1、专题四 三角函数与解三角形第十讲 三角函数的图象与性质答案部分1B【解析】易知 222233()cosincos1(cos1)fxxxx，则 的最小正周期为 ，当 时， 取得最大35cos2kZ(f值，最大值为 42C【解析】解法一 ，当 时，()cosin2cos()4fxx0,xa，所以结合题意可知 ，即 ，故所求 的最大值,4xaa 34是 ，故选 C3解法二 ，由题设得 ，()sinco2sin()4fxxx()0fx即 在区间 上恒成立，当 时， ，sin04 ,a0,a,4a所以 ，即 ，故所求 的最大值是 ，故选 Ca 34 33C【解析】 ，2222sintasico1co()
2、 sincosin21xxxf xx所以 的最小正周期 故选 C()fxT4A【解析】把函数 的图象向右平移 个单位长度得函数sin(2)5yx10的图象，()si()i10gx由 ( )，得 ( )，22kxk Z44kxk Z令 ，得 ，4 即函数 的一个单调递增区间为 ，故选 A()singx,5C【解析】由题意知，函数 为奇函数，故排除 B；当 时， ，排sin21coxyx0y除 D；当 时， ，因为 ，所以 ， ，故1xsin2coy2sin20cos，排除 A故选 C 0y6C【解析】由 ，选 C 2T7A【解析】 ，cos()cs()sin()63xxx则 ,16)ini535
3、f函数的最大值为 8A【解析】由题意 取最大值， 与 相交，设 周期为 ，8x18x()fxT所以 或 ，所以 或 ，又 的最小正周期大1534T3T于 ，所以 ，所以 ，排除 C、D；22由 ，即 ， ，()8f5sin()381024k即 ，令 ， 选 A12k0k29C【解析】 ， ，选 Csi()6yxT10D【解析】函数 的周期为 ，所以将函数 的图像n2sin()6yx向右平移 个单位长度后，得到函数图像对应的解析式为4= ，故选 D2sin()6yx2si()3x11A【解析】由题意 ，因为 ，所以 ， ，A(62TT2由 时， 可得 ,3xy )kZ所以 ，结合选项可得函数解析
4、式为 2()6kZsin(2)6yx故选 A12A【解析】函数 的图象向左平移 3个单位长度可得 的图象sinyx si()313D【解析】因为 2为偶函数，所以它的图象关于 y轴对称，排除 A、C 选项；当 2x，即 x时， 1maxy，排除 B 选项，故选 D.14B【解析】 ，只需将函数 的图像向右平移 个单位sin4()12yxsin4yx1215A【解析】采用验证法，由 ，可知该函数的最小正周期为cos()2yx且为奇函数，故选 A16D【解析】由图象可知 ， ， ，24m345mZ所以 ，,2,Z所以函数 的单调递减区间为，()cos)cos()fxx，即 ， 24kk1324kk
5、Z17A【解析】 的最小正周期为 ，且 是经过函数 最()sin()fxAx=+2x=()fx小值点的一条对称轴， 是经过函数 最大值的一条对称轴236-=()f ， ， ，12|6- 51|()|0|6- ，|()|0|6-且 ， ， ，23-2323- ，即 ()(ff-0fff18A【解析】 ，最小正周期为 ； ，最小正周期为 ；|cosxy|cos|xy，最小正周期为 ； ，最小正周期为 最小正)62cs(xy)42tan(2周期为 的函数为 19A【解析】因为 ，sin3cocs(3)cos3()1yxxx所以将函数 的图象向右平移 个单位后，可得到212的图象，故选 Acos()4
6、yx20C【解析】 ，将函数 的图象向右平移 个单位得sin()4fx()fx，由该函数为偶函数可知 ，()2i(2fx2,42kZ即 ，所以 的最小正值是为 38k3821D【解析】函数 的图象向左平移 个单位，得到函数sinyx2()sin)2fx的图象， 为偶函数，排除 A； 的周期为 ，排除cosx()cof ()cofxB；因为 ，所以 不关于直线 对称，排除 C；故s02()cosfx2选 D22B【解析】 将 的图象向有右移 个单位长度后得到3sin()y2，即 的图象，3sin2()yx3sin()yx令 ， ，2kk Z化简可得 ， ，7,12x即函数 的单调递增区间为 ，
7、，3sin()y7,12kkZ令 可得 在区间 上单调递增，故选 B0k2i3x,23C【解析】 5 1sin()sin(+)sincos225，选 C.24B【解析】将函数 的图像沿 x 轴向左平移 8个单位，得到函数iyxsin()sn()84yx，因为此时函数为偶函数，所以 ,42kZ，即 ,kZ，所以选 B.25B【解析】把 )3,0(P代入 )2)(2sin)( xf ，解得 3，所以 )2sin()xg，把 )3,0(P代入得， k或 6，观察选项，故选 B26A【解析】由题设知， = ， =1， = （ ） ，5442kZ = （ ） ， ， = ，故选 A.4kZ027C【解析
8、】 向左平移cos2yx11cos2()cos(1)yxx28A【解析】 ，故cs()y选 A29A【解析】 7309, ,sin()1,36263xxxmaxin2,.y故选 8.30D【解析】函数向右平移 得到函数 ，4 )4sin()4(sin)4() xxxfg因为此时函数过点 ，所以 ，即 所)0,3(03sin,23k以 ,所以 的最小值为 2，选 D.Zk,231A【解析】 不合题意 排除 D59(),4x合题意 排除 B，C 31(),另： ，223(),242x得： 15,432B【解析】由于 ()sinfx的图象经过坐标原点，根据已知并结合函数图象知，为函数 的四分之一周期
9、，故 ，解得 32433233D【解析】 = ，()si)cos()fxxsin()cos2xx所以 在 单调递减，对称轴为 ，即 2coy0,2k()kZ34C【解析】因为当 时， 恒成立，xR()|)|6fxf所以 ，可得 或 ， ，()sin()163f2k526k因为 sin()sin)sin2f故 ，所以 ，所以 ，si0526k(x由 （ ） ，kx kZ得 （ ） ，63 故 的单调递增区间是 （ ） ()fx2,63kk35B【解析】半周期为 ，即最小正周期为 ，84所以 由题意可知，图象过定点 ，23(,0)8所以 ，即 30tan()8A4kZ所以 ，又 ，所以 ，4kZ|
10、24又图象过定点 ，所以 综上可知 ，(,1)A()tan2)fx故有 tan2)tan3f36 【解析】由函数 的图象关于直线 对称，6si()2yx3x得 ，因为 ，所以 ，si()137636则 ， 2637 【解析】因为 ，由辅助角公式 5xR()5sin()5fx38 3【解析】因为 ，所以函数sin3cos2i3y的图象可由函数 的图象至少向右平移 个单位长度得sincoyxyx3到39 、 87,3k ( Z)【解析】 2)4sin(2)(xxf ，故最小正周期为 ，单调递减区间为 87,3k ( Z)40 【解析】= ，所以其最23sincos2yx11sin2cosin(2)
11、6yxx小正周期为 41 【解析】由题意交点为 ，所以 ，又 ，61(,)321sin()320得 42 【解析】把函数 图象向左平移 个单位长度得到 的图2sinyx6sin()yx象，再把函数 图象上每一点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，i()6得到函数 的图象，所1()sin)26fx以 6f 2isi443 【解析】38()in()sin(2)4fxxx ， ，2,4kZ,8kZ当 时 1kmin3844 25【解析】 ()fx= si2cosx= 52(sincos)xx令 cos= ， 5in，则()fx= 5icosics)x= in()，当 = 2,kz，即 = 2,
12、kz时， ()fx取最大值，此时 = ,， cos= (2= sin= 2545 56【解析】函数 (2)yx，向右平移 个单位，得到 i()3yx，即 sin(2)3yx向左平移 个单位得到函数 cos()yx，向左平移 2个单位，得 si()sin()3yxxsin(2)cs(2)33xx5co26，即 46 a【解析】 ()3sicosi()fxxx得 |(|fx故 a47 【解析】 =2T48 【解析】由图可知： ， ，所以 ， ，622A74134TT2又函数图象经过点 ，所以 ，则 ，故(,0)3，所以 ()2sin()3fxx6(0)2sin3f49【解析】 （其中 ） ，2si
13、coi()fabxabxtanb因此对一切 ， 恒成立，所以 ，xR()|)|6f sn13可得 ，故 6kZ2(i()6xx而 ，所以正确；211()sin)0fab， ，274717| |sin|303ab217()|sin|530fab所以 ，故错；明显正确；错误：由函数|()|(|105ff和 的图象（图略）可知，2sin)6xabx2(si()6fxx不存在经过点 的直线与函数 的图象不相交，故错误(,)50 【解析】线段 的长即为 的值，且其中的 满足 ，解得312Psixxcos5tanx= 线段 的长为 sinx351 【解析】由题意知， ，因为 ，所以 ，,220,2x,6x
14、由三角函数图象知： 的最小值为 ，最大值为 ，所以()fx3sin()=6sin=32的取值范围是 ()fx3,252 【解析】(1) 1cos31()in2sicos2xf xx，sin26x所以 的最小正周期为 ()f 2T(2)由(1)知 1sin()6x因为 ，所以 ,3m5,6xm要使得 在 上的最大值为 ，即 在 上的最大值为()fx32sin()x,3m1所以 ，即 26m 3所以 的最小值为 53 【解析】(1)若 为偶函数，则对任意 ，均有 ；()fxRx()fx即 ，22sincosin()cos()aa化简得方程 对任意 成立，故 ；i0xx0a(2) ，所以 ，2()s
15、()s()1344f 3故 3incoxx则方程 ，即 ，()12f 23sincosx所以 ，化简即为 ，sicxin()26x即 ，解得 或 ，in(2)6124xk54k,Z若求该方程在 上有解，则 ， ，,3,192,即 或 1； 或 1，0kk对应的 的值分别为： 、 、 、 x2452454 【解析】 （） 3()cosinsifxx1in2i(2)3所以 的最小正周期 ()fxT（）证明：由（）知 ()sin2)3fx因为 ，4x 所以 52636 当 ，即 时， 取得最小值 x4x()fx12所以当 时， 得证,1()2f55 【解析】 （）由 ， ，23sin21cos()f
16、2231()()2得 2()3f（）由 与 得22cossinxxi2sincox() ()6f 所以 的最小正周期是x由正弦函数的性质得，3226kxk Z解得 ,63kx Z所以 的单调递增区间是 ( )()fxkk56 【解析】 （1）因为 ， ， ，(cos,in)xa3,bab所以 3csix若 ，则 ，与 矛盾，故 o0022sico1xcos0x于是 tan3x又 ，所以 0,56（2） .(cos,in)(3,)cos3in2cos() )6fxxxxab因为 ，所以 ，0,7,6从而 .31cos()2x于是，当 ，即 时， 取到最大值 3；60()fx当 ，即 时， 取到最
17、小值 .6x56x()fx2357 【解析】 （ ）由223sinsiincosf x23sin1coxxcosisi23xin1,由 得 22,3kxkZ5,1212kxkZ所以， 的单调递增区间是f 5,（或 ）5(,)12kkZ（）由（ ）知fx2sin31,x把 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变） ，yf 2得到 的图象，2sin31x再把得到的图象向左平移 个单位，得到 的图象，y2sin31x即 2sin31.gx所以 i.658 【解析】 （I）因为 2sincos2fxxincos2x，i4所以 的最小正周期 fx2依题意， ，解得 1（II）由（I）知 2s
18、in4fxx函数 的单调递增区间为 （ ） siny,2kk由 ，224kx得 388k所以 的单调递增区间为 （ ） fx3,8kk59 【解析】 （）根据表中已知数据，解得 . 数据补全如下表：5,26Ax0 32123712561sin()Ax0 5 0 0且函数表达式为 5i6f（）由（）知 ，得 ()sin(2)fx ()5sin(2)6gx因为 的对称中心为 ， siny,0kZ令 ，解得 ， 26xk21xk由于函数 的图象关于点 成中心对称，令 ，()yg5(,0)5212k解得 ， . 由 可知，当 时， 取得最小值 23kZk660 【解析】解法一：（） 5()2cos(i
19、ncos)44fcos(incs4（）因为 .2)2csfxxics21xsin(2)14x所以 .T由 ，22,4kxkZ得 ，3,88所以 的单调递增区间为 .()fx3,8kk解法二：因为 2()2sincosfxincos21xsin(2)14x（） 51444（） 2T由 ，,2kxkZ得 ，3,88所以 的单调递增区间为 .()fx3,8kk61 【解析】 （） ()10cossin21f() 203cosin3.31032故实验室上午 8 时的温度为 10 （）因为 ， 1()(cosin)=02sin()213ftttt又 ，所以 ， 024733当 时， ；当 时， tsin
20、()1t4tsin()123t于是 在 上取得最大值 12，取得最小值 8()ft0,24故实验室这一天最高温度为 12 ，最低温度为 8 ，最大温差为 4 . 62 【解析】解法一：()因为 所以 .,2sin,2cos所以 21()()f()因为 21cos2sincossinxfxx,12sin2cosin()4xx所以 .由 得T,kkZ.3,88kxZ所以 的单调递增区间为 .()f 3,8kk解法二： 211cos2sincossinxxx1i2i()4x（）因为 所以0,2sin,从而 231()i()si4f （） T由 得 .22,4kxkZ3,88kxkZ所以 的单调递增区
21、间为 .()f,63 【解析】：（I） 的最小正周期为 ， ， .fx076x03y（II）因为 ，所以 ，于是,2152,当 ，即 时， 取得最大值 0；206xxfx当 ，即 时， 取得最小值 .3364 【解析】 （）由已知，有 213()cosincoss24fxxx=+-+213sincos24x=-+()i14x-.13sin2cos4xx=-1in(2)3p=-所以， 的最小正周期 .()fT（）因为 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数.x,412- ,124p-， ， .1()4fp-=()fp=()4fp所以，函数 在闭区间 上的最大值为 ，最小值为 .x,- -65 【
22、解析】：（I）因 的图象上相邻两个最高点的距离为 ，所以 的最小正周()f ()fx期 ，从而 .T2T又因 的图象关于直线 对称，所以()fx3x因 得2,01,2,32k 20k所以 .6（II）由（I）得 ，所以 .33sin264f1sin64由 得2630,6所以2215cos1sin.4因此 3ii6sincossin6= 13513542866 【解析】：(1) 2()sinicosfxxx 31cos1i22 31cos2inx .in因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ，4又 0，所以 因此 12=4(2)由(1)知 ()sin3fxx当 x 时， .3258所以
23、，sin13x 因此1f( x) 2故 f(x)在区间 上的最大值和最小值分别为 ， 13,3267 【解析】(1)f (x) sin 2x 3sin 2xcos 2xcoss in44x2sin 2x2cos 2x in所以，f(x) 的最小正周期 T (2)因为 f(x)在区间 上是增函数，在区间 上是减函数又 f(0)2，30,83,82， ，故函数 f(x)在区间 上的最大值为 ，最小328f2f0,值为268 【解析】(1) 41)2cos32(sin1)3sinco(sc)( xxxxxf ).421)3416sin21 ff 所 以（2）由（1）知，11()sin(2)sin(2
24、)0(2)(,2)6466fxxxk.17.,7 ZZkk所 以 不 等 式 的 解 集 是 ：69 【解析】 221()cos()sincosin2(cos2)4fxxxxx1in（1）函数 的最小正周期 ()fx2T（2）当 时，0,21()()singxfx当 时， x0,211)i2()sin2gx当 时， ,)()x()sxx得：函数 在 上的解析式为 ()g,01in2(0)()sgx70 【解析】 （）由题设图像知，周期 152(),2TT因为点 5(,0)12在函数图像上，所以 5sin0sin()06A即 又 54,=636从 而 ， 即 又点 ,（ ） 在函数图像上，所以 si12，故函数 的解析式为 ()2n().fx()fx（） 2sinsi16126gxi()3x2sinsi2cos)xxi3coxin(,3由 22kk得 5,.1212xkz()gx的单调递增区间是 5,.12kkz71 【解析】 （）函数 fx的最大值是 3， 1A，即 2函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 2，最小正周期 T， 2故函数 fx的解析式为 ()sin()6fx（） ()2sin16，即 1， 0， 3， ，故 3
