z+1)+ (2x+y+z)=0.,即 (1+2)x+(1+)y-(1+)z+1=0.,原点与它的距离的平方,距离最长. 所求平面为x-y-z-3=0.,例6-13 推导两异面直线间的距离公式, 并用此公式求,两直线之间的距离.,解 设直线L1的方向向量为s1, 直线L2的方向向量为s2,M1是直线L1上的点, M2是直线L2上的点, 两直线L1, L2,间的距离就是M1M2在s
25、1s2上投影的大小, 即,s1=(-4, 1, 1), s2=(2, 2, -3), M1M2 =(-5, -1, 6),例6-14 设有直线,求平行于L1而分别与L2, L3都相交的直线方程.,解 设过L2的平面方程为 5x-z-6+ (4y-z+3)=0.,由所求平面平行于L1, 则必有54+41+2+ (-1-)1=0,此平面即为15x-76y+16z-75=0.,同理可求过L3而平行于L1的平面方程为,4x-23y+7z-43=0.,所求直线即为,例6-15 在平面x+y+z+1=0内, 作直线通过已知直线, 与平面的交点且垂直于已知直线.,解 化已知直线为对称式, 有,在直线上取一点
26、(0, -1, 0), 则对称式方程为,参数式为,带入平面x+y+z+1=0, 得t=0.,故直线与平面的交点为(0, -1, 0).,以s=2i+j-k为法向量过点(0, -1, 0)的平面为2x+y-z+1=0.,所求直线方程即为,注 直线与平面的交点还可利用求解线性方程组得到.,例6-16 坐标面在平面3x-y+4z-12=0上截得一个ABC,从z轴上的一个顶点C作对边AB的垂线, 求它的方程.,解 把已知平面写成截距式, 有,从而可知ABC三顶点的坐标为,A(4, 0, 0), B(0, -12, 0), C(0, 0, 3).,设垂线为CD, 则可令CD=CA+AB, 于是,4(1-
27、)(-4) -12 (-12)+(-3)z0=0.,从而,垂线CD的方程为,例6-17 已知入射光线路径为,求该光线经平面x+2y+5z+17=0反射后的反射线方程.,解 将L写成参数式, 有x=1+t, y=1+3t, z=2+t, 带入,平面方程, 得t=-2, 从而求得L与的交点Q(-7,-5,0).,点P(-7,-5,0)是L上的一点, 过P作垂直于平面的直线,化l为参数式, 有x=1+t, y=1+3t, z=2+5t, 带入中, 得t=-1,从而求得l与的交点R(0,-1,-3).,由P(-7,-5,0), R(0,-1,-3), 得P的对称点为P(-1,-3,-8).,过P, Q
28、的直线为,为所求的反射线方程.,例6-18 求点(1, 2, 3)到直线,的距离.,解法一 先求点(1, 2, 3)在该直线上的投影. 为此先以,n=i-3j-2k为法向量, 过点(1, 2, 3)做平面, 有,(x-1)-3(y-2)-2(z-3)=0, 即x-3y-2z+11=0.,已知直线写成参数式, 有x=t, y=4-3t, z=3-2t, 代入平面,方程得,所求距离就是点(1, 2, 3)与点,间的距离.,解法二 记M0(1, 2, 3), M(0, 4, 3), s=(1, -3, -2),则所求距离为,例6-19 试证曲线,并求其对称式方程.,是两条相交直线,证 在原曲线方程中
29、消去z得(x-5)(y+4)=0.,于是得两直线方程分别为,容易求其方向向量分别为s1=(0, 2, -1), s2=(5, 0, 2).,说明L1与L2共面不平行. 因此, 他们是两条相交直线,进一步可写出其对称式方程, 为, 且垂直于平面,例6-20 求过直线,x+4y-3z+7=0的平面.,解 过点(2, -1, 3)做平行于已知平面的平面, 有,3(x-2)-2(y+1)+(z-3)=0, 即3x-2y+z+11=0.,把已知直线的参数式x=2t+1, y=-3t, z=t-2代入此平面得,从而得交点,所求直线为,化简得, 且垂直于平面,例6-21 求过直线,x+4y-3z+7=0的平
30、面.,解 现将已知直线化成一般式, 有,再写出过L的平面束方程为2x-5y+9+ (2y-z+7)=0.,此平面与已知平面垂直, 故2+4(2-5)+3=0.,解出,故所求平面为,即 22x-19y-18z-27=0.,例6-22 已知直线,求其在平面,2x+z+4=0上的投影直线方程.,解 过已知直线L的平面束方程为,x-2y+z-1+ (x+2y-z+3)=0.,即(1+)x+(-2+2)y+(1-)z+(-1+3)=0. (1),若(1)为投影平面, 此平面应与已知平面垂直. 有,2(1+)+(1-)=0, 得= -3. 代入(1)得x+4y-2z+5=0.,投影直线方程为,例6-23
31、一条直线通过坐标原点, 且和连接原点与,点(1, 1, 1)的直线成45角. 求此直线上点的坐标满足,的关系式.,解 设此直线上的点为A(x, y, z), 由于AOM= 45,故OA=xi+yj+zk, OM=i+j+k.,两边平方, 整理得x2+y2+z2 - 4yz - 4zx - 4xy = 0.,注 这实际上是半顶角为45, 以OM为对称轴的正圆锥面.,例6-24 求曲线,平行于z轴的投影柱面.,解 将式(2)代入式(1), 有,整理得4x2-9y2=36, 即为所求.,例6-25 若椭圆抛物面的顶点在原点, z轴是它的轴,且点A(-1, -2, 2)和B(1, 1, 1)在该曲面上
32、, 求此曲面方程.,解 设所求的曲面方程为,待定参数.,其中a, b为,将点A, B坐标代入曲面方程得,所求曲面方程为,例6-26 求通过直线,且切于球面,x2+y2+z2=4的平面方程.,解 过已知直线的平面束方程为,(4+2)x+(2+)y+3z-6=0.,此平面切于已知球面. 故球心至此平面的距离为,解得=2. 所求平面为4+2(-2)x+(2-2)y+3z-6=0,即z=2.,例6-27 求以A(0,0,1)为顶点, 以椭圆,为准线的锥面方程.,解 设M0(x0, y0, z0)为椭圆上的一点, 则连接A, M0,两点的直线方程为,M(x, y, z)为直线,上任一点, 如图所示.,由于M0(x0, y0, z0)在椭圆上,故适合其方程,将,代入上面的方程, 得,故所求锥面方程为,例6-28 试证在单叶双曲面,上可以配置无数条直线.,证 把原曲面方程改写成,它可以看作两直线,两边相乘得到的. 而后者是直线方程, 随着k的变化,而成为不同的直线, 这些直线在原曲面上.,
