1、6.1 微分方程的基本概念,微分方程的基本概念,几何问题 物理问题,第六章 常微分方程,解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得 C = 1,因此所求曲线方程为,由 得,例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任意点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程。,参考P73例3,例2 质量为m的物体从空中自由下落，若略去空气阻力求物体下落的距离s与时间t的函数关系s(t)。,与m无关？,伽利略（Galilei，1564-1642）， 意大利著名数学家、物理学家、 天文学家、哲学家、近代实验 科学的先躯者。 据说，1590年，伽利略在比萨斜塔
2、上做了“两个球同时落地”的著名实验，从此推翻了亚里士多德“物体下落速度和重量成比例”的学说，纠正了这个持续了1900年之久的错误结论。 但是伽利略在比萨斜塔做实验的说法后来被严谨的考证否定了。尽管如此，来自世界各地的人们都要前往参观，他们把这座古塔看做伽利略的纪念碑。,常微分方程,偏微分方程,1.含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程 .,2.微分方程中所含未知函数的导数（或微分）的最高阶数叫做微分方程的阶.,(一个自变量，简称微分方程),微分方程的基本概念,分类,(多个自变量),3. 代入微分方程后，能使之成为恒等式的函数称为微分方程的解 .,4. 用来确定通解中任意常数的条件称为初
3、始条件.,(不含任意常数),5. 求微分方程的解的过程称为解微分方程.,(独立常数个数等于方程阶数),特解=通解+初始条件,6.2.1 可分离变量的微分方程,一、可分离变量的微分方程,微分方程应用题,微分方程等式的建立（数学建模）系统内部量= 系统输入(增加)量系统输出(减少)量系统内部量的变化率= 输入(增加)量的变化率 输出(减少)量的变化率 变化率用导数表示,内部,输入,输出,例3 (细菌繁殖模型)在一个理想的环境中，细菌的繁殖速率与细菌的数目成正比，若t=0时细菌的数目为 x(0) ，求系统的细菌繁殖规律。,解： 设 x(t) 表示在 t 时刻细菌数目，系统中细菌的变化率为增加（繁殖）
4、速率为kx(t) ，k0减少速率为0,系统内部量的变化率= 输入(增加)量的变化率 输出(减少)量的变化率,内部,输入,输出,分离变量,两边积分,关于解的说明：,两边积分,熟练以后 这样求解,例4（自然生长模型） 设y=y(t)为某生物在时间t时种群数 开始时种群数为y(0)=y0 n表示该种群的单位时间出生率 m表示该种群的单位时间死亡率 如果n-m=r ky(关于y的线性函数),其中r 0，k 0， 求该种群生长规律。,当 时,即,解：设种群数量的变化率为,出生的种群数为ny,死亡的种群数为my,此式称为Logistic方程，当,t,y,S型曲线P65,例5（肿瘤生长模型）设V(t)是肿瘤
5、体积,免疫系统非常脆弱时，V呈指数式增长，但V长大到一定程度后，因获取的营养不足使其增长受限制。描述V的一种数学模型是：,是肿瘤可能长到的最大体积请确定肿瘤生长规律,解：分离变量,两边积分,此为贡柏茨方程,此为贡柏茨方程图形（P65-66),V0,二、可化为分离变量的某些方程*,1. 齐次方程 形如 的方程,令,代入原方程得,两边积分, 得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,例6. 解微分方程,解:,分离 变量,积分,得,故原方程的通解为,例7. 解微分方程,解,2. 型方程,作变换,例8. 解微分方程,解:,6.2.2 一阶线性微分方程,标准形式:,若 Q(x)
6、0,称为非齐次方程 .,称为齐次方程 ;,定义3 如果方程中未知函数的导数（微分）的最高阶数是一阶的，且所含未知函数及导数（微分）都是一次幂的，则称这种方程为一阶线性微分方程。,一、一阶线性微分方程,1. 解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,这里 仅表示P（x）的一个原函数,2. 解非齐次方程,常数变易法,故原方程的通解,公式（6-17），用此公式求解，称为公式法,例9 用常数变易法求一阶线性方程通解,解：齐次方程通解：,解：齐次方程通解：,用常数变易法，令,例9 用公式法求一阶线性方程通解,例10 用公式法求一阶线性方程的通解,当 x0 时,无论哪种情况，结果相同,例11 (饮食与体
7、重模型)某人每天从食物中获取10500J热量，其中5040J用于基础代谢。他每天的活动强度，相当于每千克体重消耗67.2 J。余下的热量均以脂肪的形式储存起来，每42000 J 可转化为1kg脂肪。问：这个人的体重是怎样随时间变化的，会达到平衡吗?,进食10500J,基础代谢5040J,活动67.2JW,解：依题意，进食增加10500/42000=0.25kg基础代谢5040/42000=0.12kg活动消耗67.2/42000=0.0016kg,例12（药代动力学模型）假定药物以恒定速率K0向一个同质单元进行静脉滴注， K0的单位为单位时间的药量，并且药物在同质单元内按一级消除速率常数K的过
8、程消除。K的单位为时间的倒数。试求此系统药物随时间变化规律。,解：依题意单位时间内药物变化率应该等于输 入与输出之差，则,X,K0,Kx,由 ，得,x,K0,Kx,例13（细菌繁殖非理想环境模型） 除系统本身的繁殖外有的细菌向系统外迁移，其迁移速率是时间t的线性函数，即at+b，系统内繁殖率与细菌的数目成正比，并假定t=0时，细菌的数目为x(0)，求系统的细菌繁殖规律,解：设 为t时刻细菌数目，则,指数函数和线性函数叠加,作业（P186）,2 (1) (3) (9) (10) (12) (13) 8,二、伯努利 ( Bernoulli )方程*,伯努利 (1654 1705),瑞士数学家。他家
9、祖孙三代出过十多位数学家。 1694年他首次给出了直角坐标和极坐标下的曲率半径公式，1695年年提出了著名的伯努利方程，1713年出版了他的巨著猜度术，这是组合数学与概率论史上的一件大事，书中给出的伯努利数在很多地方有用，而伯努利定理则是大数定律的最早形式。此外, 他对双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .,例14 求方程 的通解,解,6.3 二阶微分方程,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,6.3.1 可降阶高阶微分方程,一、 型的微分方程,则,积分两次可求出解,例 求方程的通解,推广,连续积分n次求得通解,例15 求方程的通解,积分一次得,最后积分得,型的微分
10、方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分, 得原方程的通解,二、,例16 求方程 满足初始条件 的特解。,用 代替 ，得,积分得,故特解是,三、,型的微分方程,例17. 求解,分离变量 两端积分得,解:,原式可写为,可降阶微分方程的解法 降阶法,注意：对于y”=f(y) 型的微分方程根据具体方程选择用方法2或方法3，使得降阶后所得方程容易求解； 对于y”=f(x,y,y) 型的微分方程，暂无一般求解方法,6.3.2 二阶线性常系数齐次方程,定义5 如果方程中未知函数的导数(或微分)的最高阶数是二阶的，且所含未知函数及其各阶导数(或微分)都是一次幂的，则称这种方程为二阶线性微分
11、方程，一般形式为：,比较一阶线性微分方程,称之为二阶线性齐次方程；,称之为二阶线性非齐次方程,定理1 若函数y1(x)和y2(x) 是二阶线性常系数齐次微分方程的两个解，则其线性组合 y=C1y1(x)+C2y2(x)也是该方程的解。 其中 Cl、C2 是两个任意常数。,注意这样的解不一定是通解,定理2 若y1(x)和y2(x)是二阶线性常系数齐次微分方程的两个线性无关的特解，则y=C1y1(x)+C2y2(x)是该方程的通解其中C1和C2是两个任意常数。,定义：若两个函数之比不是常数，则称这两个函数是线性无关的,定理3 设y*是二阶线性非齐次方程的一个特解，Y是其对应的二阶线性齐次方程的通解
12、， 则 y=y*+Y是二阶线性非齐次方程的通解。,二阶常系数齐次线性微分方程的解,因为右边为0，所以左边y求导后应与y有相同的形式，可以互相抵消。 猜想 y =?,微分方程变为代数方程：特征方程,有两个相异实根r1和r2,方程有两个线性无关的特解:,解：它的特征方程为,有两个相异实根,所以,例18 求 满足初始条件 的特解。,故所求特解是,例18 求 满足初始条件 的特解。,用初始条件代入得：,解：,例19 求微分方程 的通解。,补充,一对共轭复根,3. 当,时, 特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,则所求方程的
13、通解为,例20 求微分方程 的通解,它的特征方程为,其根为一对共轭复根,总结: 将微分方程转化为代数方程,特征方程:,例 求方程 的通解,例 求方程 的通解,容易错的2个题目,本章小结：看清类型，对症下药 一、一阶方程 1. 可分离变量：分离变量，两边积分 2. 一阶线性：常数变易法、公式法 二、二阶方程 1. 可降阶3种：p=y降阶，再区别对待 2. 二阶线性常系数齐次方程： 解一元二次线性方程，表6-1,作业（P188) 3. (1) (2) (7) (8) 4. (5) (6) (7),答疑 时间：1月20日 上午 9:30-11:30 下午 2:00- 4:00 地点：博学楼B414,题型：填空题、计算题、综合题 考基本概念、基本计算 除了函数作图外，* 部分不考,
