1、理科数学 第 1 页 (共 4 页 ) 全 国 高考 理 科 数 学 模拟 题 注意事 项： 1 答 卷前 ， 考生 务必 用黑 色字迹 的钢 笔或 签字 笔将 自己的 姓名 、 学校 、 座位 号 、 考 生号填写在 答题 卡上 . 2 选择题每小题选 出答案后 ， 用 2B 铅笔把答 题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 ，如需改 动 ， 用橡 皮擦 干净 后 ， 再 选涂 其他 答案 ， 答 案不能 答在试卷 上 . 3 非选 择题 必须 用黑 色字迹 钢笔或 签字 笔作 答 ， 答 案必须写 在答题 卡各 题目 指定区域 内相应位 置上 ； 如 需改 动 ， 先划掉 原来的 答 案 ，
2、然后 再写上 新的答 案 ； 不准使 用铅笔 和涂改液 .不按以 上要 求作 答的 答案 无效 . 4 作 答选 做题 时 ， 请先 用 2B 铅 笔填涂 选 做题 的题 号 对应的信息 点 ， 再 作答 .漏涂 、 错涂 、多涂的 ， 答 案无 效 . 5 考生 必须 保持 答题 卡的整 洁 .考 试结 束后 ， 将 试卷和 答题 卡一并交 回 . 第 卷 (共 60 分 ) 一、 选择题 ： 本 题共 12 小题， 每小题 5 分 ， 共 60 分。 在每小 题给 出的 四个选项 中， 只有一 项是符合要 求的 。 1. 已知 集合 2| 2A x x x ， | 1 2B x x ，则
3、A BAB RBA C AB D BA 2. 已知 z 是 复 数 z 的共轭 复数 ， 若 1z i ，则 复 数2zz对应的点位 于 A 第一 象限 B 第二 象限 C 第 三象限 D 第四 象限 3 .若两 个非 零向量,a b 满足 | | 2 | | 2b a ， | 2 | 3a b ，则,a b 的夹角 是 A 6B 3C 2D 4 .记nS 为等差数 列 na 的前 n 项和，5 5 5 215 , 18S a S S ，则 3 43 a a 的值为 A 2 1 B 24 C 27 D 30 5. 执行 右 图 的 程序 框图， 如果输 入的 1a ， 2b ，则输 出的 n
4、A 10 B 1 1 C 12 D 1 3 6 .已知 命题 :p 关于 x 的方 程21 0x ax 没 有实根 ； 命 题 :q 0, 2 0 xx a 若 “ p ” 和 “ p q ” 都 是假 命题 ， 则 实数 a 的取值 范围是 第 5 题 图 A ( , 2 ) ( 1 , ) B ( 2 , 1 C (1 , 2) D. (1 , ) 7. 某 电商设计了一种 红包 ， 打开每个红包都 会获得 三种福卡 ( “ 和谐 ” 、 “ 爱国 ” 、 “ 敬业 ” )中的一种， 若 集齐 三种 卡片可获 得奖励 ，小明现 在有 4 个 此 类 红包 ，则 他 获 奖的概率 为 A 3
5、8B 58C 49D 79理科数学 第 2 页 (共 4 页 ) 8. 将 偶 函 数 3 sin 2 cos 2 0f x x x 的 图 像 向 右 平 移 个 单 位 得 到 函 数( )g x 的图像，则 ( )g x 在 ,4 6 上的最 小值 是 A 2B 1C 3 D 129. 某多 面体 的三视 图如 图 所示， 则该 多面体 的 各个三 角形 面 中， 最大 面积 为 A 8 5B 1 6C 4 5 D 4 2 10. 已 知圆 锥的母线 长为32，它 的底面 圆 周和顶 点 都在 一个表面积 为 的球面 上， 则该圆 锥的 体积 为 第 9 题 图 A 3128 B364
6、C3332 D332 1 1 .已 知函 数, 0( ), 0xxx e xf xxxe ，则不 等式( 2 )f x e 的解集 为 A ( , 1 ) B ( 1 ,1 ) C (1 , 3 ) D ( 1 , ) 12. 已 知函 数l n( ) xf x mxx有两个 零点， 则实数 m 的取值 范 围是 A 1( 0, )2 eB 1(0 , )eC 1( , )2 e D 1( , )e 第 卷 (共 9 0 分 ) 二、填 空题 ：本 题共 4 小题 ，每小 题 5 分，共 20 分。 13. 已 知实 数 ,x y 满足211y xx yx y ，则目 标 函数 2z x y
7、的最大值 为 _ _ _ .14.2 6(1 ) (1 )x x 展开式 中， 含3x 项的系 数 是 (用数 字填 写答案 ) 15. 数 列 na中，*1 11 , 2 ( , 0 )nn na a a n N ，其中 满足： 对于任意 的*k N ，均有2 1 2 2 1, ,k k ka a a 成等差 数 列 na的前 20 项和20S 16. 在 九 章算术 中， 将 四个面 都是 直角三 角 形的四 面体 称之为鳖臑， 在鳖 臑 A B C D 中， AB 平面 B C D ，且有 ,B D C D2, 1A B B D C D ，点 P 是 A C 上的 一个动点 ，则 三角形
8、PB D 的面积 的最 小 值 为 理科数学 第 3 页 (共 4 页 ) 第 16 题 图 三、解答题 ：共 70 分。解答应写 出文字说 明、证明 过程或演算 步骤。 17.(本小题 满分 12 分 ) A B C 的内角 A 、 B 、 C 的对边分 别为 a 、 b 、 c ，已知 2 3 , 2a b A B . ( 1 )求 c o s A ； ( 2 )若 A B C 的面积为 15 7 ，求 b . 18. (本小题 满分 12 分 ) 某 大型企业 为鼓励 员工多 利用网络 进行 营销 ， 准备 为 员工 办理 手机 流量套餐 .为了解 员工 手机流量使 用情况 ， 通过 抽
9、样， 得到 100 位 员 工 每 人 手 机 月 平 均 使 用流量 L (单位 ： M) 的数据， 其频率分布直方图如 右 ： 将频率视为 概率，回 答以下问题 ： (1) 从该企业的 员工中随 机抽取 3 人， 求这 3 人中至 多有 1 人手机月 流量不超 过 9 00M 的概率；(2) 据了解，某 网络营运 商 推出 两款 流量套 餐，详情 如下： 套餐名称 月套餐费 (单 位：元 ) 月套餐流 量 (单位： M) A 20 7 00 B 30 10 0 0 流量套餐的 规则是： 每月 1 日收取套餐 费 .如果手机 实际使用 流量超出 套餐流量 ， 则需要购 买 流量 叠加包， 每
10、一个叠 加包 (包含 200M 的流量 )需要 10 元， 可以多 次购买； 如果当 月流量有剩 余，将会被清零 . 该企业 准备 为所有员 工 订购其中 一款流量 套餐， 并支付所 有费用 .请 分别计 算两种套 餐所需费用的数 学期望 ， 并判断 该企业 订购哪 一款套餐 更 经济？ 19. (本小题 满分 12 分 ) 如图，三棱 柱1 1 1AB C A B C 中，侧面1 1BB C C 是菱形，其对角线的 交点为 O ，且1AB AC ，1AB B C ( 1 )求证： A O 平面1 1BB C C ； ( 2 )设16 0B BC ，若直线1 1A B 与平面1 1B B C
11、C 所成的 0.0008 频率组距500 600 700 800 900 1000 流量 L /M 0.0002 a 0.0025 0.0035 1 100 理科数学 第 4 页 (共 4 页 ) 角为 45，求二 面角1 1A B C A 的大 小 . 第 19 题图 20 . (本 小题满分 12 分 ) 已知椭 圆2 22 2: 1 ( 0)x yC a ba b 的离心 率为22，短 轴长为 2 2 ，左右顶 点分 别为 ,A B ， 点 M 是椭圆上异 于 ,A B 的任意 一点， 记直线 ,MA MB 的斜率 分别 为 ,MA MBk k . ( 1 )求椭圆 C 的方 程， 并证
12、 明 ：M A M Bk k 是定 值； ( 2 )设点 N 是椭圆 C 上 另 一个 异 于 , ,M A B 的点 ， 且满 足直线 NB 的斜 率等于 2MAk ， 试探究：直 线 M N 是否经 过定 点？ 如果是 ，求 出该 定点 ，如果 不是，请 说明 理由 . 21. (本 小题满分 12 分 ) 已知函 数2( )xf x e a x . ( 1 )讨论 ( )f x 的单调 性； ( 2 )当 0x 时，2( ) 1f x a x ，求 a 的取 值范 围 . 请 考 生 在 第 2 2 ， 2 3 题 中 任 选 一 题 作 答 作 答 时 一 定 要 用 2 B 铅 笔
13、在 答 题 卡 上 把 所 选 题 目 对 应 的题 号 涂 黑 (都 没 涂 黑 的 视 为 选 做 第 2 2 题 ) 22. (本 小题满分 10 分 )选 修 4 4 ： 坐标 系与参 数 方程 在直角 坐标 系 x o y 中， 以坐 标 原点为 极点， x 轴正半轴 为 极轴建立 极坐标 系， 曲 线1C 的 极坐标 方程 为 4 c o s ，直线 l 的极 坐标方程 为 c os ( ) 2 24 . ( 1 )求 曲线1C 和直 线 l 的交点 的 极坐标 ； ( 2 )已知 P 为曲线22 c os:sinxCy( 为参 数 )上 的一动 点，设直 线 l 与曲线1C 的交
14、点为 ,A B ，求 P A B 面积的 最小值 . 2 3 . (本 小题满分 10 分 )选 修 4 5 ： 不等 式选讲 已知函 数2( ) | 2 | | |f x x a xa . ( 1 )当 2a 时， 解不等式 ( ) 1f x ； ( 2 )求函数 ( ) ( ) ( )g x f x f x 的最 小值 . 1 理科 数学 B B D A B C C A C B C A 13. 3 14. 4 15. 511521 6 . 2551 7 . （ 1 ）由正弦定理得 2 s i n 3 s i nAB 1 分 2 s i n 2 3 s i nBB ， 4 s i n c o
15、 s 3 s i nB B B 2 分 s i n 0B Q ， 3c o s 4B 3 分 2c o s c o s 2 2 c o s 1A B B 4 分 2312 ( ) 148 5 分 （ 2 ） 2 37s in 1 c o s8AA ， 6 分 2 7s in 1 c o s4BB 7 分 s i n s i n ( ) s i n c o s c o s s i nC A B A B A B 8 分 3 7 3 1 7 5 78 4 8 4 1 6 9 分 1 s in 1 5 72ABCS a b C 10 分 得到 96ab 11 分 又 23 ab ，可得 1 2 , 8
16、ab . 12 分 18. （ 1 ）依题意， ( 0 . 0 0 8 0 . 0 0 2 5 0 . 0 0 3 5 0 . 0 0 8 0 . 0 0 2 ) 1 0 0 1a ， 1 分 得 0 . 0 0 2 2a 2 分 从该企业的员工中随机抽取 3 人，可近似的看为独立重复实验，每人手机月流量不超过 9 0 0 M的概率为 1 ( 0 . 0 0 8 0 . 0 0 2 ) 1 0 0 0 . 9 ， 3 分 至多 1 人可分为恰有一人和没有人超过 9 0 0 M ， 设事件 A 为“ 3 人中至多有 1 人手机月流量不超过 9 00M ” ， 4 分 则 1 233( ) 0 .
17、 9 0 . 1 0 . 1 0 . 0 2 8PA C 5 分 （ 2 ）若该企业选择 A 套餐，设一个员工的所需费用为 X ，则 X 可能为 2 0 , 3 0 , 4 0 6 分 X 的分布列为 X 20 30 40 P 0 . 3 0 . 6 0 . 1 2 7 分 2 0 0 . 3 3 0 0 . 6 4 0 0 . 1 2 8EX 8 分 若该企业选择 B 套餐，设一个员工的所需费用为 Y ，则 Y 可能为 3 0 , 4 0 9 分 Y 的分布列为 Y 30 40 P 0 . 9 8 0 . 0 2 10 分 3 0 0 . 9 8 4 0 0 . 0 2 3 0 . 2EY
18、11 分 3 0 . 2 2 8Q 订购 A 套餐 更 经济 . 12 分 19. （ 1 ） Q 四边形 11B B C C 是菱形 11B C B C 1 分 1B C A BQ ，且 1B C A B BI 1BC 平面 1ABC 2 分 1B C A O 3 分 1A B A CQ ， O 是 1BC 的中点， 1A O B C 4 分 又 11B C B C OI ， AO 平面 11B B C C 5 分 （ 2 ） （法一） 11/A B A BQ 直线 11AB 与平面 11B B C C 的所成角 等于 直线 AB 与平面 11B B C C 的所成角 AO Q 平面 11B
19、 B C C 直线 AB 与平面 11B B C C 的所成角 为 ABO ， 6 分 即 45ABO o 不妨设 菱形 11B B C C 的边长为 2 ，则在等边三角形 1B B C 中， 13 , 1B O C O B O 在直角三角形 ABO 中， 3A O B O 7 分 以 O 为原点建立空间直角坐标系，则 11 ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 3 , 1 , 3 )B C A 8 分 1 1 1( 3 , 0 , 3 ) , ( 0 , 2 , 0 ) ,A B B C u u u ur u u u r 设平面 11A B C 的一个法向量为
20、1 ( , , ) ,n x y zur 第 19 题图 x z y 3 则 1 1 1113 3 020n A B x zn B C y u r u u u urgu r u u u rg 得 1 ( 1 , 0 , 1 )n ur 9 分 而平面 1A B C 的一个法向量为 2 ( 1 , 0 , 0 ) ,n u ur 10 分 12121212c o s , 2| | | 2nnnn nn u r u uru r u ur u r u ur 11 分 二面角 11A B C A 的大小为 45 o . 12 分 （法二） 不妨设 菱形 11B B C C 的边长为 2 ，则在等边三角
21、形 1B B C 中， 13 , 1B O C O B O 设 A O a 以 O 为原点建立空间直角坐标系，则 11 ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 3 , 1 , )B C A a 6 分 11 ( 3 , 0 , ) ,A B au u u ur 平面 11B B C C 的法向量为 (0 , 0 , 1 ) ,n r 依题意有， 1111211| 2| c o s , | s in 4 5 2| | | 3A B n aA B n A B n a ou u u u ur ru u u ur r u u u ur r， 7 分 得到 3a 8 分 因此
22、， 1 1 1( 3 , 0 , 3 ) , ( 0 , 2 , 0 ) ,A B B C u u u ur u u u r 设平面 11A B C 的一个法向量为 1 ( , , ) ,n x y zur 则 1 1 1113 3 020n A B x zn B C y u r u u u urgu r u u u rg 得 1 ( 1 , 0 , 1 )n ur 9 分 而平面 1A B C 的一个法向量为 2 ( 1 , 0 , 0 ) ,n u ur 1 0 分 12121212c o s , 2| | | 2nnnn nn u r u uru r u ur u r u ur 1 1
23、分 二面角 11A B C A 的大小为 45 o . 1 2 分 2 0 . （ 1 ） 依题意有 2 2 2222 2 2ceaba b c ， 1 分 解得222abc 2 分 椭圆 C 的方程为 22 142xy ， 3 分 ( 2 , 0 ) , ( 2 , 0 )AB ，设 00( , )M x y 4 则 20 0 020 0 02 2 4M A M B y y ykk x x x 4 分 202012 12 42xx 5 分 （ 2 ） （法一） 2N B M Akk Q ， 1N B M Bkk g ， 6 分 即 N B M B 设 MN 的方程为 x m x t ， 11
24、( , )M x y ， 22( , )N x y 22142x m x txy 2 2 2( 2 ) 2 4 0m y m t y t 7 分 则 12 222mtyy m ， 212 2 42tyy m 8 分 1 2 1 2( 2 ) ( 2 ) 0B N B M x x y y u u u r u u u urg 9 分 得 22 1 2 1 2( 1 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) 0m y y m t y y t 22222 42( 1 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) 022t m tm m t tmm g 1 0 分 化简得 23 8 4 0tt ， 23t 或 2t 1
25、 1 分 即 MN 的方程为 23x m y或 2x m y ， 因为 2x m x 经过右顶点，舍去；所以 直线 MN 经过定点 2( , 0)3 1 2 分 （法二） 2N B M Akk Q ， 1N B M Bkk g ， 6 分 即 N B M B 当 M N x 轴时， 直线 MN 方程为 23x 7 分 MN 的斜率存在时，设 MN 的方程为 y k x m ， 11( , )A x y ， 22( , )B x y 22142y k x mxy 2 2 2( 1 2 ) 4 2 4 0k x k m x m ， 8 分 则 12 2412 kmxx k ， 212 22412
26、mxx k 1 2 1 2( 2 ) ( 2 ) 0B N B M x x y y u u u r u u u urg 9 分 5 得 2 2 21 2 1 2( 1 ) ( 2 ) ( ) 4 0k x x k x x m 10 分 22 2 2222 4 4( 1 ) ( 2 ) ( ) 4 01 2 1 2m k mk k mkk 化简得 224 8 3 0k k m m , 23mk 或 2mk 11 分 即 MN 的方程为 23y k x k或 2y k x k ， 因 为 2y k x k 经过右顶点，舍去；所以 直线 MN 经过定点 2( , 0)3 12 分 （法三）设 MA
27、的方程为 1 ( 2 )y k x 122 ( 2)142y k xxy 2 2 2 21 1 1( 1 2 ) 8 8 4 0k x k x k ， 6 分 2121842 12M kx k ， 7 分 得21214212M kx k ， 1 21412M ky k 设 NB 的方程为 2 ( 2 )y k x 222 ( 2)142y k xxy 2 2 2 22 2 2( 1 2 ) 8 8 4 0k x k x k ， 2222842 12N kx k ，得22224212N kx k ， 2 22412N ky k 8 分 21 2kk Q 222122214 2 1 6 21 2
28、1 8N kkx kk ， 21 2221481 2 1 8N kky kk 9 分 11221122112211841 8 1 21 6 2 4 21 8 1 2NMMNNMkkyy kkkkkxxkk 121341 kk 1 0 分 直线 MN 的方程为 21 1 12 2 21 1 14 3 4 2()1 2 4 1 1 2k k kyx k k k 1 1 分 6 即 1 1 12 2 21 1 13 2 3 ( 3 2 )4 1 4 1 4 1k k ky x xk k k 所以 直线 MN 经过定点 2( , 0)3. 1 2 分 21 （ 1 ） 2( ) 2 xf x e a
29、1 分 0a 时， ( ) 0fx ， ()fx 在 R 上递增 2 分 0a 时，由 ( ) 0fx 得 1 ln22 ax ， 3 分 1( , l n )22 ax ， ( ) 0fx ， ()fx 在 1( , l n )22 a 上递减 ； 1( l n , )22 ax ， ( ) 0fx ，()fx 在 1( l n , )22 a 上递增 4 分 （ 2 ） 22( ) 1xf x e a x a x 变形为 22 10xe a x a x 令 22( ) 1xg x e a x a x , 2( ) 2 2xg x e a x a 令 ( ) 0gx ，可得 2221xeax
30、 5 分 令 22()21xehxx ， 2 28( )( 2 1 )xxehx x 6 分 0x 时， ( ) 0hx ， ()hx 在 (0 , ) 上单调递增 7 分 ()hx 的值域是 ( 2 , ) 8 分 当 2a 时 ， ( ) 0gx 没有实根， ( ) 0gx ， 9 分 ()gx 在 (0 , ) 上单调递增 , ( ) ( 0 ) 0g x g ，符合题意 . 1 0 分 当 2a 时， ( ) 0gx 有唯一实根 0x ， 0(0 , )xx 时， ( ) 0gx ， 11 分 ()gx 在 0(0 , )x 上递减， ( ) ( 0 ) 0g x g ，不符题意 .
31、1 2 分 综上， a 的取值范围是 2a . 2 2 （ 1 ） 曲线 1C 转化为直角坐标： 2 4 c o s ， 22 40x y x ， 1 分 即 22( 2 ) 4xy 7 直线 l 转化为直角坐标： 22 c o s s i n 2 222 ，即 40xy 2 分 联立 22( 2 ) 440xyxy 得到 曲线 1C 和 直线 l 的交点 ( 4 , 0 ) , ， 3 分 ( 2 , 2 ) 4 分 它们的极坐标为 7( 4 , 0 ) , ( 2 2 , )4. （注： ( 4 , 0 ) , ( 2 2 , )4也可以） 5 分 （ 2 ）由（ 1 ）得 22| | 2
32、 2 2 2AB ， 6 分 因此 ， PAB 的面积 取得 最小 时也就是 P 到 直线 l 的距离最小的时候 设 ( 2 c o s , s i n )P 则 P 到 直线 l 的距离 | 2 c o s s in 4 |2d 7 分 | 5 c o s ( ) 4 |2 8 分 当 c o s ( ) 1 时， d 取得最小值 | 5 4 | 4 522 9 分 因此 PAB 的面积 的最小值为 1 4 52 2 4 52 2 10 分 23 （ 1 ） 当 2a 时 , | 2 2 | | 1 | 1xx 1 分 1x 时， 2 2 1 1xx ，得 0x ，即有 1x 2 分 11
33、x 时， 2 2 1 1xx ，得 2x ，即有 11 x 3 分 1x 时， 2 2 1 1xx ，得 23x ，即有 1x 4 分 综上， 不等式 ( ) 1fx 的解集为 R. 5 分 （ 2 ） 22( ) ( ) ( ) | 2 | | | | 2 | | |g x f x f x x a x x a xaa 6 分 22| 2 | | 2 | | | | |x a x a x xaa 22| ( 2 ) ( 2 ) | | ( ) ( ) |x a x a x xaa 7 分 4| 2 | | |a a 8 分 42 | 2 | | | 4 2a a g 9 分 8 当且仅当 22( 2 ) ( 2 ) 0 , ( ) ( ) 0x a x a x xaa 且 4| 2 | | |aa时取“ = ” 函数 ()gx 的最小值 为 42 10 分
