1、中国数学教育网 http:/ 第 1 页 http:/ http:/共 12 页1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1已知a3 55,b4 44,c 533,则有 Aabc Bcba Cc ab Da cbA1 B2 C3 D43如果方程(x1)(x 22xm) 0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是4如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为 A62 B63 C 64 D655设AB是O的一条弦，CD是O的直径，且与弦AB相交，记M SCAB S DAB ，N2S OAB ，则 AMN BMN CMN DM 、N的大小关系不确定6
2、设实数a、 b满足不等式 a(ab)a|ab，则 Aa0且b 0Ba0且b0Ca0且b0 Da 0且b0二、填空题1在1 2，2 2，3 2，95 2这95个数中，十位数字为奇数的数共有_个。4以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2 ACBC，则CAB_中国数学教育网 http:/ 第 2 页 http:/ http:/共 12 页第二试一、已知ACECDE90，点B在CE上，CACBCD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F 为CDE的内心。二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数理由。三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和
3、。中国数学教育网 http:/ 第 3 页 http:/ http:/共 12 页1995年全国初中数学联赛参考答案第一试一、选择题1讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有c(5 3)11125 11243 11(3 5)11a256 11(4 4)11b。选C 。利用lg20.3010，lg30.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。2讲解：这类方程是熟知的。先由第二个方程确定z1,进而可求出两个解：(2，21，1) 、(20 ，3，1) 也可以不解方程组直接判断：因为xy(否则不是正整数)，故方程组或无解
4、或有两个解，对照选择支，选B。3讲解：显然，方程的一个根为1，另两根之和为x 1x 221。三根能作为一个三角形的三边，须且只须x 1x 21又有044m1中国数学教育网 http:/ 第 4 页 http:/ http:/共 12 页4讲解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一又由AB2AD 225 260 25 2（5 212 2）5 2132(3 2 42)13239 252 2BC 2CD 2故可取BD65为直径，得周长为65，选D5讲解：此题的得分率最高，但并不表明此题最容易，因为有些考生的理由是错误的比如有的考生取AB为直径，则 MN 0，于是就选B其实，这只能
5、排除A、C，不能排除D不失一般性，设CEED，在CE上取CFED，则有OFOE，且S ACES ADE SAEF 2S AOE同理，S BCE S BDE 2S BOE 相加，得SABC SDAB 2S OAB ，即 MN选B若过C 、D 、O分别作AB的垂线（图3） ，CEAB 、DFAB、OL AB，垂足分别为E、F 、 L连CF 、DE，可得中国数学教育网 http:/ 第 5 页 http:/ http:/共 12 页梯形CEDF又由垂径分弦定理，知L是EF的中点根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有CEDF 2OL即MN选B6讲解：取a -1
6、、b2 可否定A、C、D，选B一般地，对已知不等式平方，有a(ab) aa b显然a (ab) 0（若等于0，则与上式矛盾） ，有两边都只能取1或-1，故只有1-1，即有a0且ab0，从而b -a0选B二、填空题1讲解：本题虽然以计算为载体，但首先要有试验观察的能力经计算1 2，2 2，10 2，知十位数字为奇数的只有4 216，6 236然后，对两位数10a b，有（10ab） 2 20a（5ab)b 2其十位数字为b 2的十位数字加上一个偶数，故两位数的平方中，也中有b4或6时，其十位数字才会为奇数，问题转化为，在1，2，95中个位数出现了几次4或6，有291192.讲解：这类问题一般都先
7、化简后代值，直接把a学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将a2a作为整体代入这里关键是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活比如，由有中国数学教育网 http:/ 第 6 页 http:/ http:/共 12 页由，得由并将代入，得还可由得即得所求3讲解：这个题目是将二次函数yx 2x与反比例函数因而x1时，y有最小值14讲解：此题由笔者提供，原题是求sinCAB，让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角函数值中国数学教育网 http:/ 第 7 页 http:/ http:/共 12 页sin75、sin15解法如下：与AB 2AB 2AC 2 联立，可推出而式、表明，
8、AB、AC是二次方程改为求CAB 之后，思路更宽一些如，由中国数学教育网 http:/ 第 8 页 http:/ http:/共 12 页第二试一、讲解：首先指出，本题有IMO29-5（1989年）的背景，该题是：在直角ABC 中，斜边BC上的高，过ABD的内心与ACD的内心的直线分别交边AB和AC于K和L，ABC和AKL的面积分别记为S和T求证S2T 在这个题目的证明中，要用到AK ALAD今年的初中联赛题相当于反过来，先给出AKALAD(斜边上的高)，再求证KL 通过 ABD、ADC的内心（图7） 其次指出，本题的证法很多，但思路主要有两个：其一，连FC、 FD、FE，然后证其中两个为相应
9、的角平分线；其二是过F作三边的垂线，然后证明其中两条垂线段相等下面是几个有代表性的证法证法1：如图6，连DF，则由已知，有连BD、CF，由CDCB，知FBDCBD 45CDB45 FDB，得FB FD，即 F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF 是 ECD的平分线由于F是CDE 上两条角平分线的交点，因而就是CDE的内心证法2：同证法1，得出CDF459045FDE之后，由于ABC=FDE，故有 B、E、D 、F 四点共圆连EF，在证得FBD=FDB之后，立即有FEDFBDFDBFEB ，即EF是CED的平分线中国数学教育网 http:/
10、 第 9 页 http:/ http:/共 12 页本来，点E的信息很少，证EF为角平分线应该是比较难的，但四点共圆把许多已知信息集中并转移到E上来了，因而证法 2并不比证法1复杂由这个证明可知，F 是DCB的外心证法4：如图8，只证CF为 DCE的平分线由AGC GBAGAB452，AGC=ADC=CAD=CAB+ 1=45+1得12从而DCFGCF，得CF 为DCE的平分线证法5：首先DF是CDE的平分线，故CDE的外心I在直线DF上现以CA为y轴、CB 为x轴建立坐标系，并记 CACB CDd,则直线AB是一次函数y-x d 的图象（图9） 若记内心I的坐标为（x 1，y 1） ，则中国
11、数学教育网 http:/ 第 10 页 http:/ http:/共 12 页x1y 1CHIHCHHB CB d满足，即I在直线AB上，但I在DF上，故I是AB与DF的交点由交点的唯一性知I就是F，从而证得F为Rt CDE的内心还可延长ED 交O于P 1，而CP 为直径来证二、讲解：此题的原型由笔者提供题目是：于第一象限内，纵坐标小于横坐标的格点这个题目的实质是解不等式求正整数解直接解，数字较繁但有巧法，由及1yx，知12(x1) 199512x但1953126219951262632016，得x63，从而y21，所求的格点为(21，63)经过命题组的修改之后，数据更整齐且便于直接计算有x
12、2x1810x当x0时，有x 211x180，得2x9，代入二次函数，得合乎条件的4个整点：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);当x0时，有x29x180，得-6 x-3 ，代入二次函数，得合乎条件的2个整点：(-6,6),(-3,3)对x0，取x2,4,7,9,12,14,顺次代入，得(2，2)、(4，3)、(7，6)、(9，9)，且当 x9时，由对x-x，再无满足yx的解故一共有6个整点，图示略解法3：先找满足条件yx的整点，即分别解方程x211x180 x29x180 可得(2 ，2) 、 (9，9)、(-6，6)、(-3，3)再找满足yx的整点，这时2x9或-6 x-3 ，依次检验得(4，3) 、(7，6)故共有6个整点三、讲解：直观上可以这样看，当n6时，在2，3，n2中，必有一个数A与n互质(2An2)，记Bn A2，有nAB此时，A与B必互质，否则A与B有公约数d1，则d也是n的约数，从而A与n有大于1的公约数，与A、n互质矛盾但是，对于初中生来说，这个A的存在性有点抽象，下面分情况，把它具体找出来(1)当n为奇数时，有n2(n 2)，(2)当n为偶数，但不是 4的倍数时，有(3)当n为偶数，且又是 4的倍数时，有中国数学教育网 http:/ 第 12 页 http:/ http:/共 12 页
