1、1,第三章 线性规划的对偶原理,单纯形法的矩阵描述A为mn阶矩阵 RankA=m,取B为可行基,N为非基，,2,求解步骤：,3,4,现在不再生产，将设备材料出租出让，确定租费及转让费？ 设y1为设备单位台时的租金，y2,y3为材料A、B转让附加费(kg-1) 目标函数，约束条件？,则M2为M1的对偶问题， 反之亦然。,5,一般的，原问题：max z = CX AX b X 0,对偶问题：min w = Yb YA C Y 0,比较： max z min w决策变量为n个 约束条件为n个约束条件为m个 决策变量为m个“” “”约束条件的限定向量 目标函数的价值向量目标函数的价值向量 约束条件的限
2、定向量,6,二、 对偶问题的化法1、典型情况（对称形式）例2max z = x1 + 2x2 + x32x1 + x2 62x2 + x3 8x1,x2,x3 0,7,2、含等式的情况例3max z = x1 + 2x2 + 4x32x1 + x2 + 3x3 = 3x1 + 2x2 + 5x3 4x1,x2,x3 0,一般，原问题第i个约束取等式，对偶问题第i个变量自由变量。,8,3、含“”的max问题例4max z = x1 + 2x2 + 4x32x1 + x2 + 3x3 3x1 + 2x2 + 5x3 4x1,x2,x3 0,9,一般: max问题第i个约束取“”，则min问题第i个
3、变量 0 ；, min问题第i个约束取“”，则max问题第i个变量 0 ；, 原问题第i个约束取等式，对偶问题第i个变量 自由变量；, max问题第j个变量 0 ,则min问题第j个约束取“” ；, min问题第j个变量 0 ，则max问题第j个约束取“” ；, 原问题第j个变量自由变量，对偶问题第j个约束取等式。,10,例5 min z = 2x1 + 3x2 - 5x3 + x4x1 + x2 - 3x3 + x4 52x1 + 2x3 - x4 4x2 + x3 + x4 = 6x1 0,x2,x3 0,x4自由变量,11,2 对偶问题的基本性质和基本定理,1、对称性定理 对偶问题的对偶
4、为原问题.,原问题：max z = CX AX b X 0 (1),对偶问题：min w = Yb YA C Y 0 (2),证：,(2)作变换：,(2)等价于：,对偶,令z=w,即为(1), (2)的对偶问题为(1)。,12,证：,推论： (1)max问题任一可行解的目标值为min问题目标值的一个下界； (2)min问题任一可行解的目标值为max问题目标值的一个上界。,13,3、无界性（性质2的推论） 若原问题(对偶问题)为无界解，则对偶问题(原问题)为无可行解。,注：该性质的逆不存在。若原(对偶)问题为无可行解，对偶(原问题)问题或为无界解，或为无可行解。,14,4、最优性 设X*，Y*分
5、别为原问题和对偶问题可行解，当CX*=Y*b时， X*，Y*分别为最优解。,证：,X*为最优解,Y*为最优解,15,5、对偶定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且目标值相等。,证：,16,5、对偶定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且目标值相等。,推论（单纯形乘子Y的定理）：原问题有一个对应于基B的最优解，则此时的Y是对偶问题的一个最优解。,例：书P25,17,对偶问题中，解的情况有： 1.都有有限最优解 2.都无可行解 3.一个有无界解，另一个无可行解,18,6、松弛性 若X*，Y*分别为原问题及对偶问题的可行解， 那么Ys*X*=0，Y*Xs*=0， 当且仅当X*，
6、Y*分别为最优解。,证：,将b，C代入目标函数，,19,7、检验数与解的关系原问题附加变量最优检验数的值为对偶问题的最优解。,检验数： = (C 0)- CBB-1(A -I)= (C- CBB-1A CBB-1)= (c s) c = C - CBB-1A X对应的检验数s = CBB-1 Xs对应的检验数,例：书P25,4 =2，5 =3,20,求对偶问题的最优解: 1.单纯形乘子Y的定理 2.松弛性 3.检验数与解的关系,21,例6已知：min w = 20y1 + 20y2 的最优解为y1*=1.2,y2*=0.2 -ys1 y1 + 2y2 1 试用松弛性求对偶 -ys2 2y1 +
7、 y2 2 问题的最优解。 -ys3 2y1 + 3y2 3 -ys4 3y1 + 2y2 4 y1,y2 0,y1*xs1* = 0 y2*xs2* = 0ys1*x1* = 0 ys2*x2* = 0 ys3*x3* = 0 ys4*x4* = 0,22,y1*=1.2,y2*0.2 0 xs1* = xs2* = 0由 y1* + 2y2* = 1.6 1 ys1* 0 x1* = 0由 2y1* + y2* = 2.6 2 ys2* 0 x2* = 0由 2y1* + 3y2* = 3 =右边 ys3* = 0 x3*待定由 3y1* + 2y2* = 4 =右边 ys4* = 0 x
8、4*待定,最优解：x1* = 0 x2* = 0 x3* = 4 x4* = 4 xs1* = 0 xs2* = 0最大值：z* = 28 = w*,y1*=1.2, y2*=0.2ys1*x1* =0 ys2*x2* =0 ys3*x3* =0 ys4*x4* =0 y1*xs1* =0 y2*xs2* =0,y1 + 2y2 - ys1* = 1 2y1 + y2 - ys2* = 2 2y1 + 3y2 - ys3* =3 3y1 + 2y2 - ys4* = 4 x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 +xs1 = 20 2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 +xs2 = 20,
9、23,8、对偶问题的经济含义影子价格最优情况：z* = w* = b1y1* + + biyi* + + bmym*,b1： 8 9 Q2(4，2.5) z* = 15.5z* = z*- z* = 3/2 = y1* b2：16 17 Q2”(4.25，1.875) z*” = 14.125z* = z*”- z* = 1/8 = y2* b3：12 13 z* = 0 = y3*,Q2,Q2”,Q2（4，2）z =14,条件3未满足，再增加b，不会带来z的增加， 故该资源价值为0.,24,3 对偶单纯形法单纯形法：由 XB = B-1b 0，使j 0，j = 1,m对偶单纯形法：由j 0(
10、j= 1,n)，使XB = B-1b 0相同点：都用于求解原问题对偶单纯形法：从一个原始不可行而对偶可行的基出发，进行基变换，每次基变换时都保持基的对偶可行性，一旦获得一个原始可行基，则该基必定是最优基。,步骤：(1)保持j 0，j= 1,n，确定XB，建立计算表格；,(2)判别XB = B-1b 0是否成立？若成立，XB为最优基变量；若不成立，转(3)；,25,(4)取主变换，得到新的XB。,(3)基变换换出变量，,换入变量（最大负比值规则），,重复（2）-（4）步，求出结果。,26,例8用对偶单纯形法求解min w = 2x1 + 3x2 + 4x3x1 + 2x2 + x3 12x1 -
11、 x2 + 3x3 4x1,x2,x3 0,min w = 2x1 + 3x2 + 4x3 + 0x4 + 0x5x1 + 2x2 + x3 - x4 12x1 - x2 + 3x3 x5 4x1,x2,x3,x4,x5 0,27,min w = 2x1 + 3x2 + 4x3 + 0x4 + 0x5- x1 - 2x2 - x3 + x4 - 1- 2x1 + x2 - 3x3 + x5 - 4x1,x2,x3,x4,x5 0,28,*,-4,-2.5,2,-0.5,0.5,0,1,0,1,1.5,4,-0.5,x1,-0.5,1,x4,0,2,0,0,1,1,29,初始检验数中有负数？对偶
12、不可行,1、构造扩充问题增加一个变量和一个约束条件 2、求基本解（初始对偶可行）检验数中最小的负数 换入变量新增变量为换出变量取主变换后全部检验数非负 3、用对偶单纯形法求解扩充问题 扩充问题无可行解，则原问题无可行解 扩充问题有最优解，则原问题有可行解，且如扩充问题的目标函数值与M无关，则为原问题最优解。,30,例：,标准型：,扩充问题：,31,*,2M,-3,6-M,1,0,0,0,0,1,1,4,1,x1,0,M-8,x4,0,-2,0,0,2,2,0,x5,1 1 1 0 0 1 M,0,1,-1,32,作业 P81 1.12(1),33,4 灵敏度分析,分析 变化对最优解的影响。,1
13、、保持原最优基的变化范围； 2、原最优基不再最优时，求新的最优解的最简便方法,34,35,例1 已知下述问题的最优解及最优单纯形表,36,最优单纯形表如下:,37,由最优单纯形表得:,38,39,不可行!,用对偶单纯形法计算,40,4,20,4,41,42,43,例2 求例1 c4的变化范围,使最优解不变.,解:,44,分析:,45,方法:,例3 求例1 c2的变化范围,使最优解不变.,46,解:,0,1/8,3/2,0,0,0,-1/8,1/2,1,0,2,-3,1,1/2,-2,0,0,4,x5,0,0,1/4,0,0,1,4,x1,-2,x5,x4,x3,x2,x1,b,XB,CB,0,
14、0,0,-3,-2,x2,47,48,改变C，求新的最优解? 只需修改最终表上的C及检验数，得到新的迭代表，继续求解。,例3 c2=1,求新的最优解.,-2,-2,1,1/4,c2=-3，若c2=4？,最优解不变.,0 0 -1/2 5/8 0,1,1,继续用单纯形法求解.,49,分析:,50,51,例4 求例1 a24的变化范围,使最优解不变.,解:,x4为非基变量，故只影响x4的检验数。,52,基变量约束系数的变化 会导致问题变得相当复杂，所以重新计算。,53,四、增加一个新变量 例5 在例1的基础上，企业要增加一个 新产品,每件产品需2个台时，原材料A 6kg， 原材料B 3kg，利润
15、5元/件，问如何安排各产 品的产量，使利润最大？ 解：,54,表明生产新品有利。,55,56,-5/4,0,1/8,3/2,0,0,1/4,0,-1/8,1/2,1,0,2,-3,2,1,1/2,-2,0,0,4,x5,0,3/2,0,1/4,0,0,1,4,x1,-2,x5,x4,x3,x2,x1,b,XB,CB,-5,0,0,0,-3,-2,x2,8/3,4/2,8,i,x3,2,14,57,五、增加一个新的约束条件 1、原最优解满足新约束，则最优解不变。 2、若不满足，则需求新的最优解。 例:原问题：加条件：,58,需求新解，新条件变为,原最优表：,（0，1，2）不满足新条件,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,3,1,2,0,59,60,61,作业 P81 1.13,62,小结,1、对偶问题及其化法,原问题决策变量决定对偶问题约束条件关系,原问题约束条件决定对偶问题决策变量取值方向。,63,2、检验数的计算方法,64,3、对偶问题的性质,4、对偶单纯形法,弱对偶性,无界性,最优性,松弛性,检验数与对偶问题的解,65,5、灵敏度分析,66,(4) 增加一个新变量,(5) 增加一个约束,
