1、多元函数微分学复习,一、内容提要,下页,结束,返回,首页,二、典型例题,内容提要,偏导数,注: (1),(2),(3),偏导数的求法 求函数对一个自变量的偏导数时, 只要把其它自变量看作常数, 然后按一元函数求导法求导即可.,内容提要,全微分,函数zf(x, y)在点(x, y)可微分:,计算公式:,重要关系,内容提要,复合函数求导公式,设 zf(u1, un) 可微 ui(x, y,)偏导数存在 则有,全微分形式不变性,设zf(u, v)具有连续偏导数, 则有全微分,无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数, 它的全微分形式是一样的.,内容提要,隐函数求导公式,F(x, y)=0 确
2、定 y=f(x) 的导数公式,F(x, y, z)=0 确定 z=f(x, y) 的偏导数公式,内容提要,曲线的切向量,光滑曲线 xx(t), yy(t), zz(t) 在 tt0 对应点处的切向量为,曲面F(x, y, z)0与曲面G(x, y, z)0的交线的切向量为,曲面的法向量,曲面 F(x, y, z)0在点M0(x0, y0, z0)处的法向量为,曲面 zf(x, y)在点M0(x0, y0, z0)处的法向量为,内容提要,极值点的必要条件,具有偏导数的极值点必为驻点,极值的充分条件,设f(x y)具有二阶连续偏导数, (x0 y0)为f(x y)的驻点, 令 fxx(x0 y0)
3、A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C 则 (1) ACB20时, f(x0 y0)为极值: 当A0时为极小值 (2) ACB20时, f(x0 y0)不是极值 (3) ACB20时, f(x0 y0)可能为极值 也可能不是极值,内容提要,可微函数最值的求法 将函数在有界闭区域 D内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最值相互比较, 其中最大的就是最大值, 最小的就 是最小值.,如果函数的最值一定在 D的内部取得, 而函数在 D内只有一 个驻点, 那么该驻点处的函数值就是函数在 D上的最值.,拉格朗日乘数法,函数 u f(x, y, z) 在条件 j(x, y, z)0 下的可
4、能极值点为 拉格朗日函数 L(x, y, z, l) 的驻点, 其中,例1 求下列函数的定义域, 并画出定义域的图形.,解 (1),典型例题,例1 求下列函数的定义域, 并画出定义域的图形.,典型例题,解 (2),解 (1),例2 求下列极限.,(2),分析:,例2 证明极限 不存在.,当点(x, y)在直线 y=kx 上时, 有,注: 如果当P以两种不同方式趋于P0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在.,点(x, y)沿不同的直线 y=kx 趋于点(0, 0)时, 函数都趋于0.,若点(x, y)在曲线 y=kx3 上, 则,证明,当点(x, y)在曲线 y=kx3 上时, 有,点(
5、x, y)沿不同的曲线 y=kx3 趋于点(0, 0)时,函数趋于不同的值.,注: 如果当P以两种不同方式趋于P0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在.,因此, 极限 不存在.,例2 证明极限 不存在.,知识点,解1,解2,证,例3 验证函数 满足拉普拉斯(Laplace)方程,知识点,知识点,解,例3 求函数 的偏导数.,令,则,知识点,解,例4 设 zf(2x3y, x2y)g(xy2), 求,记,解,例4 设 zf(2x3y, x2y)g(xy2), 求,记,解,例4 设 zf(2x3y, x2y)g(xy2), 求,解,设,则,知识点,解,设,则,注:,本题利用 ez=xyz
6、代入后, 运算简便得多.,解1,设,则,知识点,方程两边求微分得,解2,知识点,例6 求曲线 x2y2z26, xyz0 在点(2, 1, 1)处的切线 及法平面方程.,解,所求切线方程为,法平面方程为 6(y1)6(z1)0,即 yz0.,令,则切向量,知识点,解,代入椭球面方程, 求得,切平面方程为,例7 求椭球面 x22y2z21 上平行于平面 xy2z 0 的切平面方程.,设所求切点为(a, b, c),法向量,已知平面法向量,由题设,得,即,代入 b 的值, 得,知识点,令,得驻点,在点 (1,1) 处,不是极值；,在点 (1,-1) 处,不是极值；,在点 处,且,所以 为极小值.,
7、例8 求函数 f(x y) x ln x (1 x)y2 的极值,解,知识点,解,得驻点,例8 求 在区域 D上的最值, 其中,解方程组,在 D的边界上,z(y)的驻点为,f 在 D上的最小值为,最大值为,z(y)的可能最值为,知识点,例9 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.,设长方体的三棱长为x, y, z, 则,2xy2yz2xz=a2,得唯一驻点,解1,此处V 取最大值,令,知识点,例9 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.,设长方体的三棱长为x, y, z, 则问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)=a2下的最大值.,作拉格朗日函数,解方程组,F(x, y, z)
8、xyzl(2xy2yz2xza2),因为由问题本身可知最大值一定存在 所以最大值就在,这个可能的极值点处取得 此时,解2,由,解,例10 在第一卦限内作椭球面 的切平面,使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小. 求这切,平面的切点, 并求此最小体积.,设切点坐标为 (x, y, z), 则法向量,切平面方程为,得切平面方程为,该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积为,问题转化为求函数,在以下条件(1)下的极值:,(1),知识点,作拉格朗日函数,问题转化为求函数,在以下条件(1)下的极值:,(1),解方程组,得,这是唯一可能的极值点,所求切点为,所求四面体的最小体积为,在此点体积 V 取最
9、小值.,知识点,偏导数,注: (1),(2),(3),偏导数的求法 求函数对一个自变量的偏导数时, 只要把其它自变量看作常数, 然后按一元函数求导法求导即可.,二阶偏导数,定理 如果两个二阶混合偏导数连续, 则它们相等.,全微分形式不变性,设zf(u, v)具有连续偏导数, 则有全微分,无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数, 它的全微分形式是一样的.,重要关系,复合函数求导公式,设 zf(u1, un) 可微 ui(x, y,)偏导数存在 则有,约定记号,设 zf(u1, u2) 具有二阶连续偏导数 ui(x, y)偏导数存在 则有,隐函数求导公式,F(x, y)=0 确定 y=f
10、(x) 的导数公式,F(x, y, z)=0 确定 z=f(x, y) 的偏导数公式,全微分,函数zf(x, y)在点(x, y)可微分:,计算公式:,曲线的切向量,光滑曲线 xx(t), yy(t), zz(t) 在 tt0 对应点处的切向量为,曲面F(x, y, z)0与曲面G(x, y, z)0的交线的切向量为,直线的对称式方程,过点 M0(x0, y0, z0), 方向向量,的直线方程为,平面的点法式方程,过点 M0(x0, y0, z0), 法向量,的平面方程为,曲面的法向量,曲面 F(x, y, z)0在点M0(x0, y0, z0)处的法向量为,曲面 zf(x, y)在点M0(x
11、0, y0, z0)处的法向量为,平面的点法式方程,过点 M0(x0, y0, z0), 法向量,的平面方程为,两向量平行的条件,极值点的必要条件,具有偏导数的极值点必为驻点,极值的充分条件,设f(x y)具有二阶连续偏导数, (x0 y0)为f(x y)的驻点, 令 fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C 则 (1) ACB20时, f(x0 y0)为极值: 当A0时为极小值 (2) ACB20时, f(x0 y0)不是极值 (3) ACB20时, f(x0 y0)可能为极值 也可能不是极值,可微函数最值的求法 将函数在有界闭区域 D内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最值相互比较, 其中最大的就是最大值, 最小的就 是最小值.,应用题最值的求法,如果已知可微函数的最值一定在定义域 D 的内部取得, 而函数在 D 内只有一个驻点, 那么该驻点处的函数值就是函数在 D上的最值.,拉格朗日乘数法,函数 u f(x, y, z) 在条件 j(x, y, z)0 下的可能极值点为 拉格朗日函数 L(x, y, z, l) 的驻点, 其中,
