1、常微分方程,辅导课程八,主讲教师：王稳地,解的伏朗斯基行列式的性质,定理,在a,b上线性无关，则,n个解的Wronski行列式要么恒为0，要么 处处不为0，因此，线性相关等价于Wronski行列式恒为0线性无关等价于Wronski行列式不为0,证明 用反证法，设,考虑方程组,存在非0解 ，构造由解的叠加原理，x(t)是解，又有,由观察知x=0是(2)满足这个初始条件的解，再由唯一性定理， (2)满足这个初始条件的解只能是x=0，从而解组是线性相关的，矛盾,定理 方程(2)存在n个线性无关解证明 对初值问题解对初值问题的存在唯一性定理断言(2)存在唯一解满足初始条件，特别地，对初始条件：存在一个
2、解 ，满足它,对初始条件：,.,对初始条件：,这n个解是线性无关的,定理 (2)的任何一个解 可以表示为证明 1） 是解，有n个任意常数，需要说明n个任意常数是独立的,2) 对任何一个解 ，构造方程组,方程组的变元为 系数行列式不为0，存在唯一解,构造是解，又满足解x(t)与解 满足同一个初始条件，推论 (2)的解构成一个n维线性空间,(2)的n个线性无关解叫基本解组,非齐线性方程解的性质,性质1 设x(t)是(2)的解， 是(1)的解则 是(1)的解,性质2 设 是(1)的解，则 是(2)的解,定理是(1)的一个解，则(1)的通解为,并且包含了(1)的所有解 证明 性质1说明是解，含有n个任意常数，可以证明是独立的设x(t)是(1)的一个解，则性质2说明是(2)的解，,常数变易法,目标：利用(2)的通解求 (1)的一个特解,令：,限制：,代入(1)得,联立,由于 的系数行列式为,解出 ，求积分，.,例已知 cos t, sin t 是一个基本解组 解 令,所以一个特解为,解: 先考虑齐次方程的通解,令,令,现在来求特解.首先把原方程标准化:,
