1、,1 向量的概念及向量的表示,一、向量的基本概念,1.向量:既有大小,又有方向的量,称为向量. (或矢量),2.向量的几何表示法: 用一条有方向的线段来表示向量.,以线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.,(一) 向量的概念,3.自由向量,自由向量：只有大小、方向,而无特定起点的向量. 具有在空间中可以任意平移的性质.,大小相等且方向相同,特别: 模为1的向量称为单位向量.,模为0的向量称为零向量.它的方向可以看作是任意的.,1、向量加法,(1) 平行四边形法则,设有 (若起点不重合, 可平移至重合). 作以 为邻边的平行四边形, 对角线向量, 称为 的和, 记作,(2)
2、三角形法则,将 之一平行移动,使 的起点与 的终点重合, 则由 的起点到 的终点所引的向量为,(二) 向量的加减法,2.向量加法的运算规律.,(1)交换律:,(2)结合律:,例如:,3.向量减法.,(1)负向量:与 模相同而方向相反的向量, 称为 的负向量.记作,(2)向量减法.,规定:,平行四边形法则.,将 之一平移, 使起点重合, 作以 为邻边的平行四边形, 对角线向量, 为,三角形法则.,将 之一平移, 使起点重合, 由 的终点向 的终点作一向量, 即为,1. 定义,实数与向量 的 为一个向量.,其中:,当 0时,当 0时,当 = 0时,2. 数与向量的乘积的运算规律:,(1) 结合律:
3、,(2) 分配律:,(三) 数与向量的乘法,结论: 设 表示与非零向量 同向的单位向量.,则,或,(方向相同或相反),例1:在平行四边形ABCD中, 设AB= ,AD =,试用 表示向量MA,MB,MC和MD.,其中, M是平行四边形对角线的交点.,1. 点在轴上投影,设有空间一点A及轴u, 过A作u轴的垂直平面,平面与u轴的交点A叫做点A在轴u上的投影.,A,A,u,(四) 向量在轴上的投影,2. 向量在轴上的投影.,定义,如果向量e为与轴u的正方向的单位向量，,则称 x 为向量 AB 在轴u上的投影，记作,显然,|,|,当 与u轴同向时，,当 与u轴反向时，,|,|,3. 两向量的夹角,规
4、定：,正向间位于0到之间的那个夹角为 的夹角,记为 或,(1) 若 同向，则,(3) 若 不平行，则,4. 向量的投影性质.,定理3: 两个向量的和在轴u上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和。,推论:,即,即,定理4: 实数与向量 的乘积在轴u上的投影，等于乘以向量 在该轴上的投影。,二. 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示,1. 空间直角坐标系的建立,o,z,x,y,x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系,又称笛卡尔(Descarstes)坐标系，点O叫做坐标原点.,(一) 空间直角坐标系,2. 坐标面.,由三条坐标轴的任意两条确定的平面, 称为坐标面, 分别叫x
5、 y面. y z面、z x面, 它们将空间分成八个卦限.,1. 点在空间直角坐标系中的坐标表示.,R,Q,P,记: 点M为M (x, y, z),(二) 空间向量的表示,(1) 若点M在yz面上, 则 x = 0; 在zx面上, 则 y = 0; 在xy面上, 则 z = 0.,(2) 若点M在 x 轴上, 则 y = z = 0,在 y 轴上, 则 x = z = 0,在 z 轴上, 则 x = y = 0,特别:,2.空间向量的坐标表示,设点 M (x, y,z),以 i, j, k分别表示沿x, y, z轴正向的单位向量, 称为基本单位向量.,由于：,从而：,(2). 起点不在原点O的任
6、一向量 a = M1M2,设点 M1 (x1, y1 , z1), M2 (x2, y2 , z2),= (x2 i+ y2 j + z2 k) (x1 i + y1 j + z1 k),= (x2 x1) i + (y2 y1) j + (z2 z1) k,即 a = (x2 x1 , y2 y1 , z2 z1) 为向量a的坐标表示式,记 ax = x2 x1 , ay = y2 y1 , az = z2 z1,分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影, 称为a的坐标.,a = M1M2 = (x2 x1 , y2 y1 , z2 z1),两点间距离公式：,由此得,(2),(3),(3). 运
7、算性质,设 a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz), 且为常数,a b = (ax bx , ay by , az bz ), a = (ax , ay , az),证明: a + b = (ax i + ay j+ az k) +(bxi + by j+ bz k),= (ax i + bxi ) +(ay j+ by j) + (az k + bz k),= (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k, a + b = (ax + bx , ay + by , az + bz ),(4) 两向量平行的充要条件.,设非零向量
8、 a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz),即ax =bx, ay =by, az =bz,于是,例如：(4, 0, 6) / (2, 0, 3),1. 方向角: 非零向量a 与x, y, z 轴正向夹角, , 称为a 的方向角.,2. 方向余弦: 方向角的余弦cos, cos, cos 称为方向余弦.,3. 向量的模与方向余弦的坐标表达式,设a =(ax, ay, az,),(三) 向量的模与方向余弦的坐标表示式,又：,(4),(5),由(5)式可得,cos2 +cos2 +cos2 = 1,(6),设ao是与a同向的单位向量,ao,= (cos , cos
9、, cos ),(7),例2. 已知两点M1(2, 2, )和M2(1, 3, 0). 计算向量M1 M2的模, 方向余弦和方向角.,例3: 在z轴上求与两点 A(4, 1, 7) 和B(3, 5, 2)等距离的点.,解: 设该点为M(0, 0, z),由题设 |MA| = |MB|.,即:,解得:,所求点为 M (0, 0, ),例4 证明以M1(4, 3, 1), M2(7, 1, 2), M3(5, 2, 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.,解:,由 |M2 M3 | = |M3 M1 |, 所以 M1 M2 M3 是等腰三角形.,2 向量的数量积.向量积及混合积,一、 向量的数量
10、积,例如: 设力F 作用于某物体上, 物体有一段位移S , 求功的表示式.,解: 由物理知, 与位移平行的分力作功, 与位移垂直的分力不作功. 于是,W=|F |cos |S | = |F | |S | cos,设有两个向量 a、b, 它们的夹角为,即: a b = |a| |b| cos,1. 定义1:,注1: 当 a 0时, | b | cos = Prjab,当 b 0时, | a |cos = Prjba,于是 a b = |a| Prjab = |b| Prjba,注2: a a = | a |2,例如: i i = j j = k k = 1,a b = |a| |b| cos,(
11、1) 交换律 a b = b a,(2) 分配律 (a + b) c = a c + b c,(3) 数量积满足如下结合律:( a) b = a ( b) = (a b), 为实数,2. 数量积的性质,(4) a a 0 ，,a = 0,且a a = 0,a b = |a| |b| cos,a b = |a| Prjab = |b| Prjba,证: 必要性: 设a b,充分性: 设a b = | a | |b |cos =0;,由a 0, b 0,得: cos =0 ,即 a b,例如: i、j、k 互相垂直, 所以,i j = j k = i k = 0,(5) 两个非零向量a , b 垂
12、直 a b = 0,如图, 利用数量积证明三角形的余弦定理,| c |2 = | a |2 + | b |2 2 | a | | b |cos,证:,| c |2 = | a b |2 = (a b) (a b),= a a + b b 2 a b,= | a |2 + | b |2 2 | a | | b |cos,| c |2 = | a |2 + | b |2 2 | a | | b |cos,故:,a,b,c,例1.,由于c = a b , 于是,3. 数量积的坐标表示式,设 a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz), 则,a b = (ax i + a
13、y j + az k ) (bx i + by j + bz k ),= ax i (bx i + by j + bz k ) + ay j (bx i + by j + bz k ) + az k (bx i + by j + bz k ),= ax bx i i + ax by i j + ax bz i k + ay bx j i +ay by j j + ay bz j k + az bx k i + az by k j + azbz k k,= ax bx + ay by + az bz,得公式:,a b = ax bx + ay by + az bz,(1),推论: 两个非零向量,
14、a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz)垂直,ax bx + ay by + az bz = 0,4. 数量积在几何中的应用,设 a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz),(1) 求 a 在 b 上的投影.,Prjba = | a | ,由 |a | |b | = a b , 得,(2),已知:,(2) 求两向量 a, b 的夹角,由 | a | | b |cos = a b, 知,(3),已知三点 M (1, 1, 1), A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2), 求AMB.,得:,所以,例2,解:,由力学规定: 力F 对支
15、点O的力矩是一个向量M .,其中:,设O为一根杠杆L的支点, 有一个力F 作用于这杠杆上P点处, F 与OP的夹角为 , 考虑 F 对支点 O 的力矩.,例如:,二、两向量的向量积,(1) | c | = | a | | b | sin,(2) c 与a、b所在的平面垂直, (即 c a且c b).,c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定.,则将向量c 称为 a 与 b 的向量积, 记作: a b.,即: c = a b,注: 向量积的模的几何意义.,1. 定义1:,向量积的性质,(b + c) a = b a + c a,( a) b = a ( b) = (a b ), 为实数,|
16、c | = | a | | b | sin,必要性: 设a 、b 平行, 则 = 0或 = . 于是,| a b | = | a | | b |sin = 0,所以 a b = 0,充分性: 设 a b = 0,则 | a b | = | a | | b |sin = 0,由 | a | 0, | b | 0, 得, = 0或 = . 所以 a 与 b 平行,证:,例如:,i i = j j = k k = 0,i j = k,j i = k k j = i i k = j,k i = j,j k = i,2、向量积的坐标表示式,设 a =(ax, ay , az) b = (bx , by
17、, bz) 则,a b = (ax i + ay j + az k ) (bx i + by j + bz k ),= ax i (bx i + by j + bz k ) + ay j (bx i + by j + bz k ) + az k (bx i + by j + bz k ),= ax bx (i i) + ax by ( i j ) + ax bz( i k ) + ay bx (j i) + ay by ( j j ) + ay bz (j k ) + az bx (k i) + az by ( k j ) + azbz( k k ),= ax by k + ax bz( j
18、) + ay bx(k) + ay bz i + az bx j + az by( i ),= ( ay bz az by) i+( az bx ax bz) j+ ( ax by ay bx) k,得公式:,a b = ( aybz azby) i+( azbx axbz) j+ ( axby ay bx) k,求垂直于向量 a = (2, 2, 1)和b = (4, 5, 3)的向量c.,a b 同时垂直于a、b,= 6i + 4j + 10k 8k 6j 5i,= i 2j + 2k,取 c = a b = (1, 2 , 2).,显然, 对于任意 0R, c = (,2, 2) 也与a
19、、b垂直.,例3:,解:,而,已知ABC的顶点分别是A(1, 2, 3), B(3, 4, 5), C(2, 4, 7), 求ABC的面积.,由向量积的定义.,所以,= 4i 6j + 2k,于是,例4:,解:,三、两向量的混和积,1.定义2,称 与 的向量积 再与向量 的数量积为向量, , ,的混合积，记作 ,设有三个向量, , ,则有,2.混合积的坐标表示式,混合积性质：,(1), = = ,= = = ,事实上， 若 , , 在同一个平面上， 则 垂直于它们所在的平面， 故 垂直于 , 即,( ) = 0,(2) , , 共面 = 0,混合积( ) 的绝对值等于以 , , 为棱的平行六面体的体积 V 的数值。,平行六面体,所以，,= |( ) |,3、混合积 ( ) 的几何意义,h,V = S h =,底面积,高 h 为 在 上的投影的绝对值,a b = |a| Prjab,例5:,已知空间内不在一个平面上的四点 A (x 1 , y 1 , z 1), B ( x 2 , y 2 , z 2), C (x 3 , y 3 , z 3), D (x 4 , y 4 , z 4) 求四面体 ABCD 的体积。,解：,即,所以，,V =,其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致。,
