1、介绍八个模型，并给出相应的应用与实践题一、赌博的最优策略模型假设有数量为 n 的本钱，赌博规则为每次可以压任意多的钱，赌博结果为以 p 的概率赢回同样多的钱（输了的话压出去的钱就没了）。如果赌博的目标是本钱增长到 N 或者破产（输光所有的钱为止）。问什么样的方式可以最大化成功（赢到 N 走人）的概率呢？ 愿赌服输，所以大多数赌博的结果基本上是不受自己控制的。但最优化赌博成功的概率还是可以做到的。我们现在讨论一个非常简单的游戏，假设有数量为 的本钱，赌博规则为每次可以压任意多的钱，赌博结果为以 的概率赢回同样多的钱（输了的话压出去的钱就没了）。如果赌博的目标是本钱增长到 或者破产（输光所有的钱为
2、止）。问什么样的方式可以最大化成功（赢到 走人）的概率呢？显然对于 的不同大小有三种可能性： ：这时候没什么取巧的可能性，随便压，成功地概率固定的为 ，成功概率与本钱成正比。 ：这种情况比较有趣。如果钱可以无限细分的话，成功的概率是可以趋近 的，但现实中并不是这样，另外还得考虑赌博的时间成本对不。这时候每次压上 是一个比较快捷胜率又高的方法。 ：其实这种情况才是赌场里的大多数的情况（庄家赢的概率肯定要大一些嘛，否则赌场怎么赚钱呢）。但注意与大多数想象的不同，在这时稳打稳扎是慢性自杀，孤注一掷才是最优策略。这也符合历史经验，历史上一些搞阴谋成功的哪个不是亡命徒？最后成功的概率为 ，本钱少时，概率
3、下降得更快。 所以高手赌钱，应该是这样的，先计算每次游戏的可能的胜率 ，当 时，压上比例的本钱。二、鱼群的适度捕捞问题鱼群是一种可再生的资源，若目前鱼群的总数为 （单位： ） ，经过一年的成长xkg与繁殖，第二年鱼群的总数为 （单位： ） 。反映 与 之间相互关系的曲线称为再生ykgy曲线，记为 。)(xfy现设鱼群的再生曲线为 （其中 是鱼群的自然生长率， ， 是)1(Nxryr1rN自然环境能够负荷的最大鱼群数量） 。为使鱼群的数量保持稳定，在捕鱼时必须注意适度捕获。问鱼群的数量控制在多大时，才能获取最大的持续捕捞量？解：首先我们对再生曲线 的实际意义作简略解释。)1(xry由于 是自然增
4、长率，故一般可认为 ，但是，由于自然环境的限制，当鱼群的r数量过大时，其生长环境就会恶化，导致鱼群增长率的降低。为此，我们乘上了一个修正因子 ，于是 ，这样当 时， ，即 是自然环境所能容)1(Nx)1(Nxryx0yN纳的鱼群极限量。设每年的捕获量为 ，则第二年的鱼群总量为)(xh )(xhf要限制鱼群总量保持在某一个数值 ，则x)(xf所以 .1)1()( 2NrNrxf现在求 的极大值：)(xh由 ，得驻点02)1xrrx2)(*由于 ，所以， 是 的极大值点。(Nx1xh因此，鱼群规模控制在 时，可以使我们获得最大的持续捕捞量。此Nrx2)(*时NrNrrxxh4)1(4)1(2)(
5、22*即最大持续捕捞量为 ,)(2三、随机优化数学模型实例在微分方程中，我们讲过一些简单的的最优化数学模型，如利润的最大化、平均成本的最小化、用料最省等问题，它们都是确定性的问题。实际上，很多情况下某一个量受到一些随机因素的影响，这个量也就是随机变量，它的最优化就应是其均值（期望）的最优化，只要它的概率分布已知，就可以利用微积分的知识考虑它的最优化问题。下面看两个具体例子。例 1 假定在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量 X（单位：t） ，它服从2000，4000上的均匀分布。设每售出这种产品 1t，可为国家挣得外汇 3 万元；但假如销售不出而囤积于仓库。则每 t 需浪费保养费
6、 1 万元。问应当组织多少货源才能使国家收益最大？解：因为 40,2UX所以 其 他 401)(xxp设 y表示某年预备出口的商品数，则收益为)()(3)( 单 位 ： 万 元yXyXfY由式（14.3.2）得)1047(103)2)(21()62040- ydxxfdpfEyy）（欲使 )(YE最大，只要)72()( YEdy因而 350y，因此，组织 3500t 此种商品的货源是最好的决策。例 2 报童订购多少报纸才能获得最大的收入。报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为 b，零售价为 a，退货价为 c，显然应当有 cba，这样，报童每售出一份报纸赚
7、a，退回一份要赔 b。报童每天如果购进的报纸太少，不够卖，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。我们知道，应该根据需求量来确定购进量，而需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概念为 )2,10()rf，有了 )(rf和 cba、 ，就可以建立购进量的优化模型了。假设每天的购进量为 n份，需求量 r是随机的，因而报童的收入 )(nR也是随机的。nbacrnR,)(),()考虑到需求量为 r的概率是 )(rf，所以 )(R的期望，即平均收入为 n
8、r nrrfbafncbaG0 1 )1.54()()(函数 为优化模型的目标函数，问题就归结为在 cf、)已知时，求 n使)(n最大。通常需求量 r的取值和购进量 n都相当大，将 r视为连续型随机变量便于分析和计算，这时概率 )(f转化为密度函数 )(rp，于是式（14.5.1）变成 )2.514()(0 nn drpbadcbraG求导数 nnndrpbadrpcb drpbadn0 )()( )()()令)(dnG，得到)3.514()(0cbadrpnn因为 1)(0drp，从而 nndrpdrp0)(1)(所以由式（14.5.3） ，得)4.5()(0cabrn这就是说，使报童平均收
9、入达到最大的购进量 n应满足式（14.5.3）或式（14.5.4） 。在式（14.5.3）中 ndrpP01)(是需求量不超过 的概率，即卖不完的概率：ndrpP02)(是需求量超过 的概率，即卖完的概率，所以，式（14.5.3）表明，购进的份数应当使卖不完与卖完的概率恰好等于卖出一份赚的钱 ba与退回一份赔的钱cb之比。显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。常用经济管理数学模型应用数学方法解决实际问题时，首先必须建立数学模型。本节将结合高等数学知识介绍一些常用的经济管理数学模型，学习和了解综合运用数学知识和数学工具解决实际问题的过程和方法，达到
10、运用数学模型为现实生活服务的目的。四、优秀研究成果评选的公平性模型1. 问题的提出设有 个评委组成的评选委员会，有 项研究成果，评委会要从中选出NM项优秀成果，但有些评委是某些成果的完成者，问应如何处理此问题才是公平mM的？2.模型的构成与求解方案 1 按得票多少顺序，得票较多的前 m 项成果为优秀成果。分析评价：这个方案对非评委的研究成果的完成者不够公平。因为评委对自己完成的成果投赞成票的可能性最大。方案 2 对方案 1 做如下修改：评委不参加对自己的研究成果投票，按得票率多少排序，取得票率较大的前 m 项成果为优秀成果.分析评价：下面来分析一下方案 2 是否公平。设某项成果涉及 个评委，他
11、们回避后该项成果得 票， ，则该项成果的CxNC得票率为1()xrN（1）上述结果似乎可以接受。因为得票虽然少了，但作为分母的总人数也少了，所以似乎是公平的。参与完成该项成果的 个评委仍不大满意，他们认为：若他们也参加投票，则C投票率为2()xrN(2)通过比较 与 的大小可知上述两个公式的差别。因为当 时，恒有1()rx2 xNC .1()rx2综合上述讨论，按照相对公平的原则，应采取对 和 的折衷方案，即度量得1()rx2票多少的函数 以下三个条件：()yx应 满 足（1） 是 的单调递增函数;（2） ，()rxy2()rx0,0;NC（3） 0,1.NC由上述三个条件还不能唯一确定函数
12、，但可据此定出一个相对公平、且比较简单()yx实用的度量函数 。例如定义()yx12()()xCrN作为度量函数。实践与思考 你能否构造一个满足上面三个条件的函数 ？()yx五、公平的席位分配模型1.问题的提出某校有 3 个系共 200 名学生，其中甲系 100 人，乙系 60 人，丙系 40 人，现在要选出20 名学生代表组成学生会，公平的办法是按学生人数的比例分配席位，即甲乙丙三系分别10、6、4 个席位。如果三个系的人数分别改成 103 人、63 人和 34 人，那么怎样分配各系的席位呢？2.模型的构建与求解过去的惯例是这样分配的：先按比例分配，甲、乙、丙系分别应得 10.3、6.3、和
13、 3.4席，舍去小数部分后分别得 10、6、3 席，剩下的 1 席分给“ 损失”最大的丙系，于是三个系仍分别占 10、6、4 席。假定学生会的席位增到 21 席，按照上述方法重新分配席位，结果如表 10.1 的第 6、7列，三个系分配占有 11、7、3 席。这个结果对丙系显然不公平，因为总席位增加而丙系的席位反而减少了。结果大家对这种分法产生怀疑，要求重新讨论分配方法。表 10.1 按惯例的席位分配20 席的分配 21 席的分配系别 人数 比例 按比例实际分配 按比例 实际分配甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7丙 34 17.
14、0 3.4 4 3.570 3总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21什么是公平的分法？“绝对公平”的分法应是每个席位代表的学生数相同，这在一般情况下是做不到的。所以，希望每个席位代表的学生数尽量接近。假定共有 个系，各系人数分别为 ，全校总人数为 。m12,mn 12mnn又假设学生会共设 个席位，于是平均每个席位代表学生数为N，a设各系分配的席位为 ，则各系每席实际代表的人数为12,m.1,2iinaN为了衡量一种分配方法的“公平”程度，我们可以提出不同的标准，也就是用各种不同的目标函数来衡量“公平度” ，例如：标准 1 要求目标函数 尽可能小。maxiZ标准 2 要求
15、目标函数 最小。1ii标准 3 要求目标函数 最大。niZa这里我们只研究标准 1，我们假定满足标准 1 的分配方法为为最优分配。请看下面的例子。例 1 设某校有五个系，一、二、三、四、五系的学生分别为1105、648、362、248、137 人，共有 2500 人，现要选出 25 名代表组成学生会、应如何分配？解 如按比例分配席位，每 100 人分配 1 席，其结果如表 10.2。表 10.2 按标准 1 的席位分配系别 人数 比例分配席位判别数 实际分配席位一 1105 11.05 1.004 10二 648 6.48 1.08 6三 362 3.62 1.21 4四 248 2.48 1
16、.24 3五 137 1.37 1.37 2总和 2500 25 25如按取整分配，各系应分配 11、6、3、2、1 席，哪个系最吃亏呢？就是说，哪个系每席代表的学生数最多呢？按比例分配，各系应分配席位数为现取整数，第 系分到1,25iiinNa i席，每席代表学生iNiiinN因为 与系别无关，所以 较大的系比较吃亏（这就是按惯例分配的问题所在，不a/iiN应比较“尾数”大小，应比较“尾数”占总数比例） 。我们称 为判别数，因为判/iiN别数越大的系越吃亏，所以首先应给五系增加 1 席。现在我们证明：最优分配方案必定分给五系 2 席。若五系分 1 席，则 ，51.37Za显然不是最优。若五系
17、分 3 席（或更多） ，则把五系多分的席位分给最吃亏的系，又可使目标函数 减小，因而这种方案也不是最优。Z同理，四系应分 3 席。余下 20 席是否应该按 11、6、3 分配呢？如你这样想就错了，按同样的原理分配，列表如下：系别 人数 按比例分配席位判别数一 1105 10.45 1.045二 648 6.13 1.02三 362 3.42 1.14总和 2115 20因此三系应分 4 席，同理一、二系分别分 10、6 席，这样五个系各得 10、6、4、3、2 席。这时 Z=1.105。由此看来，过去的分法是大系占了便宜。由上面算法可以看出，最优分配方案可能不是唯一的。这时我们采取照顾小系的方
18、法，即优先分配给人数少的系。若两系人数相同，可规定分给序号在前的系，这就能保证求出唯一的方案。实践与思考1.某大学共有 2000 名学生，其中文科 类 1030 名、理工 类 340 名、工科类 630 名。该校学生会有 21 名代表席位，问该 如何公平地分配这些席位？六 、复利、贴现模型1.问题的提出向银行存款或贷款是最常见的金融活动，贷款的报酬称为利息。贷款有规定的计息期限（如以一年，一月或一日为一期等） ，贷款的总额称为本金。作为贷款的报酬，收回贷款时所收的额外的本金的一定百分比或千分比即利息，如何计算利息以及由此产生的时间价值是本节将讨论的问题。2.模型的构建记本金为 ，每期利息与本金
19、之比为利率，记为 。利率与贷款期限的长短有关，按PR期限有年、月、日，分别称为年利率、月利率和日利率。利率用百分率和千分率表示，习惯上分别称为分或厘。如月息 3 厘表示一个月可获本金 3作为利息。年利率，月利率之间可以互相换算。例如 2005 年银行的存款年利率为，活期 0.72%，三个月期 1.71%，一年期 2.25%，二年期 2.70%，三年期 3.24%，五年期 3.6%。经换算可得 3 个月期的期利率为R=1.71%/4=0.4275%，而三年期的期利率为R=3 3.24%=9.72%。最常用的计算利息的方法是复利计息。下面介绍复利计息的数学模型及其应用。（1）复利复利计息方法是在贷
20、款一期之末结息一次，再将利息转为本金，即和原来的本金一起作为下一期的本金而产生利息，这种计息方法称为复利。我们称本金和利息之总和为 本利和，记为 S，有 PI其中 P 为本金,I 为利息。设利率为 R，贷款时间为 期，那么第 1 期末的本利和为n，1S()R第 2 期的本利和为,221()P依此类推，第 期末的本利和为n= S()nR(3)而贷款 期的利息为nI(1)(1)nnnSPPR（4）这两个公式即为复利计算的基本公式。(2)贴现货币用来投资，随着时间的推移会产生收益，从而使货币增加，这就是货币的时间价值。由于银行利率是综合经济发展的各种因素确定的，因此人们通常用银行利率来分析货币的时间
21、价值。终值和现值是刻画货币时间价值的两个概念。例如在复利计算的情形下，设本金为 ，P每期利率为 ，贷款期数为 ，到 期末本利和就变为 了， 称为 的终Rn(1)nSPRS值。反过来，现在手中的多少钱存银行 期就可以变成 元呢？显然可以按下式计算1nSQR（5）其中 称为 的现值，即 期末的 元相当于现在的 元。SSQ3.模型的应用例 1 如银行存款年利率为 2.25% ，每年结息一次。若 3 年后要得到本利和 600 元，应存入银行多少元呢？解 设存入本金为 。由（3）式可得 ，所以，P1nSPR（元）3605.2612.%因此，为得本利和 600 元，则应存入 561.26 元。例 2 若本
22、金为 700 元，存一 年期年利率为 2.25% ，复利计息，为得本利和 1240 元，求存期。解 在（3）式两边取常用对数得，lg1lgl1nSPRR解得l/lnlg1240l7/lg1.025（年） ，5.则为得本利和 1240 元需存 25.70 年。例 3 一处房产价格为 21 万元，据预测该房产三年后的价格将上涨为 23 万元。某人欲向银行贷款来进行此项房产投资。设银行贷款的年利润为 5%，按复利计算，此项投资能否盈利？解法 1 3 年后 23 万元的现值为(万元)3219.8610.5nSQR，现值低于投资额，不能赢利。21万 元解法 2 21 万元三年后的终值为（万元） ，331
23、21.054.SPR万元，即归还银行贷款的本利和超过 3 年后房屋的价值，不能赢利。3S实践与思考1.有位初一学生的家长欲将一万元存银行 6 年后供学生上大学用，设 6 年中利率不变，他应采用何种方案存款使获利最大？2.有两个投资项目可供选择，第一个 项目投资 100 万元，每年末收益 14 万元，可收益 15年，第二个项目投资 120 万元，每年末收益 16 万元，可收益 18 年，哪一项目对投资者更有利？3.某厂 2005 年生产产值是 1995 年的 8 倍（翻 3 番），那么从 1995 年到 2005 年产值的年增长率是多少？若按这样的增长率发展，2015 年的产值是 1995 年的
24、几倍？七、运输车辆经济使用寿命模型1. 问题的提出 车辆在使用过程中，由于零件磨损、老化等原因，汽车性能随行使里程的增加而逐渐下降，到了一定期限就应报废。如果把汽车的使用寿命无限延长，不断地对汽车进行维修，用很高的代价来维持车辆运行，必然会出现车况下降、小修频率上升，致使维修费用急剧增加，燃料消耗过多，最终使车辆的动力性、经济性和安全性等大幅度下降。如何合理地确定汽车经济的使用寿命，下面将进行专题研究。2. 模型的建立汽车的整个使用过程完全是一个低劣化过程，从低劣化理论可知，在低劣化过程中，总是存在一个经济效益最佳点，以此来确定汽车的经济使用寿命。低劣化值为每千千米以 的幅度增加，第 千千米时
25、为 ，从而在 千千米内，bLbL0:平均低劣化值为 0.5 。L值可用维修费用与行使里程 的关系，采用回归分析的方法确定。维修费用是汽车b使用过程中各种维护费用及日常小修费用的总和，记为 ，满足C,abL其中 为维修费用初始值（回归分析的回归初始值） ， 为系数（回归分析的回归系数） ，a为累计行驶里程。L综合上述分析，可知车辆使用费用包括（1）每千千米车辆投资费，其值随行使里程的增加不断减少，01;KCL（2）车辆平均低劣化数值，其值随行使里程而增加，2.b所以，车辆的使用费用方程式为0120,12KCbLC（6）其中 为原始投资费，单位为元； 为累计行使里程，单位为千千米； 为各影响因素的
26、0KLb费用低劣化增长强度。单位为元/千千米； 为固定费用，即与车辆行使无关的累计费用0C值，单位为元。3. 模型的求解确定汽车经济使用寿命可由（6）式描绘出曲线.在描绘的曲线中的最低点为相应的行使里程，就是所要确定的经济寿命.也可以用求一阶导数的方法求出，即将式（6）中的函数 对里程 求导数，并且()CL令0,dCL可以得出经济使用寿命（千千米）： 02.KLb4. 模型的应用由车辆经济使用寿命 可以看出，决定车辆经济使用寿命的关键因素是车辆02b的低劣化增长强度，而 又恰恰是维修费用与汽车行使里程关系曲线的斜率，加强车辆运输日常管理，保养好运输车辆，可以大大降低 值，从而提高车辆的经济使用
27、寿命 .实践与参考1.案例中假设低劣化值为每千千米以 的幅度增加， 值可用 维修费用与行使里程 的bbL关系，采 用回归分析的方法确定.维修费用是汽车使用过 程中各种 维护费用及日常小修费用的总和，记为 ，满足： ，式中 为维修费用初始值 （回归分析的回归初始值），请CaL研究其相关性，并提出改进建 议。八、捕鱼成本模型1.问题的提出 在鱼塘中捕鱼时，鱼越少捕鱼越困难，捕捞的成本也就越高，一般可以假设每公斤鱼的捕捞成本与当时池塘中的鱼量成反比。假设当鱼塘中有 公斤鱼时，每公斤的捕捞成本是 元。已知鱼塘中现有鱼x x10210000 公斤，问从鱼塘中捕捞 6000 公斤鱼需花费多少成本？2.模型
28、的构成与求解根据题意，当塘中鱼量为 公斤时，捕捞成本函数为x).0(12)(xxC假设塘中现有鱼量为 公斤，需要捕捞的鱼量为 公斤。当我们已经捕捞了 公斤鱼ATx之后，塘中所剩的鱼量为 公斤，此时再捕捞 公斤鱼所需的成本为x.)(102)(xAxA因此，捕捞 公斤鱼所需成本为T TxdxAC0 0)(1ln20)(12 )(1ln2元T将已知数据 代入上式，可计算出总捕捞成本为kgTkA60,10)(59.18240ln2元C顺便可以计算出每公斤鱼的平均捕捞成本元3.659.18实践与思考1.在鱼塘中捕鱼时，一般可以假 设捕捞每公斤鱼的成本与当 时池塘中的鱼量成反比。也即鱼塘中有 公斤鱼时，每公斤的捕捞成本是 元。分 别就鱼塘中的鱼量为 5000 公斤、x x1021000 公斤两种情况，计算从鱼 塘中捕捞 10 公斤鱼所花费 的成本？
