1、 http:/ 宝山家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！圆中的分类讨论由于圆中的点、线在圆中的位置分布可能有多种情况，经常会导致其答案的不唯一性。如：点与圆的位置关系，点可能在圆内，也可能在圆外；两条弦的位置关系，可能在某一条直径的同侧，也可能在直径的异侧；圆与圆相切，可能外切，也可能内切，等等。因此，求解圆的有关问题时，要注意分类讨论思想。一、点与圆的位置关系不唯一性例1.若所在O 所在平面内一点 P 到O 上的点的最大距离为 a，最小距离为 b（ab） ，则此圆的半径为（ ） 。（A） （B） （C） 或 （D）a+b 或 ab分析：P 可能在圆内，也可能在 圆外
2、。图11 图12P 在圆内时。如图11。连接 O、P 所在的直线交 O 于 A、B 。则 PA=a，PB=b 直径 AB=PA+PB=a+b，半径 OA=OB= AB= （a+b）P 在圆外时。如图12。此时直径 AB=PAPB=a b ，半径 OA=OB= AB= （ab）http:/ 宝山家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！由可知，应选（C） 。二、弦与弦的位置关系不唯一性例2.O 的半径为5cm ，弦 ABCD，AB=6cm，CD=8cm，则 AB 与 CD 之间的距离是（ ） 。（A）7cm （B）8cm （C ）7cm 或1cm （D1cm分析：弦 AB 与
3、 CD 可能在圆心的同侧，也可能在 圆心的异 侧。图21 图22弦 AB 与 CD 在圆心的同侧。如图21。过 O 作弦 AB 的垂线，交 AB 于 M，交 CD 于 N。连接 OB，OD 。ABCD ，OMAB，ONCD由垂径定理，BM= AB=3cm，DN= CD=4cm，又 OB=OD=5cm在 Rt BMO 中，OM= =4cm，同理 ON=3cmMN= OM ON=43=1 cm弦 AB 与 CD 在圆心的异侧。如图22。此时，MN=OM+ON=4+3=7cm 故选（C） 。例3如图，已知 AB 是O 的直径，AC 是O 的弦，AB=2，AC= ，在图中画出弦 AD，使AD 等于1，
4、并求出CAD 的度数。http:/ 宝山家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！分析：弦 AC 与弦 AD 可能在直径 AB 的同侧，可能在直径 AB 的异侧。弦 AC 与弦 AD 在直径 AB 的同侧。如图31。连 OC、OD。由 OC=OD= AB=1，AC=OC +OD =AC AOC=90，CAO=ACO=45又 OA=OD=AD，DAO=60DAC=DAOCAO=15弦 AC 与弦 AD 在直径 AB 的异侧。此时，DAC=DAO+CAO=115三、点在直径上的位置不唯一性例4已知O 的直径 AB=10cm，弦 CDAB 于点于点 M。若 OM：OA=3：5，则
5、弦 AC 的长为多少？分析：垂足 M 可能在半径 OA 上，也可能在半径 OB 上。http:/ 宝山家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！M 在半径 OA 上。如图41。连接 OC。OC=OA= AB=5cm， 又 OM：OA=3：5，OM=3cm AB 是直径，弦 CDAB 在 RtOMC 中， MC= =4cm又 AM=OAOM=2cm在 RtAMC 中，AC= = =2 （cm）M 在半径 OB 上。如图42.此时，AM=OA+OM=8cmAC= = =4 （cm ）四、弦所对圆周角的不唯一性例5圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（ ） 。30或
6、60（B）60（C）150（D ）30或150（A） （B） 分析：弦（不是直径）所 对的弧有两条，一条 优弧，一条劣弧，因此，一条弦所对的圆周角也有两个，并且这两个圆周角互 补。http:/ 宝山家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！如图5。劣弧所对的角为ACB，优弧所对的角为ADB。由 AB=0A=OB，AOB=60ACB= AOB=30 ADB= （360AOB ）= （36060）=150 故选（D）五、圆与圆的位置关系不唯一性例6如果两圆相切，两圆的圆心距为8cm，圆 A 的半径为3cm，则圆 B 的半径是（ ） 。5cm （B ）11cm （C ）3cm （
7、D）11cm 或5cm（A） （B） 分析：圆与圆相切，可能是内切，也可能是外切。两圆外切。如图61。AB=8+3=11cm两圆内切。如图62。AB=83=5cm 故选（D）六、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一性http:/ 宝山家教http:/ 10 年专注，8 万上海家长首选朗朗家教网！例7已知相交两圆的半径分别为5cm 和4cm，公共弦长6cm，则这两个圆的圆心距为 。分析：两圆圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。圆心在公共弦的异侧。如图71。连接 O A，O A。由圆的对称性，O O 垂直平分公共弦 AB。 AD= AB=3在 Rt A O D 中，O D= =4在 Rt A O D 中，O D= =O O = O D+ O D=4+圆心在公共弦的同侧。如图72。此时，O O = O D O D=4故这两个圆的圆心距为4+ 或4 。
