1、专题四 三角函数与解三角形第十讲 三角函数的图象与性质答案部分1A【解析】解法一 ，且函数 在区间()cosin2cos()4fxxcosyx上单调递减，则由 ，得 0,04 3 x因为 在 上是减函数，所以 ，解得 ，()fx,a43a4a解法二 因为 ，所以 ，()cosinfx()sincofxx则由题意，知 在 上恒成立，0 ,a即 ，即 ，在 上恒成立，结合函数sinc0x2si()4x的图象可知有 ，解得 ，所以 ，2si()4y 04a4a04a所以 的最大值是 ，故选 Aa2A【解析】把函数 的图象向右平移 个单位长度得函数sin(2)5yx10的图象，()si()i10gx由
2、 ( )得 ( )，22kxk Z44kxk Z令 ，得 ，354 即函数 的一个单调递增区间为 ，故选 A()singx35,3C【解析】由题意可得 22|cosin|sinco|11mdm2 2221|1(sincos)|1sin()2|mm （其中 ， ） ， ,2cos12si1si() ， ，22|mmd 221m当 时， 取得最大值 3，故选 C 04D【解析】把 的解析式运用诱导公式变为余弦，2C：2 2sin()cos()cos(2)cos(2)3366yxxxx则由 图象横坐标缩短为原来的 ，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到1 11曲线 选 D2C5D【解析】 的周期
3、为 ， ，所以 A 正确；()cos)3fx2kZ ，所以 B 正确；8(13f设 ，而 ，C 正确；选 D4)cs()gxx3()cos062g6A【解析】由题意 取最大值， 与 相交，设 周期为 ，5818x()fxT所以 或 ，所以 或 ，1384T3T又 的最小正周期大于 ，所以 ，所以 ，排除 C、D；()fx223T由 ，即 ， ，525sin()38104k即 ，令 ， 选 A1k0k27A【解析】因为点 在函数 的图象上，所以(,)4Ptsin()3yxsin(2)43t，又 在函数 的图象上，所以 ，则sin62s1或 ， ，得 或()46k52()6kZ6sk， 又 ，故
4、的最小值为 ，故选 AsZ0s8B【解析】由题意得 ，故该函数的()2sin()2cos()2sin()663fxxx最小正周期 故选 BT9B【解析】因为 为函数 的零点， 为 图像的对称轴，所以4x()fx4()yfx（ ， 为周期） ，得 （ ） 又 在2kZ21TkZf单调，所以 ，又当 时， ， 在5(,)18361,6Tk5,4()x不单调；当 时， ， 在 单调，满足题意，49,4()fx)836故 ，即 的最大值为 9910B【解析】函数 的图像向左平移 个单位长度，得到的图像对应的函数2sinyx12表达式为 ，令 ，解得 ，所以所i12+k26kxZ求对称轴的方程为 ，故选
5、 B6kxZ11B【解析】 ，只需将函数 的图像向右平移 个单位sin4()12ysin4yx1212A 【解析】采用验证法，由 ，可知该函数的最小正周期为cos()2yx=+-且为奇函数，故选 A13D【解析】由图象可知 ， ， ，24m345mZ所以 ，,2,Z所以函数 的单调递减区间为，()cos)cos()fxx，即 ， 24kk1324kkZ14A【解析】 的最小正周期为 ，且 是经过函数()sin()fxAx23x最小值点的一条对称轴， 是经过函数 最大值的一条()f 326()f对称轴 ， ， ，12|651|(2)|6|0| ，|()|0|且 ， ， ，2323203 ，即 (
6、)(0ff()()ff15A【解析】 ，最小正周期为 ； ，最小正周期为 ；|2cosxy|cos|xy，最小正周期为 ； ，最小正周期为 最小正)6cs(xy)42tan(2周期为 的函数为 16A【解析】因为 ，所以将函sin3cocs(3)cos3()1yxxx数 的图象向右平移 个单位后，可得到 的图象，2coy1224y故选 A17C【解析】 ，将函数 的图象向右平移 个单位得()sin()4fxx()fx，由该函数为偶函数可知 ，()2i2f2,42kZ即 ，所以 的最小正值是为 38k3818D【解析】函数 的图象向左平移 个单位，得到函数sinyx2的图象， 为偶函数，排除 A
7、； 的()si)co2fx()cosfx()cosfx周期为 ，排除 B；因为 ，所以 不关于直线 对称，排除 C；故选()s0f()sf 2xD19B【解析】 将 的图象向有右移 个单位长度后得到3sin(2)yx，即 的图象，3sin2()yx23sin()yx令 ， ，2kk Z化简可得 ， ，7,1x即函数 的单调递增区间为 ， ，3sin()y7,12kkZ令 可得 在区间 上单调递增，故选 B0k2i3x,20C【解析】 5 1sin()sin(+)sincos225，选 C.21B【解析】将函数 y=sin(2 +)的图像沿 x 轴向左平移 8个单位，得到函数xsin2()sin
8、(284yx，因为此时函数为偶函数，所以 ,4kZ，即 ,kZ，所以选 B.22B【解析】把 )23,0(P代入 )2)(2sin)( xf ，解得 3，所以 )sin()xg，把 )3,0(P代入得， k或 6，观察选项，故选 B23A【解析】由题设知， = ， =1， = （ ） ，5442kZ = （ ） ， ， = ，故选 A.4kZ024C【解析】 向左平移 cos2yx11cos2()cos(1)yxx25A【解析】 ，故cs()y选 A26A【解析】 7309, ,sin()1,36263xxxmaxin2,.y故选 827D【解析】函数向右平移 得到函数 ，4 )4sin()4
9、(sin)4() xxxfg因为此时函数过点 ，所以 ，即 所)0,3(03sin,23k以 ，所以 的最小值为 2，选 DZk,228A【解析】函数 的图像可看作是由函数 的图像先向)4si()xf ()sinfx左平移 个单位得 的图像，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来4n的 倍，纵坐标不变得到的，而函数 的减区间是 ，所以要1()sin)4fx5,4使函数 在 上是减函数，需满足 ，)4sin()xf ),2( 1254 解得 1524 29B【解析】由于 ()sinfx的图象经过坐标原点，根据已知并结合函数图象可知，为函数 的四分之一周期，故 ，解得 32433230D【解析】 =
10、，()si)cos()fxxsin()cos2xx所以 在 单调递减，对称轴为 ，即 2coy0,2k()kZ31C【解析】因为当 时， 恒成立，所以 ，xR()|)|6fxf ()si163f可得 或 ， ，6k5kZ因为 ()sin()sin()sin2)sin2f f故 ，所以 ，所以 ，i026k5(6x由 （ ） ，5kx kZ得 （ ） ，63 故 的单调递增区间是 （ ） ()fx2,63kk32B【解析】半周期为 ，即最小正周期为 ，84所以 由题意可知，图象过定点 ，2(,0)8所以 ，即 30tan()AkZ所以 ，又 ，所以 ，4kZ|24又图象过定点 ，所以 综上可知
11、，(,1)A()tan2)fx故有 tan2)tan3f33 【解析】由于对任意的实数都有 成立，故当 时，函数 有23 ()4fxf 4x()fx最大值，故 ， ( )， ( )，()14f26kZ283kZ又 ， 0min3343【解析】由题意知， ，所以 ， ，cos()0x362xk所以 ， ，当 时， ；当 时， ；93kxZ0k9x1k49x当 时， ，均满足题意，所以函数 在 的零点个数为 327()f0,35 【解析】由函数 的图象关于直线 对称，6sin(2)2yxx得 ，因为 ，所以 ，sin()137636则 ， 2636 【解析】函数 的图像可由函数sin3cos2in
12、()yxxsinyx的图像至少向右平移 个单位长度得到3cos2i()x337 、 87,k ( Z)【解析】 23)4sin(2)(xxf ，故最小正周期为 ，单调递减区间为 87,3k ( Z)38 【解析】= ，所以其最23sincos2yx11sin2cosin(2)6yxx小正周期为 39 【解析】由题意交点为 ，所以 ，又 ，解得61(,)321sin()32040 【解析】把函数 图象向左平移 个单位长度得到 的图2sinyx6sin()yx象，再把函数 图象上每一点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，i()6得到函数 的图象，所1()sn2fx以 6f 2i)si6441
13、 【解析】38(in()sin(2)4fxxx ， ，当 时 2)4kZ82kZ1kmin3842 25【解析】 ()fx= sin2cosx= 52(sincos)xx令 cos= ， 5i，则 ()f= ii)=5in()x，当 = 2,kz，即 x= 2,kz时， ()fx取最大值，此时 = ,， cos= (2= sin= 25.43 56【解析】函数 (2)yx，向右平移 个单位，得到 i()3yx，即 sin(2)3yx向左平移 个单位得到函数 cos()yx，向左平移 2个单位，得 si()sin()3yxxsin(2)cs(2)33xx5co26，即 44 a【解析】 ()3s
14、icosi()fxxx得 |(|fx故 a45【 解析】 =2T46 【解析】由图可知： ， ，所以 ， ，62A74134TT2又函数图象经过点 ，所以 ，则 ，故(,0)3，所以 ()2sinfxx6()2sin3f47【解析】 （其中 ） ，2()sicoi()fabxabxtanb因此对一切 ， 恒成立，所以 ，xR|()|6f sn13可得 ，故 ()6kZ2i()6xx而 ，所以正确；211()sin()0fab， ，2274717|()|sin|sin|13030fabab217()|sin|530fab所以 ，故错；明显正确；错误：|()|05f由函数 和 的图象（图略）2)s
15、i()6fxx2(sin()6fxabx可知，不存在经过点 的直线与函数 的图象不相交，故错误,)ab)48 【解析】线段 的长即为 的值，且其中的 满足 ，解得2312Psinxxcos5tax= 线段 的长为 sinx349 【解析】由题意知， ，因为 ，所以 ，,220,2x,6x由三角函数图象知： 的最小值为 ，最大值为 ，所以()fx3sin()=6sin=32的取值范围是 ()fx3,250 【解析】(1)若 为偶函数，则对任意 ，均有 ；()fxRx()fx即 ，22sincosin()cos()aa化简得方程 对任意 成立，故 ；i0xx0a(2) ，所以 ，2()s()s()
16、1344f 3故 3incoxx则方程 ，即 ，()12f 23sincosx所以 ，化简即为 ，sicxin()26x即 ，解得 或 ，in(2)6124xk54k,Z若求该方程在 上有解，则 ， ，,3,192,即 或 1； 或 1，0kk对应的 的值分别为： 、 、 、 x2452451 【解析】 （1）因为 ， ， ，(cos,in)xa(3,)bab所以 3csix若 ，则 ，与 矛盾，故 cos0xsin0x22sico1xcos0x于是 3ta又 ，所以 0,x56x（2） .(cos,in)(3,)cos3in2cos() )6f xxab因为 ，所以 ，0,x7,6x从而 .
17、31cos()2于是，当 ，即 时， 取到最大值 3；6x0x()fx当 ，即 时， 取到最小值 .5()f252 【解析】 （）因为 ()sinsin()6fxx，所以 31()ico2fsinsx133(ico)2xsin)x由题设知 ()06f，所以 ， kZ3故 2k， ，又 3，所以 （）由（）得 ()sin(2)fxx所以 ()3sin()3sin()412gxx因为 ,，所以 213x，当 ，即 4x时， ()gx取得最小值 3253 【解析】() 的定义域为 f|,kZtancos()3fxx4i13sin(cosin)2xx2iisn3(1cos)3xxi22in()所以 的
18、最小正周期 ()fxT令 函数 的单调递增区间是2,3z2sinyz2,.kkZ由 ,得kxk5,.121kx设 ，, ,4ABxZ易知 ,12所以, 当 时, 在区间 上单调递增, 在区间4x()fx124上单调递减12，54 【解析】 （）因为 2()sin(1cos)fxx2in()4所以 的最小正周期为2 ()fx（）因为 ，所以 034x当 ，即 时， 取得最小值42xx()f所以 在区间 上的最小值为 ()f,03214f55 【解析】 （）根据表中已知数据，解得 . 数据补全如下表：5,6Ax0 2321371561sin()Ax0 5 0 0且函数表达式为 5i26f（）由（）
19、知 ，得 ()sin()fx ()5sin(2)6gx因为 的对称中心为 ， siny,0kZ令 ，解得 ， 26xk21xk由于函数 的图象关于点 成中心对称，令 ，()yg5(,0)5212k解得 ， . 由 可知，当 时， 取得最小值 23kZk656 【解析】解法一：（） 5()2cos(incos)44fcos(incs4（）因为 .2)2csfxxics21xsin(2)14x所以 .T由 ，2,42kxkZ得 ，3,88所以 的单调递增区间为 .()fx3,8kkZ解法二：因为 22sincosfxxincos21x2si()14（） 5sisi14f （） 2T由 ，,42kx
20、kZ得 ，3,88所以 的单调递增区间为 .()fx3,8kk57 【解析】 （） ()10cossin21f() 203cosin3.31032故实验室上午 8 时的温度为 10 （）因为 ， 1()(cosin)=02sin()213ftttt又 ，所以 ， 024733当 时， ；当 时， tsin()1t4tsin()123t于是 在 上取得最大值 12，取得最小值 8()ft0,24故实验室这一天最高温度为 12 ，最低温度为 8 ，最大温差为 4 . 58 【解析】解法一：()因为 所以 ,2sin,2cos所以 21()()f()因为 21cos2sincossinxfxx,1i
21、 i()24x所以 .由 得T2,2kxkZ.3,88kxkZ所以 的单调递增区间为 .()f 3,8kkZ解法二： 211cos2sincossinxxx1i2i()4x（）因为 所以0,2sin,从而 231()i()si4f （） T由 得 .22,4kxkZ3,88kxkZ所以 的单调递增区间为 .()f,59 【解析】：（I） 的最小正周期为 ， ， .fx076x03y（II）因为 ，所以 ，于是,2152,当 ，即 时， 取得最大值 0；206xxfx当 ，即 时， 取得最小值 .3360 【解析】 （）由已知，有 213()cosincoss24fxxx=+-+213sinco
22、24x=-+()i1s4x-.13sin2cox=-in23p=-所以， 的最小正周期 .()fT（）因为 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数.()fx,412p-,124p-， ， .14fp-=f-=4f所以，函数 在闭区间 上的最大值为 ，最小值为 .()fx,4p-112-61 【解析】：（I）因 的图象上相邻两个最高点的距离为 ，所以 的最小正周f fx期 ，从而 .又因 的图象关于直线 对称， T2Tfx3x所以 因 得 2,01,2,3k 20k所以 .6（II）由（I）得 ，所以 .33sin264f1sin64由 得2630,6所以2215cos1sin.4因此 3ii6
23、sincossin6= 13513542862 【解析】(1) sin2xsin xcos x()fx cos 2x sin 2x 31cos1in2x 31sin3x因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ，4又 0，所以 因此 1=42(2)由(1)知 ()fxsin23x当 x 时， 所以 ，32583sin213x因此1 ()f故 在区间 上的最大值和最小值分别为 ，1()fx3,23263 【解析】(1) sin 2x 3sin 2xcos 2xfcoss in44x2sin 2x2cos 2x in所以， 的最小正周期 T ()f2(2)因为 在区间 上是增函数,在区间 上是
24、减函数fx3083,82又 f(0)2， ， ，2ff故函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为2()fx0,64 【解析】(1) 41)2cos3(sin1)3sinco(sc xxxxf (.42)41)62sin(1 ffx 所 以（2）由（1）知，()si()sin()0()(2,)66f xxk.17.,12,7 ZZkkx 所 以 不 等 式 的 解 集 是 ：65 【解析】 21()cos()sincosin2(cos2)4fxxxxin2（I）函数 的最小正周期 ()fxT（）当 时， 0,2x1()()sin22gxfx当 时, ,011)si()sin2gx当 时， ,)x(
25、)x(2xx得：函数 在 上的解析式为 ()g,01sin(0)()22gx66 【解析】 （）由题设图像知，周期 15(),TT因为点 5(,0)12在函数图像上，所以 5sin0sin()026A即 又 54,=636从 而 ， 即 又点 ,（ ） 在函数图像上，所以 si1，故函数 的解析式为 ()2n().fx()fx（） 2sinsi16126gxi()3x2sinsi2cos)xxi3coxin(,3由 22kk得 5,.1212xkz()gx的单调递增区间是 5,.z67 【解析】 （）函数 的最大值是 3， 1A，即 2()fx函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 2，最小正周期 T， 2故函数 的解析式为 ()sin()6fx()fx（） 2sin16，即 1， 02， 63， 6，故 3
