1、理科数学模拟训练（4）本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟.第 I 卷（选择题）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知 ， 为虚数单位，且 ，则 的值为 （ ）,xyRi(2)1xiyi()xyiA 4 B一 4 C 4+4 D22在等差数列 中，若 ，则该数列的前 2009 项的和为（ ）na10451063aA3000 B2009 C2008 D 20073设 x 、y 均为正实数，且 ，则 xy 的最小值为（ ）32xyA4 B C9 D1
2、644.已知直线 m、n 及平面 ，其中 mn，那么在平面 内到两条直线 m、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。其中正确的是（ ）A、 （1） （2） （3） B、 （1） （4） C、 （1） （2） （4） D、 （2） （4）5在ABC 中，a，b，c 分别为A 、B、C 、的对边，若向量 和(,1)ab(,)n平行，且 ，当ABC 的面积为 时，则 b=（ ）54siB23A B2 C D2+31436执行图 1 的程序框图，若输出的 n5，则输入整数 p 的最小值是（ ）A 15 B14 C 7 D 67将一颗骰子投掷两次，第一次
3、出现的点数记为 ,第二次出现的点a数记为 b，设两条直线 平行的概率为 ，12:,:laxbylxy1P相交的概率为 ，则复数 所对应的点 与直线2PiP2:lxy的位置关系（ ） 图1A 在直线 的右下方 B 在直线 的右上方2l 2l开始 10nS，?p是输入 p结束输出 n12nS否C 在直线 上 D 在直线 的左下方P2l P2l8已知抛物线 ，直线 . 、 为曲线 的两切线，切点为 . :4xy:1lABC,AB令甲：若 在 上，乙： ；则甲是乙（ ）条件lPABA 充要 B 充分不必要 C 必要不充分 D 既不充分也不必要第卷 非选择题 ( 共 110 分)二、填空题：本大题共 7
4、 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分. （一）必做题（912 题）9某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有 种、 种、 种、 种不同的品牌现采用分层301352抽样的方法从中抽取一个容量为 的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的n品牌数是 ，则 7n10 已知函数 为常数） ，当 时，函数 取得极值，321().fxbxc(,2x()fx若函数 只有三个零点，则实数 c 的取值范围_.11 设 x,y 满足约束条件 ，若 132xy的最小值为 ，则 的值0134xyaz2a_.12 定义一个对应
5、法则 ： .现有点 与f/,0,Pmnnm/1,3A，点 是线段 上一动点，按定义的对应法则 ： 。当点/3,1B点 /M/ABf/M在线段 上从点 开始运动到点 结束时，点 的对应点 所经过的路线长度/ / /为_.（二）选做题（1315 题，考生只能从中选做两题）13.(坐标系与参数方程选做题 ）在直角坐标系中，参数方程为 的为 参 数 ）ttyx(213直线 ，被以原点为极点、 轴的正半轴为极轴、极坐标方程为 的曲线 所截，lx cosCBDOACP则得的弦长是 14.(不等式选讲选做题）设函数 1)，且 的最小值为 ，若()|4|fxxa()fx3，则 的取值范围是_)5fx15.(几
6、何证明选讲选做题）如图 3，点 P 在圆 O 直径 AB 的延长线上，且 PB=OB=2,PC 切圆O 于 C 点，CD AB 于 D 点，则 PC= ，CD= 图 3三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16 （本小题满分 13 分）已知 设函数),cos2,(in),cos,35( xbxa2()|.fxab（）当 ,求函数 的的值域；6)(xf（）当 时，若 =8, 求函数 的值；2x()12fx()将函数 yf( x)的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的纵坐标向12下平移 5 个单位，得到函数 yg(x)的图象，求函数 的表达
7、式并判断奇偶性.()gx17 （本小题满分 12 分）为深入贯彻素质教育，增强学生体质，某中学从高一、高二、高三三个年级中分别选了甲、乙、丙三支足球队举办一场足球赛。足球赛具体规则为：甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两个队比赛一场）.共赛三场，每场比赛胜者积 3 分，负者积 0 分，没有平局.在每一场比赛中，甲胜乙的概率为 31，甲胜丙的概率为 41，乙胜丙的概率为 31.（）求甲队获得第一名且丙队获得第二名的概率；（）设在该次比赛中，甲队积分为 ，求 的分布列和数学期望.18 （本小题满分 13 分）如图，分别是直三棱柱 直观图及其正视图、俯视图、1ABC侧视图.（）求证： 平面 ；M
8、N1AC（）求证： 平面 ；B()求二面角 的大小.12007012619 （本小题满分 14 分）2008 年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩. 据科学测算，跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是一经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件） ，且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面 米，入水处距池边 4 米，同时2103运动员在距水面 5 米或 5 米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.()求这个抛物线的解析式；()在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为()中的抛物线，且
9、运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为 米，问此次跳水会不会失误？35请通过计算说明理由；()某运动员按()中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？20 （本小题满分 14 分）在直角坐标平面上，O 为原点，M 为动点，. 过点 M 作 MM1y 轴于 M1，过 N 作 NN1x 轴于点 N1，25|,MN. 记点 T 的轨迹为曲线 C，点 A（5，0） 、B（1，0） ，过点 A 作直线 lOT1交曲线 C 于两个不同的点 P、Q（点 Q 在 A 与 P 之间）.()求曲线 C 的方程；()是否存在直线 l，使得 |BP|=|BQ|，
10、并说明理由.21 （本小题满分 14 分）已知数列 中的各项均为正数，且满足na.记 ，数列 的前 项和为 ，且.1112,nnaN2bnbnx1()2nfx()数列 和 的通项公式；nbna()求证： .12312 2nfffxx NLABC1A1CN1BMaM正 视 图 aa2侧 视 图aM俯 视 图【答案及详细解析】一、选择题：本大题理科共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B解析：由 有 1,2yx 4)2()(4ii2C解析：由 得 ，从而 , 1045063a105a120920909aS选 C若直接用通项公式和求和公式求
11、解较复杂，解答中应用等差数列的性质 + m= + ，结论巧妙产生，过程简捷，运算简单 napq3D解析：由 可化为 xy =8+x+y, x，y 均为正实数， xy =8+x+y312xy（当且仅当 x=y 等号成立）即 xy-2 -8 ，可解得 ,即 xy 16y8 0xy4故 xy 的最小值为 16解决本题的关键是先变形，再利用基本不等式 来构造一个(,0)2ab新的不等式4C解析：如图（1） ，在平面内不可能有符合题意的点；如图（2） ，直线 a、b 到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图（3） ，直线a、b 所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为
12、一条直线，从而选 C(1)ba(3)ba(2)ba5B解析：由向量 和 共线知 ，由(,1)ma(,1)ncbca2，由 cba 知角 B 为锐角，4523sin1cac，联立得 b=2. 53253cosacbB6A解析：当 时，此时 ；当 时，此时 ；当 时，此时1n0s2n01s3n；当 时，此时 ；当 时，此时03s4175；此时只要 p 的值为 15 即可使得判断框取“否” ，从而输出 n25的值为 5.处理此类问题时，一定要注意多写几步，从中观察得出答案；本题若将 与1的位置调换一下，则情况又如何呢？同学们可以考虑一下.12nS7D解析：易知当且仅当 时两条直线只有一个交点，而 的
13、情况有三种：12ab12ab（此时两直线重合） ； （此时两直线平行） ； （此1,ab,4b3,6b时两直线平行）.而投掷两次的所有情况有 种，所以两条直线相交的概率63；两条直线平行的概率为 = ， 所对应的点为236P1P2812PiP，易判断 在 的左下方，选 D.1(,)8P1(,)82:lxy本题 融合了直线、线性规划、概率及复数等有关知识，在处理方法上可采用枚举法处理，注意不等忽视了直线重合这种情况，否则会选 C.8A解析：设 ，由导数不难知道直线 的斜率分别为221(,)(,)4xB,PAB进一步得 ，由可12,.2PAPBkx:PA21.4xy21:.4xy得点 ， （1）因
14、为 在 上，所以 ，所以(,)4l12，所以 ；（2）若 ， x2xk21PBA PBAPB，即 ，从而点 在 上.1421P pyl二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分. （一）必做题（9-12 题）9 解析： ，从而 .20n10325103n20n10 解析： ，当 取.340ccbxxf231)(bxxf2)()(,xf时得极值，得 又当 x 充分小时 又当 x 充分大时， 若 有1b0)(f .0)(f3 个实根，则 ，得23)(0cfc4.3c本题在函数、导数、方程的交汇处命题，具有较强的预测性，解题的关键是：深刻理解函数“零点”的定义
15、及数形结合方法的使用.111解析： 121xyxy，而 表示过点(x,y)与（-1.-1 ）连线的斜率,易知 ，所以可作出可行域，知 的最小值是 即0a 14.min()()1314yax (-1,-1)yxo4a3a涉及到线性规划的题目，每年必考；就此题而言，式子 的处理应当成231xyz为解决本题的关键，一般来说，高考题中的分式结构在处理方式上一般是分离变形，这样其几何意义就表现来了.12 解析：本题以定义的一种新的变换为入手点，主要考查直线与圆的有关知识.由3题意知 的方程为： ，设 ，则 ,从而有 ，易知/AB4xy/(,)Mxy2()xy24xyBDOACP， ，不难得出 , ,则/
16、1,3(,)A/3,1(,)B3AOX6B,点 的对应点 所经过的路线长度为 .6OB/M12_O_Y_X_B_A_B弄懂定义的本质是解题关键；针对本题，通过阅读题意，不难知道由变换得到点的轨迹是圆的一部分.（二）选做题（13-15 题，考生只能从中选做两题）13 解析：由题意知，直线 的倾斜角为 ，并过点 （2，0） ；曲线 是以3l30AC（1，0）为圆心、半径为 1 的圆，且圆 也过点 （2，0） ；设直线 与圆 的另一个交Cl点为 ，在 中， BOARtcos2B14 解析：由题意知，满足条件的 ；解不等式 有83x 7a574x15 ， 解析：由切割线定理得 ,2212PCB；连结
17、OC，则 , ,3PC1O301D三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16 （本小题满分 13 分）解：() 22 2223 3()|5sincos4cosinfxabxxx分3 分251cos2553sincos3sin25xxxx； 4 分(2)6由 , 6 分672,xx得 1)6si(2x75()10.f时 函 数 的 值 域 为分() ,3()5sin(2)58,sin(2)66fxx则； 8 分7,6x得所以 9 分4cos(),5= 10 分12fx 3insi(2)57.62xx()由题意知 ，()5i()5sin()5sin2
18、16f gxx所以 ； 12 分sngx，故 为奇函数 13 分()i(2)i()xx17 （本小题满分 12 分）解：()设甲队获第一且丙队获第二为事件 A,则 .18341Ap3 分() 可能取值为 0、3、6， 4 分则甲两场皆输： P.214315 分甲两场只胜一场： 5p6 分甲两场皆胜： 12436. 8 分的分布列为:0 3 6P21251210 分E.4716530 12 分18 （本小题满分 13 分）解：()以 C 为原点，分别以 CB、 、1CCA 为 x、y、z 轴建立坐标系，则， ， ，1ABaA0,a10,a， ，aM,2N2， ，3 分1C0,2 ， MN，故 MN平面 4 分A1C1AC() 、 ，1,aB,0 ；6 分B又 ，7 分1aMN002，MN ，MNCB，C 1AB 平面 9 分1AB()作 CHAB 于 H 点，平面 ABC平面 ，CH平面 ，10 分11故平面 的一个法向量为 ，1 aC,02而平面 的一个法向量为 ，11 分1ABCMN, ，12 分aH12cos,N故二面角 的大小为 13 分1ABC319 （本小题满分 14 分）解：() 由题设可设抛物线方程为 ,且 ，2()(0)yfxabca()021fABC1A1CNBMzxy
