1、管理运筹学-管理科学方法,李军,桂林电子科技大学商学院,Sub title,OR:SM,第3 章 对偶规划内容提要第一节 对偶规划的数学模型 对偶问题的提出 对偶规划的性质第二节 对偶规划的经济解释 影子价值的内涵 影子价值的应用第三节 资源定价的决策案例,2,OR:SM,OR:SM,本章框架,对偶问题,对偶问题实例应用 对偶规划的数学模型 对偶问题与原问题之间的关系,3,对 偶 理 论,对偶理论对偶解的经 济意义, ,对称性定理弱对偶定理对偶定理互补松弛定理对偶问题的解 对偶解的经济意义 边际贡献,OR:SM,OR:SM,第一节 对偶规划的数学模型引例俩制造商间的对话：,家电生意还真赚,唉!
2、我想租您的机器设备一 用。咋样？价格嘛好说，,钱，但是现在的手 机生意这样好，不 如干脆把我的机器 设备租给他，又能 收租金又可做生。,肯定不会让您兄弟吃亏。价格嘛好商量，好商量。只是.,王老板做家电赚了大钱，可惜我老李有 高科技产品，却苦于没有足够的机器设备咋办？只有租咯。Hi：王老板，听说近来家电生意好惨了，也帮帮兄弟我哦!,4,王 老 板,李 老 板,OR:SM,OR:SM,第一节 对偶规划的数学模型一、对偶问题的提出 若例1中该厂的产品平销，现有另一企业想租赁其设备。厂方为了在谈判时心中有数，需掌握设备台时费用的最低价码，以便衡量对方出价，对出租与否做出抉择。 在这个问题上厂长面临着两
3、种选择：自行生产或出租设备。首先要弄清两个问题： 合理安排生产能取得多大利润? 为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是多少？ 问题 的最优解：x1=4，x2=5，Z*=37。,5,OR:SM,OR:SM,第一节 对偶规划的数学模型一、对偶问题的提出出让定价 假设出让A、B、C设备所得利润分别为y1、y2、y3 原本用于生产甲产品的设备台时，如若出让，不应低于自行生产带来的利润，否则宁愿自己生产。于是有2y1+0y2+3y3 3 同理，对乙产品而言，则有0y1+2y2+4y3 5 设备台时出让的收益（希望出让的收益最少值）min 16y1+10y2+32y3 显然还有y1，y2，y30,6,
4、OR:SM,2x1,OR:SM,第一节 对偶规划的数学模型一、对偶问题的提出例1的对偶问题的数学模型,maxZ= 3x1 +5 x2162x2 10S.t. 3x1 +4 x2 32x1 , x2 0,min =16y1+10y2+32y32y1+ 0y2+ 3y3 3S.t. 0y1+ 2y2+ 4y3 5y1，y2，y30,对偶问题的最优解： y1=0，y2=1/2，y3=1，W* =37 两个问题的目标函数值相等并非偶然 前者称为线性规划原问题，则后者为对偶问题，反之亦然。 对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯型法表中，初始基 变量的检验数的负值。,7,OR:SM,OR:SM,第一节 对
5、偶规划的数学模型,表3-1,对偶关系,原问题（或对偶问题）目标函数 Max 目标函数系数（资源限量） 约束条件系数矩阵A(AT)n个变量,对偶问题（或原问题）目标函数 Min 资源限量（目标函数系数） 约束条件系数矩阵AT(A)n个约束,变 量约束,第j个变量0 第j 个变量0 第j个变量无约束m个约束第i个约束第i个约束,约 束变 量,第j个约束为第j个约束为第j个约束为=m个变量 第i个变量0 第i个变量0,8,第i个约束为=,第i个变量无约束,OR:SM, 1, 1,OR:SM,第一节 对偶规划的数学模型【例2】写出下列线性规划的对偶问题,9,MinZ x1 5x2 4x3 9x47 x
6、1 2x2 8x3 x4 18 6x2 5x4 102x1 8x2 x3 14x1无约束, x2 0, x3 , x4 0【解】目标函数求最小值，应将 表3-1的右边看作原问题，左边是 对偶问题，原问题有3个约束4个 变量，则对偶问题有3 个变量4个 约束，对照表3-1的对应关系，对 偶问题为：,Min Z=2x1-x2+2x3-x1+x2 +x3 =4-x1+x2 -x3 6x1 0,x2 0, x3无限制max w 18 y1 10 y2 14 y3 7 y1 2 y3 = 1 2 y 6 y2 8 y3 5 8 y1 y3 4 y 5 y2 9 y10，y20， y3无约束,OR:SM,
7、OR:SM,试试看 1、写出下列问题的对偶问题Min Z=2x1-x2+2x3-x1+x2 +x3 =4-x1+x2 -x3 6x1 0,x2 0, x3无限制 2、写出下列问题的对偶问题Max w=5x1+4x2+6x3,x1 +2x2 x1,2 + x3 3,-x1 +x2 +x3 -5x1 - x2 +x3 =1 x10, x20, x3无约束,10,OR:SM,*,OR:SM,第一节 对偶规划的数学模型二、对偶规划的性质1、对称性定理对偶问题的对偶问题是原问题。根据对偶规划，很容易写出对偶问题的对偶问题模型。2、 最优性定理设 X ， Y 分别为原问题和对偶问题的可行解，且C X b
8、T Y 则 X ，Y 分别为各自的最优解。3. 对偶性定理若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的目标函数值相等。4. 互补松弛性最优解的充分必要条件是 Y * X s 0 ，Ys X 0,11,OR:SM,xi,j j,OR:SM,第一节 对偶规划的数学模型,将互补松弛条件写成下式：,m i 1n j 1,y i* x S i 0y S j x *j 0,由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量为 零，因而有下列关系：(1)当yi*0时， S 0 ,反之当 xSi 0 时yi*=0；(2) yS j 0时x* 0, 反之当x* 0时yS j 0利用上述关系，建立对偶问题（
9、或原问题）的约束线性方程 组，方程组的解即为最优解。,12,OR:SM, j,OR:SM,第一节 对偶规划的数学模型【例3】 已知线性规划,MaxZ 3 x1 4 x 2 x 3 x1 2 x 2 x 3 10st 2 x1 2 x 2 x 3 16 x 0 , j 1, 2 ,3【解】对偶问题是,的最优解是X (6,2,0)T运用互补松弛定理求对偶问 题的最优解。,min w 10 y 1 16 y 2 y 1 2 y 2 3 2 y 1 2 y 2 4 y 1 y 2 1 y 1 , y 2 0,因为X10，X20，所以对偶问题的第 一、二个约束的松弛变量等于零，即： y1 2 y 2 3
10、 2 y1 2 y 2 4,解此线性方程组得y1=1，y2=1,从而对偶问题的最优解为Y= （1，1），最优值w=26。,13,OR:SM,*,2,OR:SM,试试看？ 已知线性规划问题min 2 x1 3 x2 5 x3 2 x4 3 x5x1 x2 2 x3 x4 3 x5 42 x1 x2 3 x3 x4 x5 3x j 0 , j 1,2 ,5, 已知其对偶问题的最优解为,y1 4 / 5 ， y* 3 / 5 z = 5。,试用对偶理论找出原问题的最优解。,14,OR:SM,*,*,*,*,*,*,2,2 3,OR:SM,解：先写出它的对偶问题max z 4 y1 3 y2,y1 2
11、 y2 2y1 y2 3 2 y1 3 y2 5y1 y2 2 3 y1 y2 3,(1)(2)(3)(4)(5),y1 , y2 0 将 y1 , y* 的值代入约束条件，得(2)，(3)，(4)为严格不等式；由互 补松弛性得 x* x* x4 0 。因 y1，y2 0；原问题的两个约束条x1 3 x5 4 件应取等式，故有2 x1 x5 3 求解后得到 x1 1, x5 1；故原问题的最优解为X* = (1，0，0，0，1)T；* = 5,15,OR:SM,OR:SM,第二节 对偶规划的经济解释一、影子价值的内涵,n m Z c j x j bi yi j 1 i 1,Z bi, yi,
12、左边是资源bi每增加一个单位对目标函数Z的贡献； 对偶变量 yi在经济上表示原问题第i种资源的边际价值。 对偶变量的值 yi*表示第i种资源的边际价值，称为影子价值。 若原问题价值系数Cj表示单位产值，则yi 称为影子价格。 若原问题价值系数Cj表示单位利润，则yi 称为影子利润。 影子价格=资源成本+影子利润,16,OR:SM,OR:SM,第二节 对偶规划的经济解释一、影子价值的内涵 影子价格不是资源的实际价格，反映了资源配置结构， 其它数据固定，某资源增加一单位导致目标函数的增量。 对资源i总存量的评估：购进 or 出让对资源i当前分配量的评估：增加 or 减少第一，影子利润说明增加哪种资
13、源对经济效益最有利第二，影子价格告知以怎样的代价去取得紧缺资源第三，影子价格是机会成本，提示资源出租/转让的基价第四，利用影子价格分析新品的资源效果：定价决策第五，利用影子价格分析现有产品价格变动的资源紧性第六，可以帮助分析工艺改变后对资源节约的收益第七，可以预知哪些资源是稀缺资源而哪些资源不稀缺,17,OR:SM,OR:SM,第三节 资源定价的决策方案例：某厂生产甲乙产品，（1）如何安排每周的利润为最大?,甲,乙,资源成本,资源拥有量,原材料 (kg),9,4,20,360,设备电力,(工时)(度),4 3,5 10,501,200 300,销售价格(元),390,352,（2）如果企业可以
14、不生产，那资源出让如何定价？ 一、最优生产决策max Z 7 x1 12 x2,18,9 x1 4 x2 3604 x1 5x2 200 s.t.3x1 10 x2 300 x1 , x2 0,X * (20, 24,84, 0, 0)T,OR:SM,OR:SM,1 2 3,第三节 资源定价的决策方案二、资源获利决策如果决策者考虑自己不生产甲乙两种产品，而把原拟用于生产这两种产品的原材料、设备工时、电量资源全部出售给外单位，或者做代加工，则应如何确定这三种资源的价格。设原材料的单位出让获利为y1，设备工时的单位出让获利为y2，电力的单位出让获利为y3 。出让决策的线性规划模型：min w 36
15、0 y1 200 y2 300 y39 y1 4 y2 3 y3 7s.t. 4 y1 5 y2 10 y3 12 y1 , y2 , y3 0,19,y* 0 y* 1.36 y* 0.52,Z * 428,y* 0, y* 04 5,OR:SM,OR:SM,现在等决策的问题是？ 假设资源市场上，原材料的价格为18元/公斤，设备工时价格为52元，电力资源成本为1.3元/度，企业是否应购进资源呢？ 分析：由于原材料的资源成本为20元/公斤，设备工时的资源成本为50元，电力资源成本为1元/度，因此它们的影子价格分别20元/公斤、51.36元/小时、1.52元/度。企业经营决策者可以在把本企业资源
16、的影子价格与市场价格进行比较后，作出决策。电力资源的影子价格高于市场价格，企业可以考虑购进资源，增大其持有量；而设备工时的影子价格低于市场价格，企业暂时不可购买；虽然原材料市场价格低于其影子价格，但它是非紧缺资源，则企业增加资源不但难以获利，还会增加库存成本。,20,OR:SM,OR:SM,本章小结 对偶问题是与原问题对称的线性规划问题。 对偶理论主要有几个基本定理：如对称性、最优性和互补松弛性等定理，对分析和判断线性规划问题的解有重要作用。 对偶变量的经济解释即资源在最优利用情况下的客观估价，它是一种虚拟的价格（或价值的影象）而不是真实的价格。 对偶单纯形法是在保持检验数为最优的情况下，从一个不可行的解开始通过逐步迭代是解变得可行，即求得最优解。 灵敏度分析用来确定某一参数（目标函数系数、右端项等）不影响最优解或最优基变量的可变范围；它也可用于考察增加或减少变量和约束条件所带来的变化。,21,OR:SM,OR:SM,E-mail：,22,OR:SM,
