1、编号 2010212044 学 年 论 文 （ 2010 级本科）题 目： 导数在经济学中的应用 二级学院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 作者姓名： 石学存 指导教师： 朱福国 职称： 副教授 完成日期： 2012 年 11 月 18 日二一二 年 十二 月1导数在经济学中的应用石学存 指导老师：朱福国（河西学院数学与应用数学专业 2010级 103班 2010212044号, 甘肃张掖 734000）摘 要 导数在经济领域中的应用非常广泛,运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边际分析、弹性分析、优化分析,对企业定价策略有着非常重要的作用.关键词 导数;边际;弹性;交叉弹性中图
2、分类号 O172.11 引言随着市场经济的发展,应用导数定量分析经济领域中的问题,已成为经济学中的一个重要组成部分.导数是微积分中一个重要概念,它是函数关于自变量的变化率.在经济学中也存在变化率问题；如价格的变化必然会带动需求量的变化,为了实现利润最大化,我们需要考虑,企业产品的需求价格边际问题、弹性、交叉弹性问题,从微观和宏观把握经济的变化.2 导数的经济学解释刻画了函数 在 的变化率,当自变量 处有一个单位的变化,则)(xf )(xfy0 0x函数 在 处有 个单位的变化.y0f假设市场上某种商品的需求函数 其中 为商品的价格, 为市场上)(ff该商品的需求量. 表示当价格在 处有一个单位
3、的变化,则该商品的需求)(0xf 0x量将会有 个单位的变化.同样对于供给函数、总成本函数、总收入函数、0f总利润函数都可以对导数意义理解.3 边际分析在经济学中,所谓“边际”指当 的改变量 时, 的相应改变量 与x0xyy比值 的变化.即当 在某一给定值附近有微小的变化时 的瞬时变化.xyx3.1 边际成本 1边际成本在经济学中被定义为产量增加一个单位时所增加的成本.设某产品的成本函数为 , 为产量.即边际成本为 ,当)(qC )()(1(qCqC变化很小时, , (微积分定义 ). 为边际成本qd)(q函数. 可见 ,边际成本约等于成本函数的变化率 ,在实际生产中：在每一产量水平上的边际成
4、本就是相应的总成本曲线在该点处切线的斜率,即总成本函数在该产量处的导数值.因此,在经济决策分析中边际成本可以用来判断产量的增减在经济上是否合算.例 1 某种产品的总成本 C(万元)与产量 q(万件)之间的函数关系式为.求当生产水平 q=10(万件)时的边际成本,并320.40)( qqC从降低成本角度看,继续提高产量是否合适？2解 时的总成本为10q,130)(.0)1(2.041)( C边际成本 3 q即 )/()0( 2件元.因此在生产水品为 10 万件时,每增加一个产品总成本增加 3 元.这远低于当前的单位成本,从降低成本的角度看,应该继续提高产量.3.2 边际收入边际收入指稍微增加一个
5、单位的销量时所增加的销售收入.即假设某产品的收入函数为 , 为产品的销售量,有边际收入)(qR )()(1( qRdq因此,边际收入约等于收入函数的变化率.在实际中：每一销售水平上的边际收入值就是相应的总收入曲线在该点处切线的斜率,即总收入曲线关于该销售量的导数值.3.3 边际利润边际利润即边际收入与边际成本的差设某产品德销售量为 q 时的利润函数为 ,当 可导时,称 销)(qL)()(qL售量为 q 时的边际利润,它近似等于销售量为 q 时再多销售一个产品所增加的利润.由于利润为收入与成本的差,即利润函数为收入函数与成本函数之差,即由导数的运算法知 ,即边际利润为边际收)()(CRL )()
6、(CR入与边际成本之差.例 2 某餐店每月对某种菜的需求是由 确定的,其中 q 是需求206qP量(盘), 是价格 (元),生产 q 盘菜的成本为 ,试问p )50(.5)(q当产量是多少时,餐店才获得的利润最大？最大利润是多少？解 总收入 因2060)( qPxRqC5.5.)(C,)(根据利润最大原则 即 ,24056.026q所以 q=2440(盘).由于 q=2440 是函数 唯一的极值点,所以是函数的最大点,即当产量为)(qL2440 时有最大利润. 由利润,)56.0(062qqCR最大利润 3,8.2476)056.0(2046)240() 2max qL所以当产量为 2440
7、时,餐店获得最大利润,最大利润为 2476.8.例 3 某公司总利润 与日产量 之间的函数关系式即利润函数为)(万 元L)(吨q（元/件）,试求每天生产 150 吨、200 吨、350 吨150.2)(2qqL时的边际利润,并说明其经济意义 .解 有利润函数 得边际利润150)(2;qL.;.150 ;.)2(.51303 从上面可以看出,当日产量在 150 吨时,每天增加 1 吨产量可增加总利润0.5 万元;当日产量在 200 吨时,再增加产量,总利润已经不会增加;而当日产量在 350 时,每天产量再增加反而使总利润减少 1.5 万元,由此可见,该公司应该把日产量定在 200 吨,此时总利润
8、最大： .)(50205.20)( 万 元L4 弹性问题弹性概念是经济学中的一个重要概念,用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的敏感程度,其定义为: 为 在点00/limlixxyy)(xfx 处的点弹性,也是弹性系数. 设函数 在点 x 处可导,函数的相对改变量 与 自变量的相对改)(fy y变量之比,当 时的极限称为函数 在点 x 处的相对变化率,称弹性0x)(fy函数,记为 .)()(fE4.1 需求价格弹性 2经济学中,把需求量对价格的相对变化率称为需求的价格弹性,记为 )(pQEd由于需求函数是价格的递减函数,所以需求函数 一般为负值.d故当 时,称为单位弹性,即商品需求量
9、的相对变化与价格的相对变化1dE基本相等.当 时,称为富有弹性.即商品需求量的相对变化大于价格的需求变化,此时价格的变化对需求量的影响较大.换句话说,适当降价会使需求量大幅度上升,从而能够增加收入.相反,商品价格上升会导致需求量大大减少,从而导致总收入减少.4当 时,称为缺乏弹性,即商品需求量的相对变化小于价格的相对变化,此1dE时价格的相对变化对需求量的影响较小,在适当涨价（降价）不会使需求量有太大的变化.例 4 某商品的需求函数为 ,Q 为需求量,p 为售价.210pQ(1)求 ;(2)计算 并经济角度解释所得结果.)(pEd)3(dE解 (1) 由 得210,21)(p因为 ,所以需求价
10、格弹性为)()(QpEd.0)(210pd(2) .173)3(dE其含义为当商品的售价为 3 元时,若单价每增加 1 元,则需求量将减少约 18%,反之,若单价每降低 1 元,则销售量将提高 18%.4.2 收入价格弹性把收入价格相对价格的相对变化率成为收入价格弹性.设收入函数为 ,因此收入函数关于价格的变化)()(pfxpr,)(1)()(1)( pEfpff d收入价格的弹性为 .)()()()(fEprEddr此时可发现, ,则价格的变动与收入的变化是同方向的;反之 ,0p 0pr则价格的变动与收入的变化是反方向的.例 5 某生产公司经营某种电器的需求弹性在 之间,如果公司决定将5.2
11、1价格下降 10%,问此种电器的销售量将会怎样变化？总收入怎样变化？解 由于需求弹性 ,Q 为商品需求量,p 为价格)(pQEd, ,)( )(1pEErdr当 时,5.1dE5.0)1(5.r当 时,.2d 2)(2Q515.0)(5.21(r由此可见,当价格下降 10%时,该电器的销售量将会增加 15%-25%,总收入将会增加 5%-15%.例 6 已知某生产商生产某种家电的总成本函数为 ,通过731082.)(qpC市场调查,可以预计这种家电的年需求量为 .其中 价格(单位/元),qq501.3是需求量,试求使利润最大的销量和销售价格.解 有需求量 ,pq2.6501.33因此,当销售量
12、为 q 时总收入函数为 230.1)(qqR利润函数为 )8.(.02.)()( 723CRL= 7014qqL4.)(3令 得唯一驻点0)(pL50由实际问题可知 是利润函数为 的极大值点,也是最大值点,最大51q)(利润为 ,8725535 10.10.04)( L当 时,销量为 .510q )(426元p家电的年需求量为 ,那么其边际需求为 ,需求弹性为q51. 5q,pqpEd 01.35)()(使利润最大的家电售价为 4200 元,需求弹性.2450.)42(d即当家电售价为 4200 时,其需求弹性为富有弹性,此时,适当降价不仅能增加销售量、扩大企业的家电市场上的占有成本,增加销售
13、总收入,给企业带来经济效益.5 偏导数在需求交叉弹性中的问题 3经济学中的一个重要概念是偏弹性,在经济活动中商品的需求量 Q 受商品的价格 ,消费者的收入 M 以及相关商品的价格 等因素的影响.1P2P),1(fQ则(1)需求的直接价格偏弹性为6.11102/limQpPpQE(2)需求的交叉价格偏弹性为,2022/lipPp(3)需求收入价格偏弹性为.0/liQMQEM例 7 已知某市场牛肉的需求函数为 ,其中 Q 为215.0548pp牛肉的需求量, 为牛肉价格 为相关商品猪肉的价格.市场调查知消费者年收1p2p入平均 10000,牛肉价格为 10 元,猪肉价格为 8 元,求当猪肉价格增加
14、 ,牛肉%10价格不变的情况下,牛肉的市场需求量将如何变化？解 由已知条件 得到2150548pQ1.22pE所以当相关商品猪肉的价格增加 ,而牛肉价格不变时,牛肉的市场需求%10量将增加 .%026 结语 对于企业来说,进行边际分析和弹性分析是非常重要的,企业如果离开边际分析盲目生产就会造成资源的巨大浪费.企业如果离开弹性分析就不可能达到利润的最大化的目标,导数作为边际分析和弹性分析的工具可以给决策者提供客观的数据,从而做出合理的决策,有了科学的经营决策依据.导数在经济中的应用,只是数学在经济中一小部分,其应用颇为广泛.致谢 感谢本文在朱福国老师的精心指导下完成.参 考 文 献1 田婷.导数
15、在经济学中的简单应用J.林区教学,2009(4):98-99.2 李兰平.导数在企业定价策略方面的应用J.企业管理,2010(11):72-73.3 吴素琴.谈导数及其经济分析中的若干应用J.科学教育,2011(3):4-6.4 王青青.浅谈导数在经济中的应用J.高校讲坛,2011(9):8.5 陈昆.导数在经济中“边际”和“弹性”方面的应用J.考试周刊,2009(18):38-39.6 晋晓飞.导数在经济领域的简单应用J.时代经贸,2009(5):25-28.7 顾静相.经济数学基础M.北京:北京高等教育出版社,2009.8 李春萍.导数与积分在经济分析中的应用J.商业视角,2010(2)：17-19.
