1、第八章 空间解析几何与向量代数 习题课,一、内容小结,二、实例分析,一、主要内容,（一）向量代数,（二）空间解析几何,向量的 线性运算,向量的 表示法,向量积,数量积,应用,向量的积,向量概念,（一）向量代数,1、向量的概念,定义:既有大小又有方向的量称为向量.,自由向量、,相等向量、,负向量、,向径.,重要概念:,零向量、,向量的模、,单位向量、,平行向量、,(1) 加法：,2、向量的线性运算,(2) 减法：,(3) 向量与数的乘法：,向量的分解式：,在三个坐标轴上的分向量：,向量的坐标表示式：,向量的坐标：,3、向量的表示法,向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式,向量模长的坐标表示式
2、,向量方向余弦的坐标表示式,4、数量积,(点积、内积),数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表示式,5、向量积,(叉积、外积),向量积的坐标表达式,/,直 线,曲面,曲线,平 面,参数方程,旋转曲面,柱 面,二次曲面,一般方程,参数方程,一般方程,对称式方程,点法式方程,一般方程,空间直角坐标系,（二）空间解析几何,横轴,纵轴,竖轴,定点,1、空间直角坐标系,空间的点,有序数组,空间直角坐标系,共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.,它们距离为,两点间距离公式:,曲面方程的定义：,2、曲面,研究空间曲面的两个基本问题：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.,（1）已知曲面作为
3、点的轨迹时，求曲面方程.,1 旋转曲面,定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之.,这条定直线叫旋转曲面的轴.,方程特点:,2 柱面,定义：,平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,从柱面方程看柱面的特征：,(1) 平面,3 二次曲面,定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.,（1）椭球面,（2）椭圆抛物面,（3）马鞍面,（4）单叶双曲面,（5）圆锥面,3、空间曲线,1 空间曲线的一般方程,2 空间曲线的参数方程,如图空间曲线,一般方程为,参数方程为,3 空间曲线在坐标面上的投影,消去变量z后得：,设空间曲线的
4、一般方程：,曲线在 面上的投影曲线满足,面上的投影曲线,面上的投影曲线,4 空间立体或曲面在坐标面上的投影,空间立体,曲面,4、平面,1 平面的点法式方程,2 平面的一般方程,3 平面的截距式方程,4 平面的夹角,5 两平面位置特征：,/,5、空间直线,1 空间直线的一般方程,3 空间直线的参数方程,2 空间直线的对称式方程,直线,直线,两直线的夹角公式,4 两直线的夹角,5 两直线的位置关系：,/,6 直线与平面的夹角,直线与平面的夹角公式,7 直线与平面的位置关系,/,例1 求下列各平面方程 （1）平行于x轴且经过两点(4,0,-2),(5,1,7)；（2）通过点M(1,-1,1)且垂直于
5、两平面 （3）在x轴上的截距为2，且过点(0,-1,0)和(2,1,3),例2 分别求适合下列条件的直线方程： （1）通过点(1,0,-3)且与平面 垂直；,（2）通过点(1,0, -2)且与平面 平行，又与直线 垂直；,（3）通过点(0,-1,1)且与直线 平行,1.与各坐标轴正向夹角都相等的向量有多少个？ 方向角是什么？,2.设 都是单位向量，且 能得到 吗？,3.如何求同时垂直 的单位向量？,4.三个坐标面的法向量、三个坐标轴的方向向量是什么？,6.空间中下列方程表示什么？,5.适合下列条件的平面方程有什么特征？（1）过原点; （2）平行于坐标轴;（3）过坐标轴; （4）平行于坐标面.,
6、三 思考与课内练习,1.与各坐标轴正向夹角都相等的向量有多少个？ 方向角是什么？,2.设 都是单位向量，且 能得到 吗？,两个方向，无穷多个向量；,不能得到,3.如何求同时垂直 的单位向量？,4.三个坐标面的法向量、三个坐标轴的方向向 量是什么？,6.空间中下列方程表示什么？,5.适合下列条件的平面方程有什么特征？（1）过原点; （2）平行于坐标轴;（3）过坐标轴; （4）平行于坐标面.,原点,母线平行于z轴的圆柱面,开口向上的椭圆抛物面,圆锥面,例3,解:,由题设条件得:,解得,(待定系数法),例4 已知向量 的模为8，且已知它与x轴和 y轴正向的夹角均为 ，求 的坐标表达式,解 设与 同向的单位向量为,其中,又,于是,例5 已知 为单位向量,且满足 计算,解 由,而,故,于是有,即,类似可得,三式相加，得,即,得,例6 下列方程或方程组表示什么图形？,旋转抛物面,中心在（2,0,0)的椭球面,平行的二条直线,球面与上半圆锥的交线,例7 求单叶双曲面 与平面,解 消去变量z，得所求投影柱面方程为,所求交线的投影方程为,方程和在xoy面上的投影方程.,的交线关于xoy面的投影柱面,例8 求曲面 与,所包围的立体在三个坐标面上的投影.,解 消去变量z，得xoy面上的投影为,在xoz面上的投影为,z,在yoz面上的投影为,
