1、第七节 二重积分,特点：平顶.,曲顶柱体体积=？,特点：曲顶.,1、背景：曲顶柱体的体积,(一)二重积分的基本概念,柱体体积=底面积 高,步骤如下：,S : z = f (x,y),任意分割曲顶柱体的底，,分割,D,i,并取典型小区域，,近似,以平代曲,S : z = f (x,y),D,i,步骤如下：,任意分割曲顶柱体的底，,分割,并取典型小区域，,近似,以平代曲,求和,S : z = f (x,y),D,i,步骤如下：,任意分割曲顶柱体的底，,分割,并取典型小区域，,近似,以平代曲,求和,S : z = f (x,y),D,i,步骤如下：,分割,近似,求和,极限,V,.,步骤如下：,分割,
2、近似,求和,极限,曲顶柱体的体积,2、二重积分的定义,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,即,说明：,（2）由定义可知 如果f(x, y)在D上可积 则积分和的极限存在 且与D的分法无关 在直角坐标系中常用平行于x轴和y轴的两组直线分割D 于是小区域的面积为 ixiyi (i1, 2, , n),在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,3、二重积分的性质,下面假定f(x,y),g(x,y)在闭区域D上连续,A为D的面积。,性质2 线性性质,这里A为D的面积。,性质1,性质4,性质3 区域可加性,推论1,推论2,性质5 估值性质
3、,证,所以,于是,性质6(二重积分的中值定理),证,由性质5知,即得证。,(二)在直角坐标系下二重积分的计算,如果积分区域为D ：,c,d,D,z=f (x,y),x=(y),x=(y),y,c,d,D,z=f (x,y),x=(y),x=(y),y,问题：Q( y)是什么图形？,是曲边梯形 !,x=(y),y,c,d,D,z=f (x,y),x=(y),一般记为, 先对 y 后对 x 的二次积分,如果积分区域为：, 先对 x 后对 y 的二次积分,后积的投影,先积的穿线,累次积分,积分区域为：,一般地，, 先对 y 后对 x 的二次积分,后积的投影,先积的穿线,累次积分,求二重积分的步骤,1
4、.画区域D的图像,2.求交点,4.确定积分变量的先后,若是X型，就先 y后x,5.确定上下限,内层积 上下限是外层积分变量的函数，外层积分限是常数,6.确定被积函数,7.计算,3.确定区域的类型X、Y,解法1,先画出积分区域 D，,将 D 向 y 轴投影，,先 x 后 y ,例1,解法2,先 y 后 x,将 D 向 x 轴投影,计算,其中 D 由直线,解,先画出积分区域 D ，,先 y 后 x,将 D 向 x 轴投影，,例2,围成。,解,例3,先求两曲线的交点,先对 y 积分，,解,例4,解,例5,先 x 后 y ,两曲线的交点,解,例5,两曲线的交点,选择积分次序的原则：,若选择先 y 后
5、x ,(1)积分容易；,(2)尽量少分块或不分块.,麻烦。,练习,解,练习,解,练习,或解,用极坐标，,练习,解,三直线交点分别为,练习,解,解,练习,例6,解,积分区域为,将 D 向 y 轴投影, 改写为,解,设,则,例7,改变下面积分的次序:,设,将 D 向 y 轴投影,例8,交换积分次序,解,练习,证,交换积分次序，,练习,解,交换积分次序，,利用对称性简化二重积分的计算,设积分区域D关于y 轴对称，,(1) 若f(x,y)关于 x 是奇函数，则有,(2) 若f(x,y)关于 x 是偶函数，,则有,其中 是D的右半区域。,设积分区域D关于x 轴对称，,(1) 若f(x,y)关于 y 是奇
6、函数，则有,(2) 若f(x,y)关于 y 是偶函数，,则有,其中 是D的上半区域。,注意：不仅要考虑区域的对称性，还要考虑函数的奇偶性。,利用对称性简化二重积分的计算,例9 计算二重积分,解,区域D分别对称于x轴和y轴，,(三)在极坐标系下二重积分的计算,1. 极坐标系的概念,在平面内取一个定点O，叫做极点；,O,引一条射线Ox，叫做极轴；,再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向），,这样就建立了一个极坐标系。,2. 极坐标系内一点的极坐标的规定,对于平面上任意一点P，,P,r,用 r 表示线段 OP 的长度，,用 表示从 Ox 到 OP 的角度,r 称为点 P 的极径，
7、 称为点P 的极角，有序数对 ( r , ) 就称为点 P 的极坐标。,注意：,r 表示点 P 到极点 O 的距离；, 的方向：从Ox (极轴)为始边， OP 为终边。,3. 极坐标系与直角坐标系的转换,把直角坐标系的原点作为极点; x 轴的正半轴作为极轴; 取相同的单位长度,直角坐标与极坐标的转换关系为：,x,y,4. 曲线的极坐标方程,用来表示曲线上点的极坐标 r、 两个变数之间关系的方程称为曲线的极坐标方程.,直角坐标方程化为极坐标方程的方法：,例10 将下列直角坐标方程化为极坐标方程：,例11,解,它表示圆心为(0, 1)，半径为1的圆.,方程两边同乘以r ，得,4. 在极坐标系下计算
8、二重积分,在下述两种情况下,往往利用极坐标来计算二重积分：,1)当积分区域D为圆域、环域或扇形域等时, D的边界用极坐标表示较为简单；,2)被积函数具有 等形式时,用极坐标积分较为容易.,所以面积元素为,计算极坐标系下二重积分 也要将它化为二次积分,在极坐标系下二重积分的计算,直角坐标的二重积分与极坐标的二重积分的变换公式为,(1)极点O在区域D外部D可表示为 D(r, )|, r1()rr2() 于是,在极坐标系下二重积分的计算,直角坐标的二重积分与极坐标的二重积分的变换公式为,(1)极点O在区域D外部D可表示为 D(r, )|, r1()rr2() 于是,3 在极坐标系下二重积分的计算,直
9、角坐标的二重积分与极坐标的二重积分的变换公式为,(2)极点O在区域D的边界上D可表示为 D(r, )| , 0rr() 于是,解,例12,在极坐标系下,解,练习,用极坐标做比较方便，,解,例13,在极坐标系下,解,例14,例15,解,例16,解,直接做麻烦, 化为极坐标,例17,解,习题课,习题课,例1,解,例2,解,例3,解,解,目标函数,约束条件,例4,令,例5,解,例6,解,先去掉绝对值符号，如图,解,例7,解,例8,例9,解,解,例10,解,例11,解,例12,计算积分,解,例13,交换积分次序,解,计算二重积分,例14,由区域的对称性和函数的奇偶性，,可只考虑第一象限部分，,例15 设有平面区域,解,解,选 (A) .,END,END,
