1、数值微积分,基础教学部数学教研室彭 晓 华,立体化教学资源系列数值分析,波形屋顶平材的长度：一个波形屋 顶是通过将一张平的铝材料压成横 断面具有正弦波形式的材料而构造 出来的.现在需要一个48英寸长的 波形屋顶，每个波的高度均离开中 心线1英寸，每个波的周期大约为,英寸.求原来平材的长度.,（从,英寸到,从而这个问题归结为求数值积分问题.,7.1数值积分与数值微分,确定此曲线的长度.根据微积分理论，此长度为,引言：,英寸），,问题为:给定,人口相对增长率：已知20世纪美国人口统计数据如下表，,为了计算表中这些年份的人口相对增长率，记时刻,的,，则人口相对增长率为,它表示每年人口增长的比例.从而
2、这个问题归结为求数值 微分问题.,表7-1 20世纪美国人口统计数据（ ）,人口为,在许多实际工程中，直接或间接地涉及计算导数和计算定积分.在这些微分积分的计算过程中存在如下一些问题：,1、牛顿莱布尼兹公式,大量的被积函数找不到用初等函数表示的原函数；,例如，积分,2、当,微积分理论无法精确求积分，也无法精确求导数.,是由测量或数值计算给出的一张数据表时，,* 对于计算导数的问题，从导数定义想到用差商近似的算 法，即,虽然这种近似计算的精度较差，但是它启示我们可以用两个 点上的函数值来近似求导，如果用有限个点上的函数值，能 否建立一个求导公式并估计误差呢？这是数值微分研究的问 题.,需要研究的
3、问题：,从几何方面看，公式（7.1）表示以区间,的长度为底而高为,恰等于,在,边梯形的面积，见图7-2.问题在于,一般是不知道的，因而难以准确算出,的值.,区间,只要对平均高度,数值求积方法.如果近似地取,.,上的积分值，即曲,的具体位置,称为,提供一种算法，相应地便获得一种,对于计算定积分的问题，根据积分中值定理：存在点,使,. （ 7.1）,图7-2 矩形公式几何意义,的矩形面积，,上函数的平均高度，,如果近似地取,则由公式（7.1）得梯形公式，几何 意义见图7-3.,图7-3 梯形公式几何意义,则公式（7.1）称为中矩形公式,如果取,上有限个节点,的函数值,的加权平,，则公式（7.1）称
4、为机械求积公式,（7.2）,称为求积节点，,称为求积系数.,仅仅与节点,的选取有关，而不,的具体形式.,均值为,其中,依赖于被积函数,问题:,的位置并确定求积系数,才能使求得的积分值具有预先给定的任意的精确度？,(2)怎样估计数值计算的误差？,(1)如何安排求积节点,寻找便于数值计算，又能满足精度要求的微积分公式和方法.,数值积分与数值微分的基本内容：,复习：拉格朗日插值多项式,一、满足插值条件 Pn(xi)=f(xi), ( i=0,1,2,n) n次插值多项式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn 存在而且惟一。,二、Lagrange插值多项式：,称为Lagrange插值基函数。,三
5、、插值余项: Rn (x)= f (x) - Pn (x)=,7.2 牛顿-柯特斯求积公式,上取定,个点,，经过这些点作插值多项式，用插值多项式,，进而确定,如果利用Lagrange插值多项式,型求积公式,其中,插值型求积公式的基本思想：在,7.2.1 牛顿-柯特斯求积公式,代替被积函数,，则有插值,(7.3),等距节点情形:将区间,划分为,等分，步长,，选取等距节点,，此时，,即记,将其代入公式（7.3），得到牛顿-柯特斯公式,其中,称为柯特斯系数，,. （7.5）,， （7.4）,对不同的,柯特斯系数可按公式（7.5）计算.,当,时（有两个等距求积节点），,相应的求积公式就是梯形公式,当,
6、时（有三个等距求积节点），,相应的求积公式就是辛普森公式,（7.7）,（7.6）,时的牛顿-柯特斯公式则特别称为柯特斯公式,当,其中，,（7.8）,柯特斯系数的部分数据见教材104页表4-1.,【注】,这是因为,此式成立.这说明：求积系数与被积函数、节点的选取均无 关，其和恒为1.,时，,出现负值，计算不稳定，故不能应用,的牛顿-,时，公式（7.4）精确成立，因此必有,（2） 根据表7-2，当,柯特斯系数,柯特斯公式.,（1） 柯特斯系数的和恒为1，即,7.2.2 截断误差,上,个等距节点,，得到,的插值多项式,.由于,，因此,牛顿-柯特斯公式的截断误差（即余项）为,（7.9）,已知,当,时，
7、梯形公式的截断误差为,注意到,，若要求,连续，根据,中值定理，则有梯形公式的截断误差,返回例1,如果,连续，,辛普森公式的截断误差为,（7.11）,返回例1,证明：辛普森公式的代数精度是,令,为,的三次埃尔米特插值多项式，满足插值条件：,对多项式,辛普森公式精确成立，即,从而,由积分中值定理得：,柯特斯公式的截断误差为,可以证明，只要,充分光滑，,牛顿-柯特思,其中,公式的余项为,例1 计算积分,，并估计误差.,由于,，所以,，于是，梯形公式的误差,2） 用辛普森公式计算，,由于,，于是，辛普森公式的误差,解 1） 用梯形公式计算,【注】,时，梯形求积公式准确成立；,即梯形公式对一次多项式准确
8、成立，,是,（3） 数值求积方法是一种近似方法，因此，要求求积公式,作为衡量公式逼近好坏的标准之一，下面给出代数精度 的概念.,时，辛普森公式准确成立.,（2） 一般地，由余项公式(7.9)知，当,次多项式,时，积分余项为零，从而牛顿-柯特斯求积公式准确成立.,对尽可能多的被积函数,能准确计算积分值.,而辛普森公式对三次多项式准确成立.,当,（1） 当,7.2.3 代数精度,能准确求出积分值，而对某个,积分，则称该求积公式具有,次代数精度.,【定义1】 如果某求积公式对于次数小于等于,的多项式,次多项式就不能准确求出,例1：验证梯形公式的代数精度m=1,解：,(1)当f(x)=1时,左端：,右
9、端：,左端=右端,这表明求积公式对f(x)=1是准确成立的,(2)当f(x)=x时,左端：,右端：,左端=右端,这表明求积公式对f(x)=x是准确成立的,(3)当f(x)=x2时,右端：,左端右端,这表明求积公式对f(x)=x2不能准确成立,左端：,故梯形公式的代数精度m=1,辛普生公式的代数精度,分别取 f(x) = f(x) = 1, x, x2, x3 ， 则有,所以，辛普生公式的代数精度为3。,由定义1，具有,次代数精度的求积公式（7.3）对,时精确成立，而对,成立.为了构造形如公式（7.3）的求积公式，通过解方程组,可得求积节点,与求积系数,，由此求得具有,次代数精度的求积公式.,不
10、能精确,对牛顿-柯特斯求积公式，有下面结论.,数精度，而当,为偶数时，至少具有,次代数精度.,为任何次数不高于,的多项式时，,，所以,显然结论成立.,为偶数时，只须对,时的结论验证.因为,，由截断误差公式,若令,，则有,注意到,是,的奇函数（,为偶数），因此,，结论成立.,【定理1】 牛顿-柯特斯求积公式（7.4）至少具有,证明 当,当,次代,是,的奇函数（,为偶数）,因此,7.2.4 求积公式的收敛性与稳定性,，其中,，则称求积公式（7.3）是收敛的.,可能产生误差,实际得到,，即,记,如果对任意,，只要,充分小就有,则求积公式的计算是稳定的，即在计算过程中舍入误差不增长.,在求积公式（7.3）中，若,在求积公式（7.3）中，由于计算,【定理2】 若求积公式（7.3）的系数,对任意,，若取,，且,则有,证毕.,则它是收敛的、稳定的.,证明 只证明公式（7.3）的稳定性.,【注】 若牛顿-柯特斯求积公式中系数,则它是收敛的、稳定的.,的牛顿-柯特斯求积公式是不稳定的.,小结：,牛顿-柯特斯公式,其中,称为柯特斯系数，,当,相应的求积公式称为梯形公式,当,时相应的求积公式称为辛普森公式,时称为柯特斯公式,当,其中，,截断误差,牛顿-柯特斯公式的截断误差（即余项）为,当,时，梯形公式的截断误差为,如果,连续，,辛普森公式的截断误差为,柯特斯公式的截断误差为,
