1、数学建模,微 分 方 程,在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。求解微分方程有三种方法： 1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性 理论方法。,一、导弹追踪问题,设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？,解法一（解析法）,由(1),(2)消去t整理得模型:,二 范. 梅格伦（
2、Van Meegren）伪造名画案,第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。 Vanmeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所有的油画都是自己伪造的，为了证实这一切，在狱中开始伪造Vermeer的画耶稣在学者中间。当他的工作快完成时，又获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，以免留下罪证。,为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家等参加的国际专门小组，采用了当时最先进的科学方法，动
3、用了X-光线透视等，对颜料成份进行分析，终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝的痕迹。这样，伪造罪成立， Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为， Vanmeegren在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都不能使怀疑者满意。直到20年后，1967年，卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。,原理,著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出：物质的放射性正比于现存物质的原子数。,设 时刻的原子数为 ，则有,为物质的衰变常数。,初始条件,半衰期,能测出或算出，只要知道 就可算出,这正是
4、问题的难处，下面是间接确定 的方法。,断代。,油画中的放射性物质,白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和更少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时， Pb210的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到Pb210与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止。,（放射性）,（无放射性）,假设,（1）镭的半衰期为1600年，我们只对17 世纪的油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭至少还有原量的90%以上，所以每克白铅中每分钟镭的
5、衰变数可视为常数，用 表示。,（2）钋的半衰期为138天容易测定，铅210的半衰期为22年，对要鉴别的300多年的颜料来说，每克白铅中每分钟钋的衰变数与铅210的衰变数可视为相等。,建模,设 时刻每克白铅中含铅210的数量为 ，,为制造时刻 每克白铅中含铅210的数量。,为铅210的衰变常数。则油画中铅210含量,求解,均可测出。,可算出白铅中铅的衰变率 ，再于当时的矿物比较，以鉴别真伪。,矿石中铀的最大含量可能 23%，若白铅中铅210每分钟衰变超过3 万个原子，则矿石中含铀量超过 4%。,测定结果与分析,若第一幅画是真品，,铅210每分钟每克衰变不合理，为赝品。,同理可检验第2，3，4幅画
6、亦为赝品，而后两幅画为真品。,微分方程数值解,1欧拉方法,欧拉方法的基本原理:消除导数项（离散化）。,欧拉法的一般步骤:,欧拉方法的特点:易于理解，计算量小，精度低。,2梯形法,梯形法的一般步骤:,梯形法的特点:，计算量大，精度高。,龙格库塔法,龙格库塔法的基本思想：,由微分中值定理：,微分方程的解析解,结 果：u = tg(t-c),例 2求微分方程 的通解，并验证。,y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x2),x),syms x; diff(y)+2*x*y - x*exp(-x2),例 3求微分方程 在初值条件 下的特解，并画出解函数的图形。,y=dsolve(x*Dy+y
7、-exp(x)=0,y(1)=2*exp(1),x); ezplot(y),例4 求微分方程组 在初值条件 下的特解，并画出解函数的图形。,x,y=dsolve(Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=0, x(0)=1, y(0)=0, t) ezplot(x,y,0,1.3),微分方程的数值解,常微分方程数值解的定义,在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。,因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。,用Matlab软件求常微分方程的数值解
8、,t，y=solver（f,ts,y0）,Matlab提供的ODE求解器,1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.,2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.,注意:,x,y=ode23(fun,0,0.5,1),fun=inline(-2*y+2*x2+2*x,x,y); x,y=ode23(fun,0,0.5,1),图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.,function f=cxd1(t,y)f=y(2)*y(3);-y(1)*y(3);-0.51*y(1)*y(2),T,Y=ode45(cxd1,0 1 2,0 1 1),plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+),解 令 y1=x，y2=y1,1、建立M文件 function f=cxd(t,y)f=y(2);1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1),2、取t0=0，tf=3000，输入命令：T,Y=ode15s(cxd,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-),
