1、Operations Research 第三章 运输问题 3-1 运输问题及其数学模型 问题的提出 从 m个发点 A1, A2, A m向 n个收点 B1, B2 B n发送某种货物。 Ai发点的发量为 ai,Bj收点的收量为 bj。由 Ai 运往 Bj 单位货物的运费为 cij,由 Ai 运往 Bj 货物的运量为 xij。问如何调配,才能使运费最小? Operations Research B1 B2 Bn ai A1 a1 A2 a2 Am am bj b1 b2 bn Bj Ai c11 x11 c12 x12 c21 x21 c1n x1n c22 x22 c2n x2n cm1 xm
2、1 cm2 xm2 cmn xmn 当发点的发量总和为 ai, 收点的收量总和为bj相等时,称此运输问题为平衡运输问题。否则称此运输问题为非平衡运输问题。 运输问题的图表形式 Operations Research minjijij xcz1 1m i n,m,iax injij 1 1,n, jbx jmiij 11,n,j,m,ix ij 1 ;1 0 运输问题的数学模型: 11产销平衡问题miinjj ab,n,j,m,iba ji 1 ;1 0 , 0 Operations Research 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1n21m21mnm2m12
3、n22211n1211vvvuuuxxxxxxxxxm行 n行 系数矩阵: mxn 列 Operations Research 运输问题解的结构 由于 其 m+n个约束方程并不是独立的。实际上只有 m+n-1个是独立的。即约束方程系数矩阵的秩为 m+n-1。 运输问题是线性规划问题,由于其约束条件的特殊性,产生了特殊的解法 。 11miinjj abOperations Research 3-2 运输问题的求解 确定初始方案 1 西北角法 收点发点B1B2B3B4发量A16 5 3 4 4A24 4 7 5 6A37 6 5 8 3收量 2 4 3 4 13Operations Researc
4、h ( 1)从图的西北角开始,填入 a1与b1较小的值, b1 =2,即从 A1运给 B1 ( 2吨) B1已经满足,划去 b1列,并将 a1=4-2=2 收点发点B1B2B3B4发量A16 2 5 3 4 4A24 4 7 5 6A37 6 5 8 3收量 2 4 3 4 13Operations Research ( 2)向 a1, b1较大方向移动一格(或向右,或向下)此时向右移动一格( A1, B2)B2需要 4吨,而 A1只有 2吨, A1已发完,划去 A1行,并把 b2改成( 4-2) =2。 收点发点B1B2B3B4发量A16 2 5 2 3 4 4A24 4 7 5 6A37
5、6 5 8 3收量 2 4 3 4 13Operations Research ( 3)继续进行 收点发点B1B2B3B4发量A16 2 5 2 3 4 4A24 4 2 7 5 6A37 6 5 8 3收量 2 4 3 4 13Operations Research ( 4)继续进行 收点发点B1B2B3B4发量A16 2 5 2 3 4 4A24 4 2 7 3 5 6A37 6 5 8 3收量 2 4 3 4 13Operations Research ( 5) 继续进行 收点发点B1B2B3B4发量A16 2 5 2 3 4 4A24 4 2 7 3 5 1 6A37 6 5 8 3收
6、量 2 4 3 4 13Operations Research ( 6)继续进行 收点发点B1B2B3B4发量A16 2 5 2 3 4 4A24 4 2 7 3 5 1 6A37 6 5 8 3 3收量 2 4 3 4 13Operations Research ( 7)得到初始方案: x11=2, x12=2,x22=2, x23=3, x24=1, x34=3,总运费=6*2+5*2+4*2+7*3+5*1+8*3=80(元) 收点发点B1B2B3B4发量A16 2 5 2 3 4 4A24 4 2 7 3 5 1 6A37 6 5 8 3 3收量 2 4 3 4 13Operation
7、s Research 2 最小元素法 收点发点B1B2B3B4发量A16 5 3 4 4A24 4 7 5 6A37 6 5 8 3收量 2 4 3 4 13从最小运价开始确定供销关系,然后次小,如此进行,可得初始方案。 Operations Research ( 1)从最小元素 3开始 ,即 A1优先满足 B3 3个单位, B3 已经满足,划去 B3列 , 收点发点B1B2B3B4发量A16 5 3 3 4 4A24 4 7 5 6A37 6 5 8 3收量 2 4 3 4 13Operations Research ( 2)再从最小元素 4开始 ,即 A1优先满足 B4 1个单位, A1
8、已经满足,划去 A1行 , 收点发点B1B2B3B4发量A16 5 3 3 4 1 4A24 4 7 5 6A37 6 5 8 3收量 2 4 3 4 13Operations Research ( 3)再从最小元素 4开始 ,即 A2优先满足 B1 2个单位, B1 已经满足,划去 B1列 , 收点发点B1B2B3B4发量A16 5 3 3 4 1 4A24 2 4 7 5 6A37 6 5 8 3收量 2 4 3 4 13Operations Research ( 4)再从最小元素 4开始 ,即A2优先满足 B2 4个单位, B2 A2已经满足,划去 B2列 A2 行 。 收点发点B1B2
9、B3B4发量A16 5 3 3 4 1 4A24 2 4 4 7 5 6A37 6 5 8 3收量 2 4 3 4 13Operations Research ( 5)最后 A3满足 B4 3个单位, 得到初始方案。 收点发点B1B2B3B4发量A16 5 3 3 4 1 4A24 2 4 4 7 5 6A37 6 5 8 3 3收量 2 4 3 4 13Operations Research ( 6)得到初始方案: x13=3, x14=1, x21=2, x22=4, x34=3 总运费 =3*3+4*1+4*2+4*4+8*3=61(元) 收点发点B1B2B3B4发量A16 5 3 3
10、4 1 4A24 2 4 4 7 5 6A37 6 5 8 3 3收量 2 4 3 4 13Operations Research 3.差值法 ( 伏格法 ) 每次从当前运价表上,计算各行各列中最小与次最小运价的差值(行差值 hi,列差值 kj),优先取最大差值的行或列中最小的格来确定运输关系,直到求出初始方案。 Operations Research 收点发点B1B2B3B4发量 hiA16 5 3 4 4 1A24 4 7 5 6 0A37 6 5 8 3 1收量 2 4 3 4 13kj 2 1 2 11 1 0 1 1 2 2 计算 hi, kj Operations Research
11、 收点发点B1B2B3B4发量 hiA16 5 3 4 4 1A24 2 4 7 5 6 0A37 6 5 8 3 1收量 2 4 3 4 13kj 2 1 2 11 1 0 1 1 2 2 a2 -b2, x21=2 Operations Research 收点发点B1B2B3B4发量 hiA16 5 3 4 4 1A24 2 4 7 5 6 1A37 6 5 8 3 1收量 2 4 3 4 13kj 2 1 2 11 1 1 1 1 2 2 Operations Research 收点发点 B1B2B3B4发量 hi A16 5 3 3 4 4 1 A24 2 4 7 5 6 1 A37
12、6 5 8 3 2 收量 2 4 3 4 13 kj 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 Operations Research 收点发点B1B2B3B4发量 hiA16 5 3 3 4 4 1A24 2 4 7 5 6 1A37 6 3 5 8 3 2收量 2 4 3 4 13kj 2 1 2 11 1 1 1 2 2 Operations Research 收点发点B1B2B3B4发量 hiA16 5 3 3 4 4 1A24 2 4 7 5 6 1A37 6 3 5 8 3 2收量 2 4 3 4 13kj 2 1 2 11 1 1 1 2 2 Operations Resear
13、ch 收点发点B1B2B3B4发量 hiA16 5 3 3 4 4 1A24 2 4 1 7 5 6 1A37 6 3 5 8 3 2收量 2 4 3 4 13kj 2 1 2 11 1 1 1 2 2 Operations Research 收点发点B1B2B3B4发量 hiA16 5 3 3 4 1 4 1A24 2 4 1 7 5 3 6 1A37 6 3 5 8 3 2收量 2 4 3 4 13kj 2 1 2 11 1 1 1 2 2 Operations Research 收点发点B1B2B3B4发量 hiA16 5 3 3 4 1 4A24 2 4 1 7 5 3 6A37 6 3 5 8 3收量 2 4 3 4 13kj差值法 初始方案如下: x13=3, x14=1, x21=2, x22=1, x24=3, x32=3 费用 =3*3+4*1+4*2+4*1+5*3+6*3=58(元)