1、1第三讲 立方根1 立方根的定义及性质定义：如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3=a，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根，也成为三次方根。也就是说，如果 x3=a，那么 x 叫做 a 的立方根，数 a 的立方根记作“ ”，读作“三次根号 a”，其中 a 是被开方数，3 是根指数。性质：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0 的立方根是 0.例 1 求下列各数的立方根（1）0.729 ；（2）-2 ；（ 3）0；712 开立方1.开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。2 重要公式：（ ） 3=a； = ；aa3注意：运用公式求负数的立方根时，三次根号内的
2、负号可以移到根号外面，例如 =3125=-5315例 2 求下列各数的值（1） ；（2）3064.373 .平方根与立方根的区别和联系区别：（1）平方根的根指数是 2，能省略；立方根的根指数是 3，不能省略。（2）平方根只有对非负数才有意义，而立方根对任何数都有意义，且每个数都只有一个立方根。（3）正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个。联系：（1）都与相应的乘方运算互为逆运算；（2）都可归结为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究，即 = ；3a3（3）0 的平方根和立方根 都是 0；例 3 在下列说法中，正确的说法有（）4 是
3、 2 的平方根；3 是 9 的平方根；121 的平方根是 11；0.25 的算术平方根是0.5； 的立方根是 ； 的平方根是 9.1656581A . 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D.5 个例 4如果 a 是（-3 ） 2 的平方根，那么 等于（）3aA. -3 B. C.3 D. 或3例 5. 现有一个正方体木块，体积是 125 cm3，因需要，现将它锯成 8 个同样大小的小正方体木块，求每个小正方体木块的表面积。2随堂练习1 一般地，如果一个数 x 的_等于 a，即即 x3=a，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根，记作_,读作_.2 正数的立方根是_,负数的立方根是_,0 的立方
4、根是_.3 求一个数 a 的_的运算叫做开立方，其中_叫做被开方数。对于正数 来说，开立方与_互为逆运算。4.下列说法正确的是（）A. 0.8 的立方根是 0.2 B.1 的立方根为1 C.-1 的立方根是-1 D.-25 没有立方根5.若 m0，则 m 的立方根是（）A. B. C. D.不能确定3336. 的立方根为_, 的立方根为_.27187.如果 = ，那么有（）3abA. a=b B.a=-b C.a=b D.不能确定8.如果 是 6-x 的立方根，那么（）36xA.x6 B.x=6 C.x6 D.x 是任意数9.若 x=（ ） 3，则 =_.51x10. 的立方根是_.411.下
5、列各组数中互为相反数的是（）A-2 与 B.-2 与 C.-2 与 D.2 与2)(382112.下列运算中，正确的是（）A. =3 B. =2 C.(-2)0=0 D.2-1=9313. 的立方根为_, 的立方根为_.271814. 的立方根是_.6415.-27 的立方根与的平方根之和是_.16.一个数的立方根是 4，则这个数的平方根是_.17.-8 的立方根是_.18.如果 3x+16 的立方根是 4，求 2x+4 的立方根。19.填写下表：a 0.000001 0.001 1 1000 100000033上表中 a 的小数点的移动与 的小数点移动有何规律？3a利用（1）的规律计算：若
6、=b， =m， =n，求 m，n 的值（用 b 表示）31230.3120。课后练习一、填空题：11 的立方根是_2 _ 8332 是_的立方根 4_的立方根是 1.05立方根是 的数是_6 是_的立方根66277 _ 8 的立方根是_3)( 3)(9 是_的立方根510若 a 与 b 互为相反数，则它们的立方根的和是_110 的立方根是_ 1236 的平方根的绝对值是_13. _的立方根是 72914 _15立方根等于它本身的数是_32716 的立方根是_17 的立方根是_109)(08.18 是_的立方根19当 x 为_时， 有意义；3x当 x 为_时， 有意义38520 的平方根是_，立
7、方根是_6)2(二、判断题：1 的立方根是 ；（ ）2 没有立方根；（ ）8153 的立方根是 ；（ ）4 是 的立方根；（ ）26692785负数没有平方根和立方根；（ ）6a 的三次方根是负数，a 必是负数；（ ）7立方根等于它本身的数只能是 0 或 1；（ ）8如果 x 的立方根是 ，那么 ；28x4（ ）9 的立方根是 ；（ ）108 的立方根是 ；（ ）535211 的立方根是没有意义；（ ）12 的立方根是 ；（ ）2167131130 的立方根是 0；（ ）14 是 的立方根；（ ）5215 是 立方根；（ ）16a 为任意数，式子 ， ， 都是非负数 （ ）3 a23三、选择题
8、：136 的平方根是（ ） A B6 C D不存在62一个数的平方根与立方根相等，则这个数是（ ） A1 B C0 D113如果 是 a 的立方根，那么下列结论正确的是（ ） bA 也是 的立方根 Bb 也是 a 的立方根Cb 也是 的立方根 D 都是 a 的立方根4下列语句中，正确的是（ ） A一个实数的平方根有两个，它们互为相反数B一个实数的立方根不是正数就是负数C负数没有立方根D如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是 或 0 或 158 的立方根是（ ） A2 B C4 D246设 n 是大于 1 的整数，则等式 中的 n 必是（ ） 2nA大于 1 的偶数 B大于 1 的奇数
9、 C2 D37下列各式中正确的是（ ） A B 43)(2C D3825)4(28与数轴上的点一一对应的数是（ ） A整数 B有理数 C无理数 D实数9下列运算正确的是（ ） A B333C D四、解答题：1求下列各数的立方根（1） （2） （3） （4）108515（5）512 （6） （7）0 （8）82216.02求下列各式的值（1） （2） 383（3） （4）5.03)01.(（5） （6）1237（7） 09.（8） 的算术平方根 2)74(3（9） （10） （11） （12）3a3a327134123x 取何值时，下面各式有意义？（1） （2） （3） （4）x31x1x32x
10、4求下列各式中的 x（1） （2） （3） 70).0(3253x124x（4） （5） （6）5123x 614x9x（7） 87)(3x5化简 3)1(aa五、计算4323 81)2()4()( 六、已知 ，其中 x，y 为实数，求 的值0134yx 3x198y6七、一个长方体木箱子，它的底是正方形，木箱高 1.25 米，体积 2.718 立方米求这个木箱底边的长 （精确到 0.01 米）八、一个圆形物体，面积是 200 平方厘米，半径 r 是多少平方厘米？（取 3.14，r 精确到 0.01 厘米）九、如果球的半径是 r，则球的体积用公式 来计算当体积 立方厘34rV50V米，半径 r
11、 是多少厘米？（取 3.14，r 精确到 0.01 厘米）7第四讲 估算1.估算法确定无理数的大小估算是现实生活中一件常用的解决问题的方法。很多情况下需要估算无理数的近似值，估算的一般步骤是（1）估算被开方数在哪两个平方数之间；（2）确定无理数的整数位；（3）按要求估算；2 “精确到”与“误差小于”的意义区别：如精确到 1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于 1m，是指答案在其值左右 1m 内都符合题意，答案不唯一。一般情况下，误差小于 1m 就是估算到个位，误差小于 10m 就是估算到十位。例 1 估算 （误差小于 0.1）的大小。62.比较无理数的大小（1）估算法：用估算法比较两个数
12、的大小，一般至少有一个是无理数，在比较大小时，一般先采用分析的方法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较。（2）求差法：若 - 0，则 ；若 - 0，则 。abababab（3）平方法（或立方法）：当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：若ab0，则 ，则 。3例 2 比较 与 的大小。410例 3.有一片长方形小树林，长是宽的 3 倍，而对角线的长为 210 米，若每棵树的占地面积为 1 平方米，则这片小树林共有多少棵树？这片长方形小树林的长大约是多少米？（精确到 1 米）随堂练习1.“精确到”与“误差小于”的区别：精确到个位，就是四舍五入到个位，答案_,误差小于 1 也就是估算到个位
13、，答案_.2.将 ， ， 三个数按从小到大的顺序排列为_.753.大于 且小于 的整数有_个。313084.若 m 是 的整数部分，其小数部分为 n，则 n 的值为_.135.大于- 小于 的所有整数是_.56.大于 且小于 的整数是_.27.把 7 的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为_.8.0.00057 的平方根在（）A.0.05 与 0.06 之间 B.0.02 与 0.03 之间C.0.03 与 0.04 之间 D.0.2 与 0.3 之间9.下列各数与 最接近的是（）7A.2.5 B.2.6 C.2.7 D.2.810.设 =a，则下列结论正确的是（）26A.4.5a5.0 B.
14、5.0a5.5 C.5.5a6.0 D.6.0a6.511.将 2, , 这三个数用“”连接正确的是（）5A.2 B. 2 C. 2 D. 2255512.一个正方形的面积是 12，估计它的边长大小在（）A.2 与 3 之间 B.3 与 4 之间 C.4 与 5 之间 D.5 与 6 之间13.若 a，b 均为正整数，且 a ，b ，则 a+b 的最小值是（）73A.3 B.4 C.5 D.614.12 的负的平方根介于（）A.-5 与-4 之间 B.-4 与-3 之间 C.-3 与-2 之间 D.-2 与-1 之间15.设 a= -1，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）19A.1 和
15、 2 B.2 和 3 C.3 和 4 D.4 和 516.王老师现有一根长 50cm 的铁丝，由于上课的需要，王老师想把铁丝做成一个面积为300cm2的圆环，你觉得王老师能做成吗？并说明理由。 （ 取 3.14）课后练习一、选择题1、与方程 x39=16 的根最接近的是（ ）A、2 B、3 C、4 D、52、如图在数轴上有 O、A、B、C 、D 五点，根据图中各点所表示的数，判断 在数轴189上的位置会落在（ ）A、线段 OA 上 B、线段 AB 上 C、线段 BC 上 D、线段 CD 上3. 数轴上表示 -1 的点 A 的位置应在（ ）21A、2 与 3 之间 B、3 与 4 之间 C、4
16、与 5 之间 D、7 与 8 之间4. 如图，若数轴上的点 A，B，C ，D 表示数2，1，2， 3，则表示 4 的点 P 应在线段（ ）A、线段 AB 上 B、线段 BC 上C、线段 CD 上 D、线段 OB 上5. 如图，数轴上的点 P，表示的实数是（ ）A、 B、 C、 D、10736. 下列各式中，正确的是（ ）A、2 3 B、3 4C 、4 5 D、14 165151157. 通过估算，下列不等式成立的是（ ）A、 3.85 B. 3.85C 、 3.8 D、 21 398. 大于2.5 小于 的整数有多少个（ ）3A、4 个 B、5 个 C、6 个 D、7 个9. 下列哪一选项的值
17、介于 0.2 与 0.3 之间？（ ）A、 B、 C、 D、8.48.004.048.10. 如图数在线有 O，A，B，C ，D 五点，根据图中各点所表示的数，判断 在数在线1的位置会落在下列哪一线段上（ ）A、OA B、AB C、BC D、CD11. 估计 20 的算术平方根的大小在（ ）A、2 与 3 之间 B、3 与 4 之间 C、4 与 5 之间 D、5 与 6 之间12. 实数 的整数部分是（ ）10A、2 B、3 C、4 D、513. 下列整数中与 最接近的数是（ ）5A、2 B、4 C、15 D、161014. 估算 -2 的值（ ）31A、在 1 和 2 之间 B、在 2 和
18、3 之间 C、在 3 和 4 之间 D、在 4 和 5 之间二、填空题15、恰有 28 个连续自然数的算术平方根的整数部分相同（其小数部分不等于零） ，那么这个相同的整数是 _ 16、给出下列关于 的判断： 是无理数； 是实数； 是 2 的算术平方根；2221 2其中正确的是 _ （请填序号） 17、在下图所示的数轴上，用点 A 大致表示 ，则点 A 在数 _ 和 40_ 之间18、在数轴上与表示 的点的距离最近的整数点所表示的数是 _ 519、若将三个数 ， ， 表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是 317_ 三、解答题20. 26、已知 的整数部分为 a，b 是 25 的平方根，求 ab 的值1527、 （1） -438（2） -( )3- 2（3）求下列 x 的值x 327=0（x1 ） 2=4（4）已知：a 是 的整数部分，b 是的小数部分，求 ab 的值151528、比较下列两个数的大小：（1） 与 ；923（2） 与 76729、已知：在数 ， ，3.1416， ，0，4 2， （ 1） 2n，1.424224222中，4.1311（1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数；（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“”连接30、写出所有适合下列条件的数：（1）大于 小于 的所有整数；17（2）绝对值小于 的所有整数8
