1、1细说圆中的分类讨论题 -之两解情况钱漪由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性,有许多问题需要分类讨论,分类讨论是一种同学们应该掌握并且相当重要的数学思想，对于锻炼同学们的缜密思维和分析问题能力异常的重要，但同学们在遇到分类讨论题时易出现漏解情况,这就要求同学们在解题时一要读懂题意，明白题干的要求，二要有顺序步骤的做。先从几个方面举例说明如下:一、根据点与圆的位置分类例、点 P 是圆 O 所在平面上一定点，点 P 到圆上的最大距离和最短距离分别为和，则该圆的半径为 。分析：根据点和圆的位置关系，这个点 P 与圆有两种位置关系。分为点在圆内和点在圆外两种情况。解：过点 P 和圆
2、心 O 作直线分别与圆 O 相交于A、B 两点。 PA、PB 分别表示圆上各点到点 P 的最长距离和最短距离。（1）当点 P 在圆内时；（2）当点 P 在圆外时;所以，圆 O 的直径为 2 或 6。二、三角形与圆心的位置关系例：已知 内接于圆 O， ，ABCBC35则 的度数为_。分析：因点 A 的位置不确定。所以点 A 和圆心 O 可能在 BC 的同侧，也可能在 BC的异侧。也可分析为圆心在 的内部和外部两种情况。解：（1）当点 A 和圆心 O 在 BC 的同侧时，如图 3，OBC3510BC5OAP图 3 图 4PO BAPO BA2（2）当点 A 和圆心 O 在 BC 的异侧时，如图 4
3、，BC3510BPC5A125所以 的度数是 或 。2练习：已知圆内接 中，AB=AC，圆心 O 到 BC 的距离为 3cm，圆的半径为6cm,求腰长 AB。（两种情况如图 5、图 6）D COBACDOBA图 5 图 6三、角与圆心的位置关系例 3:在半径为 1 的O 中，弦 AB、AC 的长分别为 和 ，则BAC 的度数是32_。分析：角与圆心的位置关系为圆心在角内部和外部两种情况。解：如图 7，当圆心在BAC 内部时，连接 AO 并延长交 O 于 E在 Rt ABE 中，由勾股定理得： ,所BEA12以BAE30同理，在 Rt CAE 中，ECAC，所以EAC45， AC30457当圆心
4、 O 在BAC 的外部时（BAC），由轴对称性可知：所以BAC 为 75或 15 BAC45301 C E COB A3四、圆中两平行弦与圆心的位置关系例 4. 圆 O 的直径为 10cm，弦 AB/CD，AB=6cm， ，求 AB 和 CD 的距CDcm8离。分析：题中的弦 AB、CD 都比圆 O 中的直径小，所以 AB 和 CD 可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。解：（1）当 AB、CD 在圆心的同侧时，如图 8，过点 O 作 交 AB 于点 M，交 CD 于 N，连结ABOB、OD ，得 ， ，然后由勾股定理RttD求得： ，故 AB 和 CD 的距离cmNc43，为 1cm。（2）
5、当 在圆心的异侧时，如图 9，仍可求得ABC、。故 AB 和 CD 的距离为OMcNc43，7cm。所以 AB 和 CD 的距离为 1cm 和 7cm。五、圆与圆的位置关系例 5、已知圆 和圆 相内切，圆心距为 ，圆 半径为 ，求圆 的半O121cmO24cO1径。分析：根据两圆相内切的特点：圆心距等于大圆半径减去小圆半径。但该题的条件中没有给定谁是大圆，谁是小圆。这时可把圆 看成大圆，也可把圆 看成小圆。22解：（1）当圆 是大圆时，则圆 的半径等于大圆半径 4cm 减去圆心距 1cm，O21求得圆 的半径为 3cm。（2）当圆 是小圆时，则圆 的半径等于小圆半径 4cm 加上圆心距 1cm
6、，求得21NMC DOBANMC DOBA4圆 的半径为 5cm。O1所以圆 的半径是 3cm 或 5cm。1例 6、两圆相切，半径分别为 4cm 和 6cm，求两圆的圆心距 。分析：此题中的两圆相切没有说明是内切还是外切，所以应该分两种情况考虑。解：（1）当两圆内切时，两圆心的距离等于大圆半径减去小圆半径，即。42cm（2）当两圆外切时，两圆心的距离等于大圆半径加上小圆半径，即。60所以两圆的圆心距是 2cm 或 10cm。例 7、相交两圆半径分别为 5 cm 和 4cm ，公共弦长 6cm，则两圆的圆心距等于_分析：注意两圆心在公共弦长两侧和同侧两种情况补充： 1、弦所对弧的优劣情况不确定
7、已知横截面直径为 100cm 的圆形下水道，如果水面宽 AB 为 80cm，求下水道中水的最大深度。20cm 或 80cm2、已知圆 和圆 相内切，圆心距为 ，圆 半径为 ，求圆 的半径。O121cmO24cO1分析：根据两圆相内切的特点：圆心距等于大圆半径减去小圆半径。但该题的条件中没有给定谁是大圆，谁是小圆。这时可把圆 看成大圆，也可把圆 看成小圆。225解：（1）当圆 是大圆时，则圆 的半径等于大圆半径 4cm 减去圆心距 1cm，O21求得圆 的半径为 3cm。（2）当圆 是小圆时，则圆 的半径等于小圆半径 4cm 加上圆心距 1cm，求得21圆 的半径为 5cm。O1所以圆 的半径是
8、 3cm 或 5cm。13、相交两圆的半径分别为 8 和 5，公共弦为 8，这两个圆的圆心距等于_。分析：因两圆的半径都大于公共弦长的一半，所以两圆的圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。解：（1）当两圆的圆心在公共弦的同侧时，如图 6，设 AB 是公共弦， 交 ABO12于点 C，则 ，由勾股定理解得 ，故 。A4OC1243， 1243AB12图 6（2）当两圆的圆心在公共弦的异侧时，如图 7，可求得 。故OC1243，。O1436AO1C2B所以这两圆的圆心距为 或 。4334、如图 8，在平面直角坐标系中，P 是经过 O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P
9、 与 O、B 不重合），则OAB_度，OPB_度。解：依题意可知AOB 是等腰直角三角形，所以OAB 45当动点 P 在 上时，OPB OAB 45OAB当动点 P 在 上时，OPB 18045135故OPB 为 45或 135。5、已知半径为 4 和 的两圆相交，公共弦长为 4，则两圆的圆心距为2_。分析：相交两圆圆心的位置有在公共弦的同侧和异侧两种情况。解：如图 9、图 10，在 中，RtOAC1OAC112243在 中，t2 2222（1）当圆心 在公共弦 AB 的同侧时，12、7如图 9OC12123（2）当圆心 在公共弦 AB 的异侧时，如图12、10， 136、已知在直径 AB 为
10、 13 的半圆上有一点C，CDAB，垂足为 D，且 CD6，求 AD 的长.分析：由于 6 ，即 CD AB，所以点 D 在直径上的位置有两种情况：132 12解：（1）如图 3，当点 D 和点 A 在圆心 O 的同旁时（ADBD）在 RtCOD 中，OD ，则 ADOAOD4；256)3(22C（2）如图 4，当点 D 和点 A 在圆心的两旁时（ADBD）.同理可求 OD ，则 ADAOOD 9.52 132 52故所求的 AD 的长为 4 或 9.点评：图形的位置关系是几何研究的重要方面，应考虑到图形所有可能情况，全面性地思考问题如：本例中，由于圆的轴对称性，相同长度的弦位置往往不止一个本
11、题可以拓展到整圆：已知：O 的半径为 5，AB 为直径，弦 CDAB，CD=6，则AE= (1 或 9)7、如图,在平面直角坐标系中,已知C 的半径为 r,直线 l: ,与 x 轴、y 轴分别交4y=-3于 A、B 两点. （1）当 r=1.5 时，将C 从点 C 与坐标原点重合开始, 沿 y 轴向下运动,当C 与直线 l相切时,点 C 移动的距离是 6.5 或 1.5（2）若点 C 位于坐标原点 O,当C 与OAB 的斜边 AB 有 1 个公共点时,r 的取值范围OA BCD图3O DA BC图4xyBAO8是 r2.4 或 3r 4 。（3）若点 C 位于坐标原点 O,当C 与OAB 的边有 2 个交点时,r 的取值范围是0r2.4 或 3r 4 。8、如图，ABC=90，O 为射线 BC 上一点，以点 O 为圆心， 长为半径作O，当1B2射线 BA 绕点 B 按顺时针旋转 （60 或 120） 时与O 相切 CABO
