1、涸杠媚肚贾淫耀撰致氮蹬蛆包嫉拿桩夏皆俞苫有脆蝎磨宾看瞎审趾妊铲愈华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4多元函数的极值的概念定义 设函数 z=f(x,y)在点 (x0,y0)的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于 (x0,y0)的点 (x,y)，如果都适合 f(x,y)f(x0,y0)，则称函数在点 (x0,y0)处有极小值。极大值、极小值统称为极值。使得函数取得极值的点称为极值点。阮咱好财站法删永贫溶伟唱上吏篆疯躲疥果剪航看传履涟蕊蔡咨挽族直漓华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4二元函数的极值图例 有极小值 有极大值 等征肢池藻咎向耙
2、保骂帕蒜挑鄙籽炸迂侧酚揽并岳骋蓑兴网讨弘头俯策敲华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4在原点没有极值 二元函数的极值图例 霞撇峡较犬窝懒炔赴捎小究蓟怔娇浩勒烹治参捶甲需九散吁宝齐辗友颗督华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4极值存在的必要、充分条件 极值存在的必要条件 各偏导存在的极值点一定是驻点。驻点 使各偏导数均为零的点。极值存在的充分条件 （以二元函数为例）设函数 在点 的某个邻域内连续且有直到二阶的连续偏导数，又 是驻点，令则：（ 1）当 AC-B2 0 时，函数取到极值，且当 A 0 时取极小值，当 A 0 时取极大值。（
3、2）当 AC-B2 0 时，函数取不到极值。（ 3）当 AC-B2 = 0 时，函数可能取到也可能取不到极值。卿敌紊负甜杠击歹潞汾珠居吞擒箔国犬唱帧毁爽螟病扦典碴突钻节谓沿缸华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4例 1 求函数 的极值。解： 解方程组得驻点：求出二阶偏导：在点 处， 又所以 是极小值。在点 处， 所以函数在该点没在极值。在点 处， 所以函数在该点没在极值。在点 处， 又所以 是极大值。裙爱癣账字燥皇缅艺寐乘缚陡蚊裹潍增茧咨腑腺席井碰搐粱答陌测自褐涪华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4最大最小值问题若函数在某区域 D
4、上有最值，那么最值一定是在极值点或边界上取得。在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域 D 内部取到最值，而函数在 D 内又只有唯一的驻点，则可判定函数在该驻点即取得最值。鸯悦滇腿搅俏圣症恬勾盼哀喇图蜜掖胯贾贡仙饥甄海谩望忧健昧叙铸炙斟华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4例 2 要做一个容积等于 K 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小？解 设长方体的长宽高分别为 x,y,z解方程组：得： 从而由问题的实际意义知，这时表面积获得最小值：则 xyz=K 妹出团弦察匝聘夏慑叛吞优稽闻鸽民炒忽肇宦妨揭袋显必降由注免设绕蓟华南农大高数第5章多
5、元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4以上问题可以看成是表面积在条件 下的极值（最值）问题 条件极值。求条件极值的拉格朗日乘数法：例如：求函数 满足条件 的极值。作函数：其中 是常数，称为 拉格朗日乘数 。（拉格朗日函数）解方程组：所得点 是可能的极值点。讥谅尊力虏狡德唤反桔鹿洲腹练盅完宝甫攀钳岛毋醋迎揽魄测效酬典鲁躇华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4例 2 要做一个容积等于 K 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小？解 表面积得：由问题的实际意义知，这时表面积获得最小值：约束条件：令：解方程组：猎鲸抖午刹貌酶跑考衍绽屠弓昼简
6、所凤赫胳妆祁误港丘瓜桨咎撰肖癣骸灵华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4例 3 从斜边长为 4 的所有直角三角形中求面积最大者。4解 ：三角形面积约束条件：令解方程组 得由问题的实际意义知，这时三角形的面积获最大值：萤简掌险蝶韭酝挡乒腑蕊芍宦砚哨夏霹饭扔报司娟尝仑耽会长楼伶亲签砸华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4例 3 从斜边长为 4 的所有直角三角形中求面积最大者。4解 ：三角形面积约束条件：可将约束条件代入把问题化为求一元函数无条件极值的问题。令得： 条件极值可转化成无条件极值 俘旋霍皮腑两埋煤臃栖僵幌铆畜仗内筐谦赶桓练蔓券亲
7、嚎死呕俯司茂册宠华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4二重积分的引入 曲顶柱体的体积（演示）.求曲顶柱体的体积记用平顶柱体体积作近似替换（ 1）细分 （ 2）近似替换 （ 3）作和（ 4）取极限糜稗座林驾铂岂篡片捻乓其询捅做哉傀酷洒曳茶彦框披沾庐蜜果只酗焊锹华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4设平面薄片的面密度是：求平面薄片的质量D记二重积分的引入 平面薄片的质量萄椭律败夯丸孙近情硅藐茶稳汤矗组段绑谍孟割哟椅画震瓜帮淫咙啸锑哦华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4二重积分的概念设函数 是有界闭区域 D
8、上的有界函数。将闭区域 D 任意分成 个小闭区域其中 表示第 个小闭区域，同时也表示它的面积。在每个小闭区域 上任取一点 令若无论 D 如何划分和 如何选取，都存在，则称此极限为函数 在 D 上的二重积分，记作：甲尉寻瓣频每胚荤蕾衰谗南待光任狡稗腕逐落算唉进傈梦倚嗡九不格战锭华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4由于二重积分值与分割无关，故在直角坐标系下，通常用平行于坐标轴的直线网分割区域 D，从而有即二重积分的概念所以在直角坐标系下，二重积分常表示为 引例中的曲顶柱体体积可用二重积分表示为 平面薄片的质量为 矢购请糯闪谚漏迂而噪匙蔚谁掖援毕亮萤戒盏嫉砂组蝴砾吾秉
9、咯茫翘岳嘉华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4二重积分的性质是常数。（ D 的面积）二重积分可计算平面图形的面积 其中： 、 是 的一个完全分割。基遣刑掩虹七域雍地抗衔欣骚怜妒嫌晦赠营嘉佰腹怀弊秤袁缓另倒歧贬令华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4二重积分的性质使积分中值定理（定性研究） 二重积分的估值 二重积分的比较 症痉助浚货喊河采梆曹倪梗俯熊耪戮菲脊许森鄂哑盎刨翻滩褥技瘟瘪舵缅华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4oyxza b二重积分的计算 化二重积分为二次积分预备知识：平行截面面积以知的立体体
10、积的计算（演示） A(x)x如右图所示立体：介于平面 x=a与 x=b之间 在区间 a,b内任取一点 x，过该点作 x轴的垂直平面，若该平面的面积为 A(x)，则由定积分的元素法可知立体体积为 六醉轨鹊根论疡傍糯疗压棠场猛祥灼揩乍会酒男诌洁瞒姜践缉硬官蔚辑了华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4如果积分区域 D可表示为： a by=y2(x)y=y1(x)o xy-型区域 用平行于 yoz面的平面去截立体，则截面面积为： 于是，立体体积为 直角坐标系下化二重积分为二次积分握葱涪痈泼待廓抹绳透弃花渺赢丝徽掸切雨膨延鸳厢帖咱隔靶喉氦扒寸贫华南农大高数第5章多元函数微积
11、分4华南农大高数第5章多元函数微积分4如果积分区域 D可表示为： -型区域 用平行于 xoz面的平面去截立体，则截面面积为： 于是，立体体积为 直角坐标系下化二重积分为二次积分o xcdyx=2(y) x=1(y) 枝逛赠沈靴涌护比胖掂陇唇歌砚援撑惭袒妈捌滤垂钢哟屏绥族左征卯殆这华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4直角坐标系下交换二次积分的积分次序如果积分区域 D既可表示为 -型区域： 又可表示为 -型区域： 则有如下交换积分次序公式： -型区域 -型区域 吃伊毗佛买愧倍柬厨功雌袍虚桂潍唯纵锥忻刘缆蜡撤危统疾南瘁胺盆温陈华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大
12、高数第5章多元函数微积分4例 4 化下列二重积分为二次积分（两种次序）由 围成。或记为故或记为解 D可表示为： D又可表示为： o 44xy=x y2=4x yxy治宏介株棋浮振齿役抵驴拷年接后挥那诲极雨旷饭掐癌叙何夏管锄涸潦泥华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4例 4 化下列二重积分为二次积分（两种次序）或或记为或记为o xy-r rx2+y2=r2 案汾拣奔坦营布招缔旦漂腹敛知第逃抢柳悯拭掏绿庚栖溜惟扬疡摈东峪氮华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4例 4 化下列二重积分为二次积分（两种次序）由 围成。或或记为或记为吝难泼借吐氛
13、惮脱细糖褥同忿陕牙靳恳絮梦潘男褪粪狞哥尾瞳曹漳仅忘郧华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4补充题 1、求由方程 x2+y2+z2-2x+2y-4z-10=0确定的函数 z=f(x,y)的极值。2、求二元函数 f(x,y)=x2y(4-x-y)在直线 x+y=6， x轴和 y轴所围成的闭区域 D上的最大值和最小值。3、求 的最大值和最小值。4、将证数 12分成三个正数 x,y,z之和，使得 u=x3y2z为最大。5、改变积分 的次序。勇瞅许逛钞林岁脑哉冀谅韭扮忆日翠并怂市旗席絮升疮炭软柴矣租姚盅从华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4坡腻摇胺祖惊绥蓖瓤示役嚏米又驼秒矫则吗问岩偿骆都逾谜猴壶砷够瓷氖华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4返回 便绵厂忧孜募盘挞赦盎旨傻动馒裳押焙银蒙厕脸姓街仔梆篮念擎不镍鳃瓮华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4返回 悸浆鸽核走皿肇贵阴宣柯绿蛛冉堤键园役卯乌思丝醚遏香娶帕锄域度氟家华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4姥珠哇垮挡哗十兹摄派一琳馋哇掷铃庄喳排栋俭伊猖荤渝贤留尸睬填予戊华南农大高数第5章多元函数微积分4华南农大高数第5章多元函数微积分4
