1、- 1 -理科数学模拟训练（7）本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟.第 I 卷（选择题）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知复数 ，则 12zi1zA B C D ii1i2. 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积为 A B C D 4323. 为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁18 岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如图根据上图
2、可得这 100 名学生中体重在56.5,64.5的学生人数是A20 B30 C40 D504. 四名犯罪嫌疑人同时落网，但是他们只承认参与了犯罪行为，却都不承认自己是主犯. 在警察审问的时候，四个人的回答如下：甲说：丙是主犯，每次都是他负责的；乙说：我不是主犯；丙说：我也不是主犯；丁说：甲说得对. 警方通过调查，终于查出了主犯，发现他们之中只有 1 个人说了真话，其余 3 个人都说了假话，据此可推知A甲是主犯 B乙是主犯 C丙是主犯 D丁是主犯5. 函数 的值域是 ()cos2infxxA B C D ,19,80,190,86天文台用 万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用
3、，第 天的维修保养费3. n为元 ，使用它直至报废最合算（所谓报废最合算是指使用的这台仪器的日平均耗资最少）4910n*()N为止，一共使用了A600 天 B800 天 C1000 天 D1200 天7. 若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：， ， ，则1()3xf2()43xf85()log3l2xfA. 为“同形 ”函数,B. 为“同形”函数，且它们与 不为“同形”函数f 3()fC. 为“同形”函数，且它们与 不为“同形”函数13(),x 2xD. 为“同形”函数，且它们与 不为“同形”函数2f f- 2 -开始s=1i=3s 100
4、 ?s=s i输出 ii=i+2结束是否8若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则 的取值范围是024xys s 或s 0 22 40s 2 4第卷 非选择题 (共 110 分)二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分. （一）必做题（912 题）9已知 、 是两个非零向量，且 ，ab|ab则 与 的夹角大小为 .10右图所示的算法流程图的输出结果是 .11设 ，则二项式0(sinco)axd 61()ax展开式中含 项的系数是 .212给出平面几何的一个定理：底边长和腰长都确定的等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值. 将此结论类比到空间，
5、写出在三棱锥中类似的结论为 .（二）选做题（1315 题，考生只能从中选做两题）13 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若直线 被圆 截得的弦长为 ，sin()4a223则实数 .a14 （不等式选讲选做题）已知 ，则 与21(0)xyab2b2()xy的大小关系为_. 15 （几何证明选讲选做题）如右图， 与圆 相切于 ， 为PAOPCB圆 的割线，并且不过圆心 ，已知 ， ，O30B23A，则圆 的半径等于 1PC三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出详细文字说明，证明过程或演算步骤.16(本小题满分 12 分)函数 的图象上一个最高点的坐标为sin()(0,)2
6、fxAxA，与之相邻的一个最低点的坐标为 .(,3)1271(1) 求函数 的解析式；()f A BP C O- 3 -(2) 求导函数 在区间 上的最大、最小值.()fx0,217(本小题满分 12 分)甲、乙两个奥运会主办城市之间有 7 条网线并联，这 7 条网线能通过的信息量分别为 1，1，2，2，2，3，3. 现从中任选三条网线，设可通过的信息量为 . 若可通过的信息量 ，6则可保证信息通畅.(1) 求线路信息通畅的概率；(2) 求线路可通过的信息量 的分布列和数学期望.18(本小题满分 14 分)如图，正四棱锥 中， 是侧棱 的中点，异面直线 和 所成角的大小是 .ABCDSESCS
7、ABC60(1) 求证：直线 平面 ；(2) 求二面角 的余弦值；(3) 求直线 和平面 所成角的正弦值. 19(本小题满分 14 分)已知椭圆 的中心在坐标原点 ，焦点在坐标轴上，且经过 、 、EO(2,0)A(,)B三点.3(1,)2C(1) 求椭圆 的方程；(2) 过定点 作直线 与椭圆 交于 、 两点，求 的面积 的(3,0)FlEMNONS最大值及此时直线 的方程.l20(本小题满分 14 分) 设 ，已知函数 在 处取得极值，且曲线32()fxabcxa()fx1()fx在 处的切线斜率为 .t(1) 求 的取值范围；c(2) 若函数 的单调递减区间为 ，求 的最小值；()fx,m
8、n(3) 判断曲线 在 处的切线斜率的正负，并说明理由.83t21(本小题满分 14 分) 数列 满足 ， ，其中 为常数.na12*12()nnaN(1) 是否存在实数 ，使得数列 为等差数列或等比数列？若存在，求出其通项公式；若不存在，说明理由；(2) 求数列 的前 项和 .nnSSA BCDE- 4 -4y=-2x+2y=-2x+4224oyx【答案及详细解析】一、选择题：本大题理科共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. A.【解析】由 ，则 . 12zi121zii【链接高考】本小题考查复数的基本运算，属于送分题.2. A.
9、【解析】依题意，知这个几何体是底面直径和高都为 1 的圆柱，故其体积 .21()4V【链接高考】三视图是新课标新增的内容，近两年的广东高考试题中都有考查，一般都比较基础，要力求“稳拿”.3C.【解析】频率为 ，所求人数为 .0.32.50.2.70.410.【链接高考】频率分布直方图是高考新增的考点，难度不高，但必须掌握相关的概念.4B.【解析】若甲是主犯，则乙、丙都说真话，甲、丁都说假话，不合题意.若乙是主犯，则甲、乙、丁都说假话，丙说真话，符合题意.【链接高考】本小题情境通俗易懂，主要考查逻辑思维和推理能力，难度不大.5D.【解析】 ，注意到 ，2 219()cos2in1siin(si)
10、48fxxxxsin0,1x故当 时， ；当 时， ，因此 的值域为 .sin1mi04max9()8f(f,【链接高考】本小题考查简单的三角变换和二次函数的最值等知识，属于基础题.6B.【解析】依题意，使用的这台仪器的日平均耗资为，等号当且仅1(2)4932093209130 8410 20nnnyn当，即 时取得.28【链接高考】本小题是一道与生活实际紧密相关的应用题，考查等差数列的求和以及灵活运用均值不等式解决问题的能力.7A.【解析】 ， ，故3log42()4xfx 1858()log23log3xxxxf 23(),fx的图象可分别由 的图象向左平移 个单位、向右平移 1 个单位得
11、到. 1()3xf 3l4【链接高考】本小题是一道新定义类型的创新题，主要考查函数的图象变换以及指数、对数的运算，考生容易错选 C，问题出在对数的运算性质不熟练.8D.【解析】如图，易得答案选 D.- 5 -【链接高考】本题通过简单的线性规划问题，考查化归转化和数形结合思想.二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分. （一）必做题（912 题）9. .30【解析】如图，设 ， ，则 ， ，OAaBbAabOCab由 知 为菱形，故 与 的夹角为 .|ab30【链接高考】平面向量在高考一般有一道选择或填空题，也可能与三角、解几在解答题中综合考查.本小题灵
12、活利用向量加法和减法的几何意义来求解，直观、简捷，避免了繁杂的计算.10. .9【解析】 ，故输出 .135701S729i【链接高考】算法和程序框图在近两年的广东高考都有考查，复习中要给予高度重视.11. .12【解析】 ，二项式 的通项公式为00(sinco)(csin)2axdx 61()x，令 ，得 ，故展开式中含 项的系数是66311(2)(2rrrrrrTCCx r 2.61)9【链接高考】本小题设计巧妙，综合考查定积分和二项式定理，是一道以小见大的中档题，不可小视！12. 底面边长和侧棱长都确定的底面上任意一点到三个侧面的距离之和为定值.【解析】设等腰三角形 的底边 和腰 确定，
13、则它的高 确定，设 是底边ABCaABCbhP上任一点， 到两腰的距离分别为 ，由面积分割得： ，即BCP12,hABPACSS，故 为定值. 12()2ahb12hb类似地，设正三棱锥 的底面边长和棱长确定，则它的高 确定，底面积 确定，一个侧面Sh的面积 也确定，设 是底面 上任一点， 到到三个侧面的距离分别为 ，由体积分割得：S ABP123,h，即 ，故 为定值. ABCPABSCPSVV123()3hS123S【链接高考】本小题是一道类比推理问题，主要考查创新思维能力. 事实上，平面几何中的不少定理、结论都可以类比推广到空间中去，值得我们进一步去探索和研究. （二）选做题（1315
14、题，考生只能从中选做两题）13. .1【解析】由 ，化为直角坐标方程为 ，圆sin()sincos24aa2xya2O AB C- 6 -化为直角坐标方程为 ，由圆的弦长公式 ，得 ，即 ，故24xy23d1d21a.1a【链接高考】本小题主要考查直线和圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆的弦长等基本方法，我们要给予重视.14. .22()abxy【解析】由柯西不等式的二维形式，得 .222 22()()()xyxyababx【链接高考】本小题主要考查柯西不等式的应用，拼凑成柯西不等式的结构形式是解题的关键.15. .7【解析】如图，连 并延长，交圆 与另一点 ，交割
15、线 于点 ， AOEPCBD则 Rt 中，由 ， ，得 ，而 ，PD3023P2,4AD1故 ，由切割线定理，得 ，即 ，则 ，3CCB()1故 .设圆 的半径为 ，由相交弦定理， ，即8BR，得 .2()7【链接高考】本小题主要考查圆的切割线定理和相交弦定理.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. 解：(1)依题意， ，即 ，故 . 1 分212TT2T由 ，解得 . 33ABAB分把 代入 ，得 ，(,)12()2sin()1fxsin()16又 ，故 . 5 分|3综上所述， . 6 分()si()fx(2) . 8 分()4co2f
16、由 ，得 ，则 ， 10 分0,x4,3x1cos(2),32x， 11 分()cs()2f故 在区间 上的最大值为 2，最小值为 . 12 分x, 4【链接高考】本题主要考查三角函数的图象和性质，融会了待定系数法求函数解析式和三角复合函数求导等知识，是一道比较基础的中档题.AEOBPC D- 7 -17. 解：(1)因为 ， 1 分2137(8)5CP， 3 分2132(7)， 5 分32765C所以线路信息通畅的概率为 . 6 分813245(2) 的所有可能取值为 4，5，6，7，8. 7 分， 9 分21327()P. 10 分23C5 的分布列为11 分 . 13 分38138345
17、6765E【链接高考】概率统计的综合题，难度不大，因此一直是广大考生力求拿分的重要项目. 概率、期望的计算是经常考查的内容，排列、组合知识是基础，掌握准确的分类和分步是解决概率问题的奠基石.18. (1) 证明：连结 交 于点 ，连结 ， ACBDOE 是正四棱锥，S 是正方形， 是 的中点. 是侧棱 的中点， ，ES又 平面 ， 平面 ，O直线 平面 . 4 分E(2) 解： ，ABC 为异面直线 和 所成的角， 是等边三角形.60SDABCSAD根据正棱锥的性质得， 、 、 也是等边三角形.SD连结 ，取 中点 ，连结 ，FOF、 是正方形 的中心，根据正棱锥的性质得， 平面 ，BC ，又
18、 ， 平面 .O ，根据三垂线定理的逆定理，得 ，SBAS 是二面角 的平面角. SBRt 中， ， ， ，F12D32AFD3cosOFA二面角 的余弦值是 . 9 分(3) 解： 是侧棱 的中点， ， ， 平面 ，ESCBESCSCBDE4 5 6 7 8P 5- 8 -平面 平面 ，过 作平面 的垂线，垂足在交线 上，SBCDESBCBE即 为 在平面 上的射影， 为直线 和平面 所成的角，ESDESC ， ，12OA32A ，sinsiOB线 和平面 所成的角的正弦值为 . 14 分BDSC3【链接高考】 本题综合考查空间中线线、线面的位置关系和空间中角的计算，涉及线线角、线面角和二面
19、角的平面角，传统方法和坐标向量法均可，考查的知识面较广，难度中等，值得一做.19. 解：(1) 设椭圆 的方程为 （ ） ， 1 分E21mxny0,n将 、 、 代入，得 3 分(2,0)A(,)B3(,)4143m椭圆 的方程为 4 分214xy(2)当 轴时， ，易得 ，则 . 5 分lx:3lMN132S当 的斜率存在时，设 ： ，代入椭圆方程 ，得l(3)ykx24xy， 222(14)8410k,m 设 ， ，则 ， 61,Mxy(,)228k21(3)k分 为椭圆 的左焦点，(3,0)FE 82121234()()()4()kNFaexx分又原点 到直线 的距离 ， 9 分Ol2
20、3kd 12 分222(1)113(1)2444kkSMNk 上式等号当且仅当 ，即 时成立. 1323k分综上， 的面积 的最大值为 1，此时直线 的方程为 即OSl2(3)yx. 14 分230xy【链接高考】本题考查用待定系数法求曲线方程以及直线和圆锥曲线的位置关系，综合性强，字母运算能力是一大考验，灵活运用均值不等式求三角形面积的最值是一大难点.20. 解：(1) ， 1 分2()faxbc由 在 处取得极值，得 ，即 ， 2x1(1)0f320abc分- 9 -由 知： . abc0,ac由 ，得 . 3 分23251ca曲线 在 处的切线斜率为 ，得 ，即 .()fxt ()2ft
21、a230tbca由 ，将 代入，得 ，241()0bac3b615c即 ，解得： 或 . 5 分65c 6ca由联立得 的取值范围是 . 6 分a(5,2(2)由 知：方程 即 的一根为 1，设另一根为 ，则(1)0f)0fx30bxc0x由韦达定理，得 . 06(,c由 ，令 ，得 ，则 ，从而a2()fa 00,mn，故 的最小值为 . 100681,3mnxmn263分(3)由 知，当 时 ；当 或 时 .()fx0x1()fx而 ，则 ，于是 ，故 ，即()2fta01t85t803t曲线 在 处的切线斜率为正. 14 分x83t【链接高考】本题是一道从三个“二次”即二次函数、二次方程
22、和二次不等式的相互关系演变而来的代数推理题. 三次函数与二次函数联系紧密，因为将三次函数求导就转化为二次函数. 此题以导数的几何意义为载体，巧妙地将导数与函数、方程与不等式等知识综合交汇在一起，对逻辑推理能力的考查达到极致，确实是一道好题21. 解：(1) ， ， . 1 分12a223244a 若数列 为等差数列，则 ，即 ，得n1()2()，由 知方程无实根，2040故不存在实数 ，使得数列 为等差数列. 3 分n 若数列 为等比数列，则 ，即 ，解得na213a22(4)()，此时， ，由累加法得：11n，1212321()()() ()nn n 显然，当 时也适合，故 .*nN故存在实
23、数 ，使得数列 为等比数列，其通项公式为 . 6 分a *naN(2) 当 时， ，故 . 7 分1*()na12()2nnS 当 时， ，即数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，211nn12故 ，即 ，下用错位相减法求 .()n()2nna nS，2134S- 10 -，2nS213()2nn上面两式相减，得 . 10 分21()2nnS 当 且 时，下用待定系数法求通项 .1na令 ，则 ，()nnaxax1nx上式与 比较系数，得 ， .12n(2)x2故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，从而，即 .12nna 1()2nna因此，213() 2)nnS . ()12nnn综上所述， . 14()()nnS分【链接高考】 本题是一道数列综合题，情景熟悉，貌似简单，入手也不难，但综合程度之高令人叹为观止无论是分类讨论的思想，还是反证推理、求数列通项和数列求和都考查得淋漓尽致，累加法和待定系数法求数列的通项、错位相减法和分组求和法求数列的前 项和，几乎数列的所有知识和方法都熔于一n炉
